2022年中考数学考点《 图形的变化》必背知识手册

2022年中考数学考点05图形的变化

[-图形的轴对称与中心丽

「图形的平移与旋转

知识归纳

图形相似

图形的性质

答题指导

易错归类

》知识归纳

知识点1:相似三角形

1.比例的基本性质

(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比.

(2)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段，简称比例线段.

(3)若〃:b=b或@=则匕叫做a,c的比例中项.

bc

(4)比例的基本性质=

bd

(5)合比性质:0=£。包=里.

bdbd

(6)等比性质：

acm,..,iaQ+C+…+加

-=—=.・.=—@+d+...+n^0)=>-=-----------.

bdnbb+dTvn

(7)黄金分割:如图，点C为线段A8上一点,AOBC,若AC2=A8BC,则点C为线段AB的黄

金分割点，AC=^3A8=0.618AB,BC=^^AB,一条线段有2个黄金分割点.

22

I-------------------------------------------1---------------------1

4CH

(8)平行线分线段成比例定理：

①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

2.相似三角形

（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

（2）似三角形的判定定理

①相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似；

②相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似；

③相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似；

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CO为RQABC斜边上

的高（如图），则RtAABCSRSACDSRSCBD,且AC2=ADAB,CD2=ADBD,BC2=BDAB.kj

（3）性质：

①相似三角形的对应角招等；

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比您

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.相似多边形

（1）定义:各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的

比叫做相似比.

（2）性质：

①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.

②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

4.图形的位似

（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比.

（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比，位似图形周

长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.

知识点二：视图

1.三视图:主视图、左视图、俯视图

（1）主视图:从正面看到的图形，称为主视图；

（2）左视图:从左面看到的图形，称为左视图；

（3）俯视图:从上面看到的图形，称为俯视图.

2.三视图的关系

主视图反映物体的长和高;左视图反映物体的宽和高;俯视图反映物体的长和宽,因此三视图有

如下对应关系：

（1）长对正:主视图与俯视图的长度相等,且相互对正；

（2）高平齐:主视图与左视图的高度相等,且相互平齐；

（3）宽相等:俯视图与左视图的宽度相等,且相互平行.

“长对正，高平齐,宽相等”，这“九字令”是阅读和绘制三视图必须遵循的对应关系.

3.常见几何体的三视图

正方体的三视图都是正方形；

圆柱的三视图有两个是长方形,另一个是圆；

圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆；

球的三视图都是圆.

知识点三：投影

1.中心投影

（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.

（2）中心投影的投影线交于一点.

（3）投影面确定时，物体离点光源越近，影子越大;物体离点光源越远，影子越小.

2.平行投影

（1）太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影.

（2）平行投影的投影线相互平行.

（3）不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小和方向都改变.

（4）垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

知识点四：对称图形

1.轴对称、轴对称图形

（1）轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合,那么称这两个

图形成轴对称.两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点.

（2）轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的

图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.

（3）轴对称图形变换的特征:不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.新旧图形具有对称

性.

2.中心对称、中心对称图形

（1）中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180。,如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形

成中心对称，该点叫做对称中心.

（2）中心对称图形:一个图形绕着某一点旋转180。后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图

形,该点叫做对称中心.

知识点五：平移与旋转

1.图形的平移

（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.

（2）特征：①平移后,对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行且相等.

②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行，方向相同.

③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等.

2.图形的旋转

（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为

旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.

（2）特征：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意

每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角都相等；对应点到旋转中心的距

离相等.

》答题指导

1.理解中心对称定义的三个要素：①有一个对称中心；②图形绕中心旋转180。；③旋转

后两图形重合

2.轴对称图形和中心对称图形的区别：

（1）轴对称图形一定要沿着某直线折叠后直线两旁的部分互相重合。关键抓两点，一是沿着

某直线折叠；二是直线两旁的部分互相重合。

(2)心对称图形是图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合。关键也是抓两点:一是绕某一

点旋转180°；二是与原图形重合。

3.作轴对称图形的三步骤：

(1)确定原图形的关键点

(2)分作出关键点关于对称轴的对称点

(3)顺次连接各对应点。

4.用坐标表示平移的方法：

(1)左右平移原则：从坐标不变，横坐标“左:减右加”

(2)上下平移原则：横标不变纵坐标“上加下减”

5.用坐标表示对称变换的方法：

(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)

(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为Gx，y)

(3)点(x,>)关于坐标原点的对称的点的坐标为Gx，-y)

6.相似三角形常见的六种基本图形

毡~Z.攵像可""『斜麦豆

SLAA

乙93%

平.安阳丸枭型£双毛团6小现彳礴楚

v

9PG

分“c且工比

乙二乙3

7.解决折叠问题的一般思路

分清折叠前后的对应边，对应角，对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻

找相等的线段或角，进行相关的计算或证明。

易错归类

易错点1：相似三角形的性质，三角形相似的判定.

1.如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,其内部放置边长分别为3,4,x的三个正方形,

分析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从

而造成错解.

本题应找出能够用3,4,x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角

形的性质来求解，如图，VZC=90°,：,ZCFG+ZCGF=90°,又：NEFG=90。，/.ZDFE

+NCFG=90。，；.NDFE=NCGF,又,：FG〃HM,：.4CGF=4GMH,：./DFE=/GMH,

DEFE

又；NDEG=NGHM=90°,：.ADFE^AGMH,：.——=——,'：DE=3,GH=x~4,FE=x

GHMH

-3,MH=4,A——=^—化简得x2—7x=0,/.xi=0,xi=7,Vx>0,：.x=l.

x—44

易错点2：相似三角形面积之比等于相似比的平方.

2.如图，平行于BC的直线OE把△ABC分成的两部分面积相等，则A第n=

错解：,

2

正解：—

2

分析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之

比等于相似比的平方.

正确的解法应是：:SAADE=S四边形O8CE,「・设5AADE=Xf贝US网边形£>BCE=X,「・SAABC=X+X

=2x,.•.心口=二,，又,.,OE〃BC,.,.△AOEsZWC,=(%:(吗2=j.,

S»BC2x2SMBCABAB2

•A。—

**Afi-V2-V'

易错点3：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.

3.如图，矩形A8CD中，AB=3,AD=4,E为AB上一点，AE=1,M为射线AO上一动

点，AM=a（a为大于0的常数），直线与直线C。交于点F过点M作交直线

BC于点G.

（1）若M为边A£＞的中点，求证：△EFG是等腰三角形；A\x^\一

（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；

请用含。的代数式表示的面积并指出的最小整数值

（3）△E/GS,SJ.......-A1JC

错解：(1)证明：如图1,：四边形A8CO是矩形，.•.NA=NMO尸=90。，为边A。

"NA=ZMDF

的中点，二M4=M。，在△M4E和△MDF中，：＜NAME=ZDMF△M4EgXMDF(AAS),

MA^MD

：.EM=FM,又•.•MG_LEM,:.EG=FG,△EFG是等腰三角形；

(2)解：如图2,\"AB=3,AD=4,AE=\,AM=a,：.BE=AB~AE=3~1=2,BC=

AD=4,在RSE4M中，"：EM2=AE2+AM2,：.EM2=l+a2,在RsEBC中，•:EC?=BE?

+BC2,.•.£：《2=22+42=4+16=20.在1^3£：加。中，'：EM1=EC1+EM1,.*.CM2=20+(l+

«2)=20+l+a2=21+a2,，CM=,21+/「.•点G与点C重合,：.GM=V21+a2.

(3)如图3,,：AB=3,AO=4,AE=\,AM=a,：.MD=AD~AM=4-a,在RsEAM

中，•.•EA/2=AE2+AM2,；.EM=Jl+=J；/A=/MDF=90。，ZAME=ZDMF,

•Aa,4V-An/八z?.AMEM.avl+a2..4一a.„„

••AMAcEsAMDF,・・------=,・・-------=----------,・・FM=----、/1+a,.・EF=EM+FM=

DMFM4-aFMa

y/l+a2+Jl+片=171+fl2.由(2)得，MG=121+/,/\EFG的面积5=xEFxMG

aa2

=-X-Vl+a2X721+iZ2=-xVl+t?2X\l2l+a2,.•.当a=2时，S最小，为S=

2aa

-xVl+22x721+22=575.

2

正解：（1）证明：如图1,•.•四边形ABC。是矩形,

/.N4=/MO/=90°,

为边A0的中点，

：.MA=MD,

'ZA=ZMDF

在^MAE和△MDF中，,/<M4=MD

ZAME=NDMF

：./\MAE^/\MDF(ASA),

:.EM=FM,

又；MGLEM,

：.EG=FG,

...△EFG是等腰三角形；

(2)解：如图2,'：AB=3,AD=4,AE=1,AM=a,

：.BE=AB-AE=3~\=2,BC=AO=4,

在EAM中，*?EM2=AE2+AM2,

：.EM2^\+a2,

在RtAEBC中，\"EC2=BE2+BC2,

/.£(^=22+42=4+16=20.

在EMC中，,/EM2=EC2—EM2,

.,.CM2=20-(l+«2)=20-l-a2=19-a2,

:.CM=M-a2.

•.•点G与点C重合，

:.GM=M-a2.

(3)如图4,过点M作MML8C于点N,

"：AB=3,AD=4,AE=\,AM=a,

：.MD=AD~AM=4~a,

在R2EAM中，EM2=AE2+AM2,

：.EM=yl\+a2.

'：ZA=ZMDF=90°,ZAME=ZDMF,

.AM_EM

.a_Vl+a2

"4-a~FM'

：.FM=^-yll+a2,

a

：.EF=EM+FM=Vl+a2+Jl+Y=-Vl+a2.

aa

'：AD//BC,

：.NMGN=Z.DMG,

"?ZAME+NAEM=90。，ZAME+NOMG=90。，

ZAEM=NDMG,

NMGN=ZAEM,

,?/MNG=ZMAE=90°,

.AM_EM

.a

・•§―MG，

：,MG=-yJl+a2,

a

：.AEFG的面积5=LxEFxMG=-x-71+a2x-Vl+a2=?+6

22aaa2

越大，S就越小，且S为最小整数值，

.•.当/=6,即。="时，S有最小整数值，为5=1+6=7.

分析：第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚，第二小题错在第三

次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，

不能拿来用，应另求高MG的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三

角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较

高的分析问题、解决问题的能力.

易错点4：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题.

4.已知矩形48co的一条边AO=8,将矩形ABC。折叠，使得顶点B落在CO边上的尸

点处.

（1）如图1,已知折痕与边交于点0,连接AP、OP、0A.

①求证：△OCPSAPQA；

②若△OCP与4PDA的面积之比为1：4,求边A3的长；

（2）若图1中的点P恰好是CO边的中点，求NO4B的度数；

（3）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕A。、线段0P,连接BP.动点M在线段AP上

（点M与点尸、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且3N=PM,连接MN交PB于

点F,作于点£试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变

化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.

错解：(1)①如图1,：四边形A8CO是矩形，.•.AOnBC,NDAB=NB=NC

=NO=90°.由折叠可得△A3。一△AP。，.•.AP=A8,P0=8。，ZPAO=ZBAO,/APO=/B,

.../APO=90°,:.NAPD=NPOC,又•.•/£)=/(7,：./\OCP^/\PDA.

ocOPCPITi

②:△OCP与△PDA的面积之比为1：4,—=—=—PD=20C,DA=

PDPADAV42

2CP,,：AD=S,：.CP=4,8C=8.设。P=x,则08=x,C0=8—x.在RtAPC。中，'：ZC=

90°,CP=4,OP=x,。。=8一%,.•.由勾股定理得/=(8—x)2+42.解得x=6,，AB=AP=20P

=2x6=12.

(2)如图3,「P是CO边的中点，.•.OP=LDC；OC=A8,AB=AP,.•.OP=LAP「：N。

22

Dp-AP]

=90°,.•.在RtaZMP中，sinNDAP=—=2—=ZDAP=45°,VZDAB=9Q°,：.APAB

APAP2

=90。-45。=45。，又勿。=NBAO,AZOAB=22.5°.

(3)当点M、N在移动过程中，线段£尸的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，

点E、尸也随之移动，所以线段Eb的长度发生变化.

正解：(1)①如图1,•.,四边形ABCD是矩形，.*.AO=BC,DC=AB,ZDAB=ZB=ZC

=/。=90。.由折叠可得4480g44/50,，4尸=48,/?0=80,ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB,

：.NAPO=90°,二ZAPD=1SO0~ZAPO-ZCPO=ISO°-90°~ZCPO=90°~ZCPO,又：

在RtAPCO中，ZPOC=90°~ZCPO,：.ZAPD^ZPOC,又；ZD=ZC,：./XOCP^/\PDA.

②•：AOCP与△PDA的面积之比为1：4,且40cps

PCOPCPJ-=-.：.PD=2OC,DA=2CP,'：AD=S,：.CP=4,8C=8.设OP=x,则

~PD~~PA~~DA~V42

OB=x,CO=8一九.在R"PCO中，VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=S-x,，由勾股定理

得f=(8-x)2+42.解得尤=5,：.AB=AP=2OP=2x5=W.

(2)如图3,•.J是CO边的中点，.•.OP=L£)C.：£)C=A8,AB=AP,.•.DP=LAP.；N。

22

=90°,.•.在RS0Ap中，sinN0AP="=^—=-,ZDAP=30°,VZDAB=90°,：.APAB

APAP2

=90°-30°=60°,又•.•/IR4O=N8AO,ZOAB=30°.

(3)如图4,过点M作MQ〃⑷V,交尸3于点0：AP=45,MQ〃4V,；.NAPB=NABP,

ZABP=ZMQP,：,ZAPB=ZMQP,：.MP=MQ,又,.,/E_LPQ,:.PE=EQ=gpQ;；BN

=PM,MP=MQ,.•.BN=M。.又由MQ〃AN得NQMRMNBNF.在△MFQ和△N/8中，

ZQMF=NBNF

<NQFM=ZBFN,/.AMFQ学/XNFBgAS),：.QF=BF,：.QF=-QB.：.EF=EQ+QF=-

QM=BN

PQ+；Q8=：PB由(1)可得，PC=4,BC=8,ZC=90°,.•.在RsPBC中，由勾股定理

得，PB=NBC?+PC?=幅+42=46,，£：产=,23=』'4不=2石..•.在(1)的条件下，

22

当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2石.

分析：本题(1)①中证明过程不完整，因为对条件/APO=NPOC没有写出证明过程，

②中在最后解方程时出现了错误；(2)中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为1的锐角应

2

是30。，而不是45。；(3)中错在仅由点E、F在移动就得出线段所的长度发生变化，虽然

点、E、b在移动，但线段防的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段Eb