2019年高考全国1卷文数试题（试卷版+详解版）

2019年全国1卷文数试题

试题版

解析版

2019年全国卷I高考文科数学试题

1.设Z=；~3i则|z卜

1+21

A.2B.>/3C.V2D.1

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则Bnq,A=

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知a=log20.2,/?==().2°‘，则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵口

2

(避二1七0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

2

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是叵。.若某人满足上述两个黄

2

金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

sinr+r

5.函数4角=------r在［―兀，兀］的图像大致为

COSX4-X

y八

1-

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…，1000,从这

些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下

面4名学生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生

7.tan255°=

A.-2--y3B.-2+y/3C.2—y/3D.2+>/3

8.已知非零向量a,b满足同=2且(a-b)±h,则a与b的夹角为

]

9.如图是求2+的程序框图，图中空白框中应填入

2+-

2

%

输出//

B.A—2H—D.A=l+—

A2A

10.双曲线C：斗一斗=l(Q>01>0)的一条渐近线的倾斜角为130。，则。的离心率

A.2sin40B.2cos40°

sin50°cos50°

11.△ZBC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c9已知asinZ-Z?sinB=4csinGcos4=

12.已知椭圆。的焦点为耳(一1,0),g(1,0),过F2的直线与。交于Z,B两点.若

\AF2\^2\F2B\,\AB\=\BF,\,则。的方程为

?222222

A.二+>2=]B.二+工=1C.工+上=1D.工+工=1

2324354

13.曲线y=3(/+x)e'在点(0,0)处的切线方程为.

3

14.记S〃为等比数列｛劣｝的前八项和.若4=1,S3=-,则S4=.

15.函数/(x)=sin(2x+j")-3cosx的最小值为.

16.已知,P为平面力BC外一点,尸02,点尸到两边力GBC的

距离均为G，那么尸到平面月的距离为.

17.(12分)

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场

的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

」炉_n(ad-bcY

巾：K一•

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（丘k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（12分）

记S〃为等差数列｛aj的前A项和，已知S)=-a5.

(1)若&3=4,求值“｝的通项公式;

(2)若团>0,求使得a”的A的取值范围.

19.(12分)

如图，直四棱柱ZBCZ?-4BIG2的底面是菱形，44产4,AB=2,/历LO=60°,

E,M,TV分别是8GBB、,4。的中点.

(1)证明：MV//平面GOE；

(2)求点。到平面G。后的距离.

20.(12分)

已知函数/(x)=2sinx—Acosx-x,f(x)为/(力的导数.

(1)证明：f(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若衣€[0,兀]时，/(x)>ax,求a的取值范围.

21.(12分)

已知点4,3关于坐标原点。对称，|43|=4,0M过点力，3且与直线A2=0相

切・

(1)若/在直线A片。上，求。”的半径；

(2)是否存在定点P,使得当/运动时，|川4|一|为定值？并说明理由.

(二)选考题：共1。分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

,1-尸

在直角坐标系X。中，曲线。的参数方程为〈7"为参数)，以坐标原点。

卜=诃4r

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2x7cos61+V3/?sin^+11=0.

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)求。上的点到/距离的最小值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明:

(1)-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(«+bf+(b+c)3+(c+a)3>24.

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

14T

13.y=3x15.-416.y/2

8

17.解:

(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为二=0.8,因此男顾客对该商

场服务满意的概率的估计值为0.8.

30

女顾客中对该商场服务满意的比率为—=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率

的估计值为0.6.

100x(40x20-30x10)2

(2)K2»4.762.

50x50x70x30~

由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.解：

(1)设｛%｝的公差为d.

由5g=-a5得％+4d=0.

由勿=4得4+2d=4.

于是q=8,d=—2.

因此｛«„｝的通项公式为a“=10—2〃.

n(n—9)d

(2)由(1)得q=-4d,故a“=(〃_5)d,S,=:，

由4>0知d<。，故S”..a.等价于/-11〃+10,,0,解得14刀410.

所以n的取值范围是｛〃|掇女10,/IGN｝.

19.解：

(1)连结gC,ME.因为"，E分别为的中点，所以VE〃4C,且

加七=340.又因为防40的中点，所以ND=g40.

由题设知DC,可得4c幺A。，故ME&ND,因此四边形MVDE为平行

四边形，MN〃ED.又平面CQE,所以MN/I平面C〔DE.

(2)过。作G项勺垂线，垂足为H

由已知可得。£_L3C,DE1C,C,所以平面GCE,椒DELCH.

从而au平面GOE,故CH的长即为cgij平面GOE的距离，

由已知可得。E=l,GO4,所以GE=J万，故C"=*7.

从而点平面CQE的距离为此Z.

20.解：

(1)设g(x)=/'(x),贝ijg(x)=cosx+xsinx—l,g'(x)=xcosx.

jr(TTiJr

当xe(0,5)时，g'(x)>0;当兀时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,^)单调递

增，在兀]单调递减.

又g(0)=0,g>0,g(7t)=-2,故g(x)在(0,71)存在唯一零点.

所以f'(x)在(0,兀)存在唯一零点.

(2)由题设知/(兀)..即,/(兀)=0,可得a<0.

由(1)知，/'(X)在(0,兀)只有一个零点，设为玉)，且当xe(0,x°)时，/V)>0；

当xe(用，兀)时，小)<0,所以f(x)在(0,%)单调递增,在(知兀)单调递减.

又了(又=0,/(兀)=0,所以，当x€[0,兀]时,/(%)..0.

又当a,,0,xe[0,7t]时，ax<0,故/(x)..at.

因此，a的取值范围是(一叫0].

21.解：(1)因为过点A,8,所以圆心“在的垂直平分线上.由已知/在直线x+y=0

上，且A,B关于坐标原点。对称，所以〃在直线y=x上，故可设M(a,a).

因为。M与直线x+2=0相切，所以0M的半径为r=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又碗_1_而，故可得2/+4=(“+2)=解得。=0或。工.

故OM的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(l,0),使得为定值.

理由如下:

设M(x,y),由已知得QM的半径为r=|x+2],|AO|=2.

由于万，故可得/+:/+4=。+2)2,化简得”的轨迹方程为丁=4%.

因为曲线C：V=4x是以点P(l,0)为焦点，以直线x=—1为准线的抛物线，所以

\MP\=x+l.

因为|M4HMn=r—|MF|=x+2—(x+l)=l,所以存在满足条件的定点尸.

1-2(、22\24产

22.解：(1)因为一1＜•；~?＜1,且4~r+-——77=1,所以C的直角

1+产⑴U+切(1+巧2

坐标方程为/+。=l(xW-1).

4

I的直角坐标方程为2x+Gy+11=().

x=cosa,

（2）由（1）可设。勺参数方程为＜..（。为参数，一兀＜。＜兀）.

y=2s\na

,1|2cosa+2Ana+ll|4cos（a-£|+ll

。上的点到/的距离为'----------7=-------------'=————.

V7万

2兀

当a=一系时,4cos(a-1+11取得最小值7,故。上的点到/距离的最小值为V7.

3

23.解：(1)cr+b~>2ah,b2+c2>2hc,c2+a2>2ac,又abc=',故有

,22、，,ah+hc+ca111

a2+1)-+c〜Ncib+be+ca----------------=—I----1—.

abcabc

所以'+'+,</+万2+。2

abc

(2)因为。，瓦。为正数且。历=1,故有

3

(a+份3+s+c>+(c+4>3^(a+b)\b+c)\a+c)

=3(a+b)(b+c)(a+c)

>3x(2\[ab)x(2\[bc)x(2\fac)

=24.

所以(Q+b)'+(〃+c)'+(c+Q)，224.

2019全国一卷高考文科数学试题解析

5.设2=君，则|z|=()

A.2

B.73

C.V2

D.l

c

3-i(3-0(1-201-7/

因为z=-------=------------------=---

“1+2，(l+2z)(l-205

所以忖=+(-令2-41

7.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5),3={2,3,6,7},则8口的4=()

A.{156}

B.{1,7}

C.{657}

D.{1,6,7)

C

U={123,4,5,6,7},A={2,345},则QA={1,6,7},又•:8={236,7},则

BnCuA={6,7},故选C.

3.已知a=log?0.2,bl,C=0.2°3,则()

A..a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

B

由对数函数的图像可知：a=bg202<0；再有指数函数的图像可知：8=202>1,

0<C=0.2°3<1,于是可得到：a<c<b.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是苴二1

2

（走匚土0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的

2

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是吏二1■.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

B

方法一:

设头顶处为点A,咽喉处为点6,脖子下端处为点C,肚脐处为点。，腿根处为点£,足

底处为尸，BD=t,且二1=4，

2

zipAn

根据题意可知五3=几，故AB=At;又AD=AB+8。=(4+1)1,石〒=4,故

DF=^

2

t,将4=吏二1■。0.618代入可得/Z24.24J

所以身高h=AD+DF=('十°

A2

根据腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm可得AB<AC,DF>EF;

即力<26,-r>105,将，=或二1x0.618代入可得40<r<42

42

所以169.6<〃<178.08,故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm

可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

正二1（正二la0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm;将

22

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至

肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避工可计算出肚脐至足底的长度约为110;将头

2

顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm,与答案175cm更为接

近，故选B.

cinx+x

11.函数/（幻=2------^在［-乃,4］的图像大致为（）

COSX+X"

sin(-x)-xsinx+xJ、

--------7=-/W,

cos(-x)+(-x)2

COSX+厂

元）为奇函数，排除A.

.7171

sin—I—»

22.4+21

又2>°,排除C,

cos^+H7T~

2l2j

sin7r-^-717t

f（兀）>°,排除B,故选D.

C0S〃+（7T）-\+7T~

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,…,1000,从这些新生

中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学

生中被抽到的是().

A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生

C

从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为

10〃+6(0V〃V99,〃eN),可得出616号学生被抽到.

12.tan255°=()

A.-2-V3

B.-2+V3

C.2-V3

D.2+G

D

因为tan2550=tan(l80°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=jqn45。…+fan…4()。

1-tan450-tan30°

化简可得tan255。=2+6

17.已知非零向量a,B满足|5|=2|B|,且则。与B的夹角为（）

AA.—冗

6

71

B.一

3

2万

C.—

3

D.2

6

B

:|2|=2出|,且—3-B）3=0,有a/—|B『=0,设。与分的夹角为。,

则有12HBicos6—|B|2=0,即2出「cos。一行『=0,出「(2cos6—1)=0,•••出依0,

式J[

：.cos6>=-,6=§，故五与B的夹角为1,选B.

]

（1）右图是求2+'的程序框图，图中空白框中应填入（）

2+-

2

2+A

“C1

B.A=2+一

A

“，1

C.A=1-I--

2A

1

D.A=

1+2A

A

把选项代入模拟运行很容易得出结论

选项A代入运算可得2+—，，满足条件,

2+-

2

仁2+1

选项B代入运算可得°q1,不符合条件,

，十一

2

选项C代入运算可得A=；，不符合条件，

选项D代入运算可得A=1+!,不符合条件.

4

x2v2

10.双曲线C：j—彳=1(。>()/>())的一条渐近线的倾斜角为130。，则。的离心率为

a~b~

A.2sin40°

B.2cos40°

sin50°

1

D.---------

cos50°

D

bhsin50°

根据题意可知一一=tan130°,所以一=tan50°=———

cos50°

2

1!sin50°cos250°+sin250°

离心率e-+cos250°

cos250°cos250°cos50°

(1)AABC的内角的对边分别为,已知asinA—Z?sin6=4csinC,

cosA=-1,则2=()

由正弦定理可得到：asinA-bsmB=4csinC=>a2-b2=4c2,EPa2=4c2+b2>

又由余弦定理可得到：cosA上《二《•=—',于是可得到2=6

2hc4c

(1)已知椭圆C的焦点坐标为耳(-1,0),6(1,0),过F?的直线与c交于A,B两点,

若

|你|=2内卸，|阴=|班|,则C的方程为()

2

X-2.

(1)—+V=1

2

炉+九1

⑵

32

⑶

43

22

(4)x+2L-1

54

B

由闾=2住同，|43|=忸制，设内叫=x,则闾=2%，忸耳|=3x,根据椭圆的定

义怩同+忸6=|A闾+|明|=勿,所以|斯|=2x,因此点A即为椭圆的下顶点，因为

QI91

\AF2\=2\F2B\,c=l所以点8坐标为(5，；),将坐标代入椭圆方程得彳+厂1,解得

/=3,〃=2,故答案选B.

x

13.曲线y=3(/+X)e在点(0,0)处的切线方程为L

y=3x

=3(2x+l)e'+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,

结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率k=3,

切线方程为.y=3x.

3

(1)记S,为等比数列｛%｝的前〃项和，若q=l,S3=-,则S4=

5

8

,。3

%=1,S3-ay+a2+a3--

设等比数列公比为4

3

q+qq+qq2=-

1

q=----

2

所以§4=：

O

37r

15.函数/(尤)=sin(2x+弓-)-3cosx的最小值为.

-4

3兀

/(x)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+l,

因为COSX£[-1,1],知当COSX=1时/(x)取最小值,

3乃

贝!If(x)=sin(2x+Q-)-3cosx的最小值为-4.

16.已知/4。8=9()°,P为平面A8C外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,8C的

距离均为6，那么P到平面ABC的距离为

如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为。，则P。的长度即为所求，再做

PE±CB,PF±CA,由线面的垂直判定及性质定理可得出OE_LC8,O尸_LC4,在

RMCF中,由PC=2,PF=百，可得出CF=1,同理在&APCE中可得出CE=1,

结合ZACB=90°,OE±CB,OFrCA可得出OE=OF=\,OC=0,

PO=^PC--oc-=V2

17.某商场为提高服务质量，随机调查了5()名男顾客和5()名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

404

⑴男顾客的的满意概率为P=而=g

303

女顾客的的满意概率为P=—=-

(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

404

(2)男顾客的的满意概率为尸=而=《

303

女顾客的的满意概率为2=石=g.

2

2100(40x20-10x30)

⑵K4.762

(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)

4.762>3.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.记S“为等差数列｛凡｝的前«项和，已知S9=-a,；

(1)若4=4,求｛凡｝的通项公式；

(2)若6>0,求使得S.>凡的n的取值范围.

(1)an=-2n+10

(2)｛n|l<n<10,HGA^｝

(1)由S9=结合1=9(4；。9)=9%可得％=0,联立生=4得1=,所以

an=a3+(〃-3)d=-2n+10

n(n—9)d

(2)由S9=-%可得4=-4d,故a“=(〃-5)d,Sn=——-——.

由4>0知d<0,故S”泊等价于“2—1山+10«0,解得1W〃W1O,

所以〃的取值范围是{n|l<n<10,ne%}

23.如图直四棱柱的底面是菱形，AA,=4,AB=2,ZBAD=60,

E,M,N分别是6C,8旦,4。的中点.

(1)证明：MN//平面CQE

(2)求点C到平面GOE的距离.

见解析

(1)连结AG，BQ1相交于点G,再过点M作MH//&E交融a于点H,再连结G”，

NG.

1•1七,”,7^分别是3。,84,4。的中点.

于是可得到NG//C.D,GH//DE,

于是得到平面NGHM//平面GOE,

由"Nu平面NGHM,于是得到MN//平面GOE

(2)<E为BC中点,ABC。为菱形且NBA。=60

：.DE±BC,又•••ABC。—44G2为直四棱柱，

—CIE,又•••A6=2,A41=4,

:.DE=6，GE=后,设点C到平面GOE的距离为力

=

由^C-CtDEVG-DCE得

—x—x^3xV17x/?=—x—xlxV3x4

3232

解得h*历

所以点C到平面C,DE的距离为'旧

(1)已知函数/(x)=2sinx-xcosx—x,/'(x)是/(x)的导数.

(1)证明：/'(X)在区间(0,外存在唯一零点；

(2)若xe[0,»]时，f{x}>ax,求。的取值范围.

略

(1)由题意得f\x)=2cosx-[cosx+x(-sinx)]-1=cosx+xsinx-l

令g(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx

jr

当无€(0,耳]时，g'(X)>0,g(X)单调递增，

■JT

当xw(一,乃)时，g(x)<o,g(x)单调递减，

2

二.g(x)的最大值为g(])=[■-1,又g(万)=一2,g(0)=。

••.g⑸%)<0,即尸⑺•尸碎)<0,

・•./'(X)在区间(。,乃)存在唯一零点.

(2)令/(x)=f(x)-ax=2sinx—xcosx-x-4ir,

/.Fr(x)=cosx+xsinx-l一。,

jr

由(1)知/'(x)在(0,万)上先增后减，存在加€(耳,乃)，使得/'(利)=。，且/'(0)=0,

/(^)=|-1>0,/⑸=一2,

F'(x)在(0,万)上先增后减，FXO)=-a,F(y)=^-l-a,F\n}=-1-a,

JT

当尸(一)WO时,F(x)在(0,乃)上小于0,尸(幻单调递减，

2

又尸(0)=0,则尸(x)〈尸(0)=0不合题意，

当尸'(2)>0时，即万■—。〈'―1时，

若F(0)20,F(^)<0,/(x)在(0,加)上单调递增，在(m,乃)上单调递减,

F(0)>0

解得a〈O,

尸⑺NO

F,(0)=-a>0

解得一2WaW0,故一2WaW0,

F'(7r)=-2-a<0

若尸(0)20,F'⑺NO,/(x)在(0,不)上单调递增，且尸(0)=0,

Fr(0)=-a>0

故只需解得aW—2;

F'M=-2-a>Q

yr

若尸'(0)W0,F'(7V)<O,尸(x)在(0,,)上单调递增，且E(0)=0,

7T

故存在xe(0,1)时，FU)<F(0)=0,不合题意,

2

综上所述，。的取值范围为(F,。］.

21.已知点48关于坐标原点。对称，|/3|=4,eM过点4,8且与直线x+2=0

相切.

(1)若A在直线x+y=0上，求eM的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|M4|一为定值？并说明理由.

(1)2或6;

(2)见解析.

(1)M过点AB,.•.圆心在AB的中垂线上即直线y=x上，没圆的方程为

(x-。了+㈠―。尸=产，又同即=4,根据AO+MO?=，得4+2/=产

・reM与直线x+2=0相切，.•.|。+2|=广，联解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.

(2)设"的坐标为(x,y),根据条件^^+跳入/=卜+中即4+炉+/2=1+邛

化简得V=4x,即M的轨迹是以(L0)为焦点，以x=-1为准线的抛物线，所以存在定

点尸(1,0),®|M4|-|MP|=(x+2)-(x+l)=l.

\-t2

22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为〈7«为参数).以坐标原点。为极

4r

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2/7cos6+G/?sin6+11=0.

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)求C上的点到/距离的最小值.

略

I_/222y

⑴曲线C：由题意得x=L==-l+/即x+l=:^,然后代入即

1+/21+/1+产2(%+1)

2

可得至(］匕=1

4

而直线/：将x=Qcos8,y=psin。代入即可得到2x+百y+11=0

(2)将曲线C化成参数方程形式为［：_：：：；(°为参数

则|2cos6+2百sind+川|4sin(6»+^)+ll

77=布

,rr3"

所以当夕+"=＜时，最小值为"

62

2019全国一卷高考文科数学试题解析

6.设z=：^，贝U|z|=()

A.2

B.73

C.V2

D.l

C

3-i(3-z)(l-2z)l-7z

因为z=-----=-------------=-----

々1+2/(l+2z)(l-2z)5

所以|z|=Jg)2+(_1)2=y/2

8.已知集合。={12,3,4,5,6,7},A={2,34,5},B={2,3,6,7},则8rle(；A=()

A.{1,6}

B.{1,7}

C.{6,7}

D.{1,6,7)

C

U={123,4,5,6,7},A={2,34,5},则"={1,6,7},又•:8={23,6,7},则

8nC</A={6,7},故选c.

3.已知a=log20.2,匕=2°2,C=0.203,则（）

K.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<h

D.b<c<a

B

由对数函数的图像可知：«=log20.2<0；再有指数函数的图像可知：。=2°2>1,

0<c=0.2°3<1,于是可得到：a<c<b.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是必二1■

2

（立二0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的

2

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是近I.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

B

方法一：

设头顶处为点A,咽喉处为点脖子下端处为点C,肚脐处为点。，腿根处为点足

底处为E,BD=t,且二1=4，

2

AgAn

根据题意可知——■=%,故AB=At;又AD=AB-\-fi£)=(Z+l)f,——=A,故

BDDF

所以身高h=AD+DF=(A+1)-t,将2=吏二^“0.618代入可得/z=4.24r.

A2

根据腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm可得AB<AC,DF>EF;

即才<26,将几=避二1x0.618代入可得40<，<42

22

所以169.6<〃<178.08,故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm

可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

二1（立二1。0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm;将

22

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm,头顶至

肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵口可计算出肚脐至足底的长度约为110;将头

2

顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm,与答案175cm更为接

近，故选B.

sinx+x

12.函数/（%）=-------^在［-肛4］的图像大致为（）

COSX+X

D

°sin(-x)-x

••・/(-x)=--------_L——sinx+x

2=~fM,

cos(-x)+(-x)^cosx+x**

・••/(x)为奇函数，排除A.

排除C,

sin7十)71八

“乃)=排除B,故选D.

cos»+(»)一

6.某学校为了解1(XX)名新生的身体素质，将这些学生编号为L2,3,…,1000,从这些新生

中用系统抽样方法等距抽取10()名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学

生中被抽到的是().

A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生

C

从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为

10〃+6(0<〃V99,〃eN),可得出616号学生被抽到.

13.tan255°=()

A.-2-V3

B.-2+V3

C.2-V3

D.2+G

D

mn45。-i-tnn4()。

因为tan255°=tan(l80°+75。)=tan75°=tan(45°+30°)=十皿山

1-tan450-tan30°

化简可得tan255。=2+百

18.已知非零向量5，B满足|,|=2出|,且3-彼），入则万与5的夹角为（）

71

A.—

6

71

B.—

3

-2万

C.—

3

5乃

D.—

6

B

---\a\=2\b\,且(。一分)，5,(2-分石=0,有。/一出『=0,设五与B的夹角为

则有I项•|B|cose—|B『=0,即2出12cos6HBi2=0,（2cos。-1）=0,：快0,

jrTT

cos0=~,e=F、故5与B的夹角为h，选B.

(2)右图是求2+」了的程序框图，图中空白框中应填入(

）

1

A.A

2+A

B.A=2+—

A

C.“A=.11-I--

2A

1

D.A=

1+2A

A

把选项代入模拟运行很容易得出结论

A=—

选项A代入运算可得2+-满足条件,

2+-

2

____

选项B代入运算可得。工1,不符合条件,

/十——

2

选项C代入运算可得A=1，不符合条件，

2

选项D代入运算可得A=1+!,不符合条件.

4

22

10.双曲线C：三一上=1(0>0/>0)的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为

a~b

()

A.2sin40°

B.2cos40°

C.---

sin50°

D.―--

cos50°

根据题意可知—2=tan130。，所以2=tan50°

aacos50°

22

1+*sin250Okos50°+sin50°1二1

离心率eL2_I

1cos50°Vcos250°cos250°cos50°

(2)AABC的内角A,8,C的对边分别为4,Z?,c,已知6rsinA—hsinB=4csinC,

cosA=-2，则2=()

4c

(5)6

(6)5

(7)4

(8)3

A

由正弦定理可得到:tzsinA-/?sin5=4csinC=>«2-b~=4c2,EPa2=4c2+b2,

又由余弦定理可得到：cosA='+c〜2」,于是可得到2=6

2bc4

(2)已知椭圆C的焦点坐标为片(7,0),工(1,0),过工的直线与C交于A,B两点,

若

|A闾=2优.，|A3|=|町则。的方程为()

J)

⑸

2-

22