2022年浙江高考数学仿真卷四（解析版）

备战2022年浙江高考数学仿真卷（4）

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）已知复数2=上土，其中i为虚数单位，贝Ij|z|=（）

i

A.—B.—C.VioD.2

22

【答案】C

【详解】解：z=—=~/（1+3/）=3-Z,其中i为虚数单位，

i-ii

则|z|="32+（-1）2=M，

故选：c.

2.（4分）已知直线/,m和平面e,则（）

A.若11Im,mua,则〃/aB.若///a,则///机

C.若/_1_二，mua,则/_L〃tD.若/_L/%,I±a9则/n_La

【答案】C

【详解】解：对于A,若I//m,机ua,则///2或/u。，故A错误;

对于3,若///a,mua,则///机或/与掰异面，故3错误；

对于C,若/_La,mua,则由线面垂直的性质得/_Lm，故C正确；

对了£）,若/_Lm,/_!_&,则相与。平行或〃zua,故。错误.

故选：C.

x-2y..O

3.（4分）若整数x,y满足不等式组x+2y+4..O,则3x+4y的最大值是（）

7x+2y—8,,0

A.-10B.0C.3D.5

【答案】D

U0'解得A（l，2），

联立

7x+2y-8=O

令z=3x+4y,Wy=-—X-+--,由图可知，当直线y=—』工+.过A时,

4444

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5.

故选：D.

4.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：CTH）,则该几何体的体积是（）（单位:

C7M3）

府视图

A.2B.4C.6D.12

【答案】A

【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体;

如图所示:

所以：V=^x-^x(l+2)x2x2=2.

故选：A.

5.(4分)已知函数f(x)=—卷丝一，则其图象可能是()

/^(Vx2+14-X)

D.

【答案】A

【详解】解：函数的定义域为{X|XHO},

22

设g(x)=lg(\lx+1+X),贝|Jg(-x)+g(x)=lg(\lx+1-X)+/g(&+1+x)

=/g(6+1-x)(Vx2+1+x)=/g1=0,则g(—x)=-g(x)，即g(x)为奇函数，

则/(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C,D,

函数右侧第一个零点为当0<x<］时，/。)>。，排除5,

故选：A.

22

6.(4分)已知双曲线方=1(a>0/>0)的右顶点为A,左焦点、为F,动点8在C

上.当跖时，有=B尸，则C的离心率是()

A.V2B.-C.石D.2

2

【答案】D

【详解】解：由动点B在。上.当BFLA/时，|AF|=|8用，

可得3在左支上，

令x=-c,可得二-二=1,解得y=±bj二-1=土也,

ab~Vaa

即有|8用=生，

a

则〃+c=—,即a(a4-c)=b2=c2-a2=(c-a){a+c),

a

可得a=c-“，即c=勿，

e=-=2.

a

故选：D.

7.(4分)已知函数/(x)=ar+l+|2x2+ar-l|(aeR)的最小值为0,则a=(

A.1

B.-1C.±1D.

24

【答案】C

2

g(x)+/心…:+l,所以g(x)=x-FOX

【详解】解：设

g(x)-h(x)=2x4-ar-lh(x)=1-x2

2g(x),g(x)..h(x)

则/(X)=g(x)+/z(x)+1g(x)-h(x)|=

2hM,g(x)<h(x)

由于g(x)=x(x+a)的图象恒过(0,0)，(-。,0)，〃(x)的图象为开口向下,

且过(-1,0),(1,0)的抛物线,

且/(x)的最小值为0,结合图象可得-4=1或-々=-1,即有a=±l.

故选：c.

8.(4分)已知二次函数/。)=加+法(|。|,,2|a|),定义<(x)=wor{/Q)|-掇)Y?l},

f2(x)=min{f(t')|-l«ijA?1}>其中，"or{a,b}表示a,6中的较大者，min{a,6}表示a,

6中的较小者，下列命题正确的是()

A.若工(一1)=/(1),则(1)

B.若人(-1)=&⑴，则/(一1)>/⑴

C.若人⑴=工(-1)，则工(T)”⑴

D.若人⑴"(T)，则力(T)>力(1)

【答案】C

【详解】解：对于A,若工(-1)=工(1),则/(-I)为f(x)在［-1,1］上的最大值，

/(-I)>f(1)或/(—1)=/(1).故A错误；

对于B,若启-1)"(1),则/(-1)是/(X)在［-1,1］上的最小值,

/(-1)</(1)或/(—1)=/(1),故8错误；

对于C,若&⑴=/(->，则于T)为f(x)在［-1,1］上的最小值,

而水-D=/（T），fy（D表示f（X）在［-1，1］上的最大值,

.-./（-1）</；（1）.故C正确；

对于。，若人（1）=/（一1），由新定义可得力（—1）=力（一1），

则人（1）=人（一1），故。错误•

故选：C.

9.（4分）如图，在矩形ASCD中，AD>AB,现将AAB£>沿皮）折至△A'8E）,使得二面

角A-BE>-C为锐角，设直线4。与直线8所成角的大小为0,直线AC与平面A8CZ）所

成角的大小为夕，二面角3-A'D-C的大小为y,则e,4，y的大小关系是（）

A.a>P>yB.a>/>/?C.y>a>0D.不能确定

【答案】C

【详解】解：考虑利用极限位置的思想，

若翻折至平面此时0。<0<90。，〃=0。，7=180。，

故y>a>（3.

故选：C.

22

10.（4分）已知E为双曲线后:二-与之①〉。/〉。）的左焦点，过点F的直线与圆

a-b~

0:/+丫2=工（"+〃）于A,3两点（A在F,B之间），与双曲线E在第一象限的交点为产，

2

O为坐标原点，若以=BP,ZAOB=nO°,则双曲线的离心率为（）

V13714„屈+夜c714+72

AA.---BD.---C.-------D.-------

3333

【答案】D

【详解】解：如图,

由圆O的方程x2+V=-（a2+b2）=-c2,得圆。的半径为OA=OB』c.

222

过。作AB的垂线O”，则〃为/W的中点，

又E4=3P,为EP的中点，设双曲线的右焦点为耳，连接尸石，

则CW为三角形"；P的中位线，可得。////2耳，贝

由NAO8=120。，可得0”=1。4=也°.

24

PFt=—c,贝iJPF=^c+2”,

'22

亭+2“尸+亭尸

在RtAPFE中，由勾股定理可得:=4c2,

整理得：3/-2缶-4=0.

解得：«=叵士区或e=也二叵（舍）.

33

故选：D.

二.填空题（共7小题，满分36分）

11.（6分）已知aeR且a>0,二项式（以？+f展开式中第二项与第四项的系数相等,

则。=1,常数项是

5

【答案】1:

4

【详解】解：:二项式（办2+J）5展开式中第二项与第四项的系数相等,

V2x

解得a=±l,

由a>0,:.a=\.

+3）5展开式的通项公式7；,

・,・二项式（f+1

\/2x

令］0_耳=0,解得r=4,

2

常数项是（丧）

故答案为：1；3.

4

12.（6分）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取

1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为则PC=0）=,

E@=.

【答案】1

3

【详解】解：【解法1】由题意知随机变量J的可能取值分别为0,1,2：

4=0表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：

①第一次就取到红球（6=,），

②第一次取到绿球、第二次取到红球（鸟=3gq）,

所以pe=o）=《+£=；+f=g

当自=1时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为2=第二次红球为工，停止取球;

423

②第一次取到1个黄球为2,第二次取到绿球为工，第三次取到红球为」，停止取球;

432

③第一次取到绿球为,第二次取到黄球为2,第三次取到红球为工，停止取球;

432

所以

pc=2)=i_p(g=o)_pe=i)=i_；_g=g：

所以彳的分布列为:

g012

P\\1

333

数学期望为E©=Oxg+lxg+2x，=l.

【解法2】由题意知，随机变量孑的可能取值为0,1,2；

计算尸…）吟+虢f

…，、C\-C\.C\C\^C\1

%=1)=丁+^-=鼠

3"法『；

所以E©=0xg+l*g+2xg=l.

故答案为：1,i.

3

>+2：*,则.⑷)

13.（6分）已知函数已知函数/*）=函数/*）的

log2x-l,x>2

单调递减区间是.

【答案】1,[1,2]

【详解】解：f(4)=log,4-1=1:

.■./(/⑷)=f(1)=-『+2x1=1；

x„2Si,f(x)=-x2+2x,对称轴为x=l;

.•"(x)在口，2]上单调递减;

.•./(X)的单调递减区间为[1,2].

故答案为：1,[1,2].

14.(4分)若正数a,匕满足々+人+2=他，则二a一+二7一的最小值是.

a-\b-\

【答案】2币

【详解】解：因为正数a,b满足a+b+2=

所以〃="Z>0,

b-1

所以6>1,

则二-+2=^^—+」-=。-1+」-..2近

a—1b—{b+2b—1h—1

------------1

b-l

当且仅当b-l=工,即6=1+J7时取等号,

b-\

故则3+工的最小值2万.

a-\h-l

故答案为：2".

15.(6分)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值

的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数和

则史应是X的更为精确的近科似值.现第一次用“调日法”：由竺＜万＜乌得到7r的更为

a+c87

精确的近似值为“，贝,第二次用“调日法”：由q＜%＜手得到不的更为精确

的近似值为的,…，记第及次用“调日法”得到兀的更为精确的近似值为10,neN*).

若=3.14,贝!J〃=

【答案】又，6

15

【详解】解：第一次：X若,不足近似值为不过剩近似值为:

25+2247

/.q=

8+715

第二次："(三，不足近似值为丝，过剩近似值为二,

157157

_47+22-69

~15+7-22

第三次：会万＜芋,不足近似值为最过剩近似值为黄

_69+22_91

~22+7-29

第四次：史＜乃〈必，不足近似值为空，过剩近似值为名,

297297

91+22113

29+7-3?；

第五次：年不足近似值为舒过剩近似值为:

113+22135

36+7-石

第六次：■＜彩不不足近似值为,，过剩近似值为不

135+22157

a.=-------=——=3.14：

643+750

综上可得，〃=6.

故答案为：—,6.

15

22

16.（4分）已知匕，F,是双曲线C:=-2=l（a>0力>0）的左、右焦点，过尸，的直线交双

a'b'

曲线的右支于A，3两点，且|A耳\=2\AF2\,ZAf；入则下列结论正确的有.

①双曲线C的离心率e=2叵；

3

②双曲线C的一条渐近线斜率是6；

③线段|A31=6”；

@AA4工的面积是而a?.

【答案】②④

【详解】解：如图示：

由于且|A/"=2|Ag|,ZAF,F2=ZFtBF2,

可得：且|A/J=4a,|AF21=2a,由于NA打工=/68名,

所以△AB-sAABg,

故空=组，

AF,AF2

可得：|A8|=2|Ag|=8a,

故|B月|=6a,|BKI=8a，

所以|耳内|=2c=4a,

所以离心率e=2,

故2=6，

a

在△Af；6中，|A£|=4a,|AF21=2a,|£g|=4a,

所以S’M弓=屈2.

故②④正确；

故答案为：②④.

17.（4分）已知a>0,b&R,若-力f+ax|,,bx4+（“+24>»2+。对任意xeg,2］都

成立，则2的取值范围是.

a

【答案】［叵口，+oo）

2

【详解】解：由|or'-加+ov|,,法4+（4+26）丁+6对任意的xeE,2］恒成立,

2

可知|a（x+3-b|„伏x+'y+a恒成立.

XX

设/=*+1€［2,5,〃=2,则问题等价于|""|,,“产+1在［2,2］上恒成立，

x2a2

-1-Z

u..———

即/一解/+［在〔2,马上恒成立，即|「-1在［2±］恒成立，

2t-\2

所以只要“…总在吟上恒成立即可.

则0=一一二一!一...1L

2

产+1m+2m+2m+2+22+2正

m

所吟与,

所以2的取值范围是［也二1,+00）.

a2

三.解答题（共5小题，满分74分）

18.（14分）已知函数/（幻=疝11万85犬-8$2'+；.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设方程〃制=如在（0,可上恰有5个实数解，求〃的取值范围.

【答案】(1)++—](JleZ)(2)6?e[—,—)

882424

【详解】解：（1）函数/（工）=$足工＜：0§工一00521+3=35抽2元一^^:^+；=-^$出（2天一?）.

令一g+2Z通电光一?2k7r^^（kGZ）,

整理得一工+Z赭/^+―（A:GZ）,

88

所以函数的单调递增区间为［—工+Qr,%/+—］｛keZ）.

88

（2）设方程/（x）=远在（0,a］上恰有5个实数解，

4

A7i

令——V2sin（2x---）=——V6，

244

即sin(2x-5)=，

整理得2x—（=2k4+（或2左乃+,伏wZ）

解彳导x=攵4+—或H=k7r+.

2424

所以当k=2时，x=27r+—=—^x=27r+—=—^h

24242424

由于恰好有5个实数解.

切557591、

政---,----)

2424

19.（15分）已知三棱柱A8C-A4G，AABC是正三角形，四边形ACG4是菱形且

乙41A。=60°,"是41G的中点，MB=MC.

(I)证明：AMrBC;

（II）求直线AM与平面BCGg所成角的正弦值.

【答案】（I）见解析（II）应

21

【详解】（I）证明：取BC中点为。，连结4）,MD,如图所示,

由用B=MC得M£>_LBC,

由A48c是正三角形，所以AD1.8C,

又MOnA。：。，MD,AOu平面AMD,故BC_L平面AMD,

又AWu平面4WD,

因此8c_LAM；

（II）证明：设AO中点为E,平面AWE■交AG于N,连结NE,

设AA=AC=1.MMN//AD,所以CN=：BCI=；,

由直角梯形。CGN,则有ON=乎，

山3（7_1平面40八/£）,又BCu平面3CC4，

所以平面BCCRJ_平面AMND,

所以DN为AM在平面BCGg内的射影，

所以ZEND为AM与平面BCC｝Bt所成的角，

在AEND中，DE2=EN2+DN2-2EN-DNcosZEND,

I6口z...A/V>/15ze/me2\/105

由DE=——，EN=AM=——，DN=---得cosZ.END=------，

42421

所以sinNEN£>=叵，

21

所以直线AM与平面BCG区所成角的正弦值—.

20.（15分）己知数列的前”项和为S,，4=1-25〃,数列｛4｝为等差数列，其前〃项

和为7“，4=1,兀=55.

（I）求a.，b„；

（II）证明：对neN*,++^JA<2.

TT；T；

【答案】（I）a=~aIb“=1+”一1=〃（II）见解析

n3n-iH

*

【详解】解：（I）由a“=l-2S〃，可得〃=1时，ax=5j=1-

解得q=g;

当”..2时，a,-=l-2S,i，又a“=l-2S.，

两式相减可得an-a,-=1-2S„-1+25,,-j=-2a„,

即为4,=£T，

则数列伍“｝是首项和公比均为g的等比数列，

可得4,=（g）"；

数列｛2｝为等差数列，设公差为d，

由々=1,7；0=55,可得10+45"=55,

解得d=1,则4=1+"-1=〃；

（H）证明：Z,=g〃（〃+1）,

4（〃+；）

设C.=3

*一“2（〃+1产

4（〃+立）2（2〃+1）

由于所以％<

3"2“2（"+1）2-〃2（”+1）2

所以邛+3++殳岁111

<21——+----+...+

VT；T,；449

=2[1——5^]<2.

(〃+1)2

故原不等式成立.

22

21.(15分)已知耳，尸2是椭圆E：=+《=13>b>0)的左、右焦点，动点P在椭圆上,

ab

且||的最小值和最大值分别为1和3.

(I)求椭圆的标准方程；

(H)动点/在抛物线C：V=4x上，且在直线x=a的右侧.过点M作椭圆E的两条切线

分别交直线x=-“于A,B两点.当|AB|=10时，求点M的坐标.

22

【答案】(I)—+^=1(II)(4,±4)

43

【详解】解析：(I)由f-'"I,

,+c=3

解得。=2,c=1»b—\[3f

22

所以椭圆方程为土+E=1.

43

(II)不妨设左心=匕，kPB=k2,A(%],yj,B(X2,y2),M(产，2。，

设过点M作椭圆的切线方程为尸k(x-/)+2/,

,[y=kx+(It-fk.)

[3x2+4y2=l2'

得(3+4k2)x2+Sk(2t-rk)x+4(2/-/2JI)2-12=0,

由△=0得到(r—4)k2-4tyk+4/一3=0,

4/4/-3

所以秘2=77了

|4例=|乂一%1=(产+2)以一七1，

因为|人一七|=&匕+&)2-4板2=2立“匚2

P-4|

2V3r4+16/2-12

所以|A8|=(r2+2)-=10,

|(?-2)(?+2)|

解得r=4,

点M的坐标为(4,±4).

22.(15分)己知函数f(x)=(2-a)/nx+'+2ar(6,0).

x

(I)当。=0时，求/(x)的极值；

(II)当a<0时，讨论的单调性；

(HI)若对任意的ae(-3,-2),Xy,x