《6.3 二项式定理》考点讲解与专题训练

《6.3二项式定理》考点讲解【思维导图】【常见考点】考法一二项式定理展开式【例1】(1)求的展开式为．（2）已知，则的值为【一隅三反】1．化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A．(2x+2)5B．2x5C．(2x-1)5D．32x52．化简：_________.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）在(x-)10的展开式中，x6的系数是（2）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）的有理项共有项【一隅三反】1．二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）2.在二项展开式中，常数项是_______.3.若的展开式中的系数为7，则实数=______.4．已知的展开式的常数项是第7项，则________.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）的展开式中常数项是（）A．-252B．-220C．220D．252（2）．若的展开式中常数项为，则（）A．B．C．D．【一隅三反】1．展开式中常数项为（）.A．11B．C．8D．2．的展开式中常数项为()A．B．C．D．3．的展开式的常数项为（）A．6B．10C．15D．164．在的展开式中，x2项的系数为（）A．30B．45C．60D．905．若的展开式中的系数为，则等于（）A．B．C．1D．2考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）的展开式中二项式系数最大的项是（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项（2）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（）.A．第五项B．第六项C．第七项D．第八项（3）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A．B．C．D．【一隅三反】1．在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960B．1120C．-560D．-9602．(axA．B．C．10D．203．（多选）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）A．7B．8C．9D．104．已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.5．二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．考法五二项式系数或系数和【例5】若.求：（1）；（2）；（3）.【一隅三反】1．在的二项展开式中，二项式系数之和为_____；所有项的系数之和为_____.2．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝3．已知，则_____.4．设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n；（2）求;（3）求..考法六二项式定理运用【例6】（1）除以100的余数是________（2）的计算结果精确到0.01的近似值是_________【一隅三反】1．已知能够被15整除，则________.2．被除所得的余数是_____________．3．的计算结果精确到0.001的近似值是答案解析考法一二项式定理展开式【例1】(1)求的展开式为．（2）已知，则的值为【答案】（1）eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2【解析】（1）方法一eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).方法二eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))4＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)·[1＋Ceq\o\al(1,4)·3x＋Ceq\o\al(2,4)(3x)2＋Ceq\o\al(3,4)(3x)3＋Ceq\o\al(4,4)(3x)4]＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2.（2）由得则，即，解得.【一隅三反】1．化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A．(2x+2)5B．2x5C．(2x-1)5D．32x5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.2．化简：_________.【答案】【解析】则所以故答案为：.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）在(x-)10的展开式中，x6的系数是（2）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）的有理项共有项【答案】（1）9（2）70（3）6【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系数为(-)4=9（2）二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：70（3）的通项公式为：，，，，所以有理项共有6项，故选：C【一隅三反】1．二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得，此时.2.在二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是，当时，.故答案为603.若的展开式中的系数为7，则实数=______.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，令，可得，，解得：，故答案为：4．已知的展开式的常数项是第7项，则________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则，故.故答案为：8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）的展开式中常数项是（）A．-252B．-220C．220D．252（2）．若的展开式中常数项为，则（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）C【解析】(1）由，可得二项式的展开式通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.（2）的展开式的通项公式为：，显然，为奇数，若求展开式的常数项，，解得故的展开式的常数项等于：故选：C.【一隅三反】1．展开式中常数项为（）.A．11B．C．8D．【答案】B【解析】将看成一个整体，展开得到：的展开式为：取当时，系数为：当时，系数为：常数项为故答案选B2．的展开式中常数项为()A．B．C．D．【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令;令;故所求常数项为，故选C.3．的展开式的常数项为（）A．6B．10C．15D．16【答案】D【解析】由题意得的展开式的通项为，令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.4．在的展开式中，x2项的系数为（）A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B.5．若的展开式中的系数为，则等于（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为根据二项式定理展开式通项为,的通项为令解得所以的项为令解得所以的项为综上可知,的系数为解得故选:D考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）的展开式中二项式系数最大的项是（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项（2）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（）.A．第五项B．第六项C．第七项D．第八项（3）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A．B．C．D．【答案】（1）BC（2）BC（3）D【解析】(1）因为n＝11为奇数，所以展开式中第项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【一隅三反】1．在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960B．1120C．-560D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24•（﹣1）4=1120，故选B．2．(axA．B．C．10D．20【答案】C【解析】由已知，当x=1时，(a+11)(2-1)3．（多选）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）A．7B．8C．9D．10【答案】ABC【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9故选：ABC.4．已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】59136【解析】设，令，得，所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为.故所求的系数为59136.5．二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，．因为令，得，所以常数项为．考法五二项式系数或系数和【例5】若.求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令，可得，∴．①（2）令可得，∴．②由①②得，∴．（3）由题意得二项式展开式的通项为，∴每项的系数，∴．【一隅三反】1．在的二项展开式中，二项式系数之和为_____；所有项的系数之和为____.【答案】【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和为，故答案为：，2．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝【答案】1【解析】令，得，令，得，.故选：A.3．已知，则___.【答案】【解析】对等式两边求导，得，令，则.4．设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n；（2）求;（3）求..【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，（2）（3）令，得，令，得，故.考法六二项式定理运用【例6】（1）除以100的余数是________（2）的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）即除以100的余数为．故答案为：．（2）故答案为：【一隅三反】1．已知能够被15整除，则________.【答案】14【解析】由题可知，所以，而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案为：14.2．被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为，所以转化为求被除所得的余数，因为，所以被除所得的余数是1，故答案为：13．的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故选B《6.3二项式定理》考点训练【题组一二项式定理展开式】1．计算等于（）A．B．C．D．2．设，化简______.3．已知，若，则________.4．求值____．【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】1.展开式中含的项是（）A．第8项B．第7项C．第6项D．第5项2．二项式展开式中的第2020项是（）A．1B．C．D．3．二项式的展开式中，常数项为________.4.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【题组三多项式指定项系数或二项式系数】1．在的展开式中，项的系数为（）A．B．C．30D．502．展开式中的系数为（）A．92B．576C．192D．3843．的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．4．代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）5．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）6．求的展开式中的系数.7．的展开式中的项的系数是________.8．已知的展开式中的系数是，求实数a的值.【题组四二项式定理的性质】1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）A．B．C．D．72．若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．132B．C．D．663．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．-180D．-904．（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第4项5．（多选）已知（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（）A．n的值为14B．展开式中常数项为第8项C．展开式中有理项有3项D．二项式系数最大的项是第7项6．关于的说法，正确的是（）A．展开式中的二项式系数之和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最大7．（多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项【题组五二项式系数或系数和】1．若，则（）A．3B．4C．5D．62．已知，，则自然数等于（）A．6B．5C．4D．33．若，则（）A．1B．0C．D．4．已知多项式可以写成，则（）A．0B．C．D．5．已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）A．B．C．D．6．设复数（是虚数单位），则（）A．iB．C．D．7．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为()A．1B．－1C．8lD．－818．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【题组六二项式定理的运用】1．除以88的余数是（）A．2B．1C．86D．872．设，且，若能被13整除，则（）A．0B．1C．11D．123．已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．B．1C．7D．134．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．125．设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．26．的近似值（精确到0.01）为（）A．1.12B．1.13C．l.14D．1.207．的计算结果精确到个位的近似值为（）A．106B．107C．108D．1098．已知为正整数，若，则的值为（）A．2B．3C．4D．5答案解析【题组一二项式定理展开式】1.计算等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式可变为（+）-=选项D.2．设，化简______.【答案】【解析】容易知.故答案为：.3．已知，若，则________.【答案】【解析】故答案为：4．求值__________．【答案】1【解析】通项展开式中的，故=【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】1.展开式中含的项是（）A．第8项B．第7项C．第6项D．第5项【答案】C【解析】展开式的通项公式为：；令；故展开式中含的项是第6项.故选：C.2．二项式展开式中的第2020项是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由二项展开式，可得展开式的通项为，所以展开式中第2020项为.故选：C.3．二项式的展开式中，常数项为________.【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式的常数项为，故答案为：.4.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）；（3），，.【解析】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．（2）令，得，所以含的项的系数为．（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．【题组三多项式指定项系数或二项式系数】1．在的展开式中，项的系数为（）A．B．C．30D．50【答案】B【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选B．2．展开式中的系数为（）A．92B．576C．192D．384【答案】B【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B.3．的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.4．代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.∴常数项为故答案为.5．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】的展开式中的通项公式，而分别令，，解得，或．∴的展开式中的常数项．故答案为：180．6．求的展开式中的系数.【答案】【解析】因为的展开式中含的项为，所以其系数为.故答案为：6007．的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.8．已知的展开式中的系数是，求实数a的值.【答案】2【解析】由的展开式的通项公式为，令，可得，令，可得，所以的展开式中的系数为，解得.故答案为：.【题组四二项式定理的性质】1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）A．B．C．D．7【答案】D【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令，得所以展开式中的系数为故选：D2．若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．132B．C．D．66【答案】D【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，，所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D3．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．-180D．-90【答案】A【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，，故展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：A4．（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】的展开式中所有二项式系数和为，A正确；令可得的展开式中所有项的系数和为，B正确；通项为，令，所以的展开式中常数项为，C错误；的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：ABD5．（多选）已知（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（）A．n的值为14B．展开式中常数项为第8项C．展开式中有理项有3项D．二项式系数最大的项是第7项【答案】AC【解析】由题意，化简得，∵，∴．A正确；展开式通项为，显然其中无常数项，B错误；当时，为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误．故选：AC．6．关于的说法，正确的是（）A．展开式中的二项式系数之和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最大【答案】AC【解析】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.故选：AC7．（多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项【答案】CD【解析】令，可得展开式中各项系数的和为，又二项式系数的和，因为各项系数的和比它的二项式系数的和大，所以，解得，对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为，故A错误；对B：因为，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；对C：，设展开式中系数最大的项是第项，则，解得，又，所以，所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；对D：若是有理项，则当且为整数，又，，所以，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD【题组五二项式系数或系数和】1．若，则（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，两式相加可得：，所以，故选：B2．已知，，则自然数等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.3．若，则（）A．1B．0C．D．【答案】C【解析】，当且时，，因此，.故选：C.4．已知多项式可以写成，则（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】由题意，多项式，即，令，可得，令，可得，两式相加，可得，可得.故选：C.5．已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，则,令，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故选：A.6．设复数（是虚数单位），则（）A．iB．C．D．【答案】D【解析】，，故选D.7．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为()A．1