《7.3 离散型随机变量的数字特征》同步练习

《7.3离散型随机变量的数字特征》同步练习一、单选题1．若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（）A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，172．若随机变量的分布列如下表，则（）012345P2x3x7x2x3xxA． B． C． D．3．已知随机变量的取值为.若，，则（）A． B． C． D．4．随机变量的分布列如下表所示，则（）A． B． C． D．5．随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（）A． B． C． D．6．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（）012A．先减少后增大 B．先增大后减少C．先减小后增大 D．先增大后减小7．设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（）A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大8．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（）A．，B．，C．，D．，二、多选题9．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是（）A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0411．设离散型随机变量的分布列为012450.30.20.20.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B． C． D．12．（多选）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（）012A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小C． D．的值最大三、填空题13．已知随机变量的分布列为012若，则______．14．数据，，…，的均值为，方差为2，现增加一个数据后方差不变，则的可能取值为______．15．甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则______.16．已知，，随机变量的分布列是：若，则________，________.四、解答题17．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为(1)求a,b的值.(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.18．某人投弹击中目标的概率为.（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.19．某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89100．40．40．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．20．甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.21.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.22．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.(1)随机变量的概率分布列；(2)随机变量的数学期望与方差.答案解析一、单选题1．若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（）A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17【答案】C【解析】由题，则，.故选：C2．若随机变量的分布列如下表，则（）012345P2x3x7x2x3xxA． B． C． D．【答案】D【解析】3．已知随机变量的取值为.若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又，解得，所以，，则，所以.故选：C.4．随机变量的分布列如下表所示，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由随机变量的分布列的性质，可得，解得，则，所以.故选：D.5．随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，由题意，，且，解得，，，故选：C．6．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（）012A．先减少后增大 B．先增大后减少C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】D【解析】由期望公式，得，在内一直增大.由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少,故当在内增大时先增大后减少.故选:D.7．设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（）A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.方法2：则故选D.8．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，，∵，∴.∵，，，∴，故选：C.二、多选题9．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．【答案】AB【解析】随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；在D中，D（X），故D错误.故选：AB.10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是（）A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04【答案】BD【解析】对于选项，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项，线路一所需的平均时间为分钟，线路二所需的平均时间为分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，所以选项D正确．故选：BD.11．设离散型随机变量的分布列为012450.30.20.20.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得：，则，，即，因为离散型随机变量满足，.故结果正确的有AC.故选：AC.12．（多选）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（）012A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小C． D．的值最大【答案】BC【解析】由题意，由于，所以随着的增大而减小，A错，B正确；又，所以C正确；时，，而，D错．故选：BC．三、填空题13．已知随机变量的分布列为012若，则______．【答案】【解析】由概率分布列知．．公式：．14．数据，，…，的均值为，方差为2，现增加一个数据后方差不变，则的可能取值为______．【答案】或【解析】由题意，故，由，得：，解得：，故答案为：或．15.甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则______.【答案】1.5（或）【解析】的可能取值为0，1，2，且，，，故.故答案为：1.5（或）.16．已知，，随机变量的分布列是：若，则________，________.【答案】【解析】由题意可得，解得，因此，.故答案为：；.、四、解答题17．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为(1)求a,b的值.(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.由于Eξ>Eη,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.18．某人投弹击中目标的概率为.（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.【答案】（1）；（2），【解析】（1）由题意可知服从两点分布因为，，所以，.所以，（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即所以，，.19．某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89100．40．40．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2【解析】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中10环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，10，，，的分布列为89100．160．480．3620．甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；(2)的数学期望为.【解析】(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则………………6分(2)…………12分答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；(2)的数学期望为.21.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其