2023-2024学年高考数学计数原理专项练习题（附答案）

2023-2024学年高考数学计数原理小专题一、单选题1．从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（

）A．24 B．48 C．72 D．1202．劳动教育是教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（

）A．140 B．150 C．200 D．2203．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（

）A．90 B．135 C．270 D．3604．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48 B．18 C．24 D．365．的展开式中的常数项为（

）A．80 B．160 C．240 D．3206．的二项展开式中，第项的系数是（）A． B． C． D．7．核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（

）A． B． C． D．8．已知，则x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12二、多选题9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法总数为B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为10．A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（

）A．若A、B两人站在一起有48种方法B．若A、B不相邻共有12种方法C．若A在B左边有60种排法D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（modm）．若，（mod10），则b的值可以是（）A．2011 B．2012 C．2020 D．202112．若将函数表示为，其中为实数，则（）A． B．C． D．三、填空题13．若，则实数.14．已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示条不同的直线．15．已知的所有二项式系数之和为64，则，.16．化简：．

答案：1．C【分析】本题可以先从5人中选出4人，分为有甲参加和无甲参加两种情况，若有甲参加先将甲安排参加C、D科目，然后安排其它学生，通过分步乘法和分类加法原理，得到本题的结论【详解】从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，可分为以下几步：（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有：种；无甲参加时，选法有：种．（2）安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：种．无甲参加时，排法有种．综上，．∴不同的参赛方案种数为72．故选：C．2．B【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.【详解】当按照进行分配时，则有种不同方案，当按照进行分配时，则有种不同方案，故共有不同的方案，故选:B3．B【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有种，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为种选法.故选：B.4．D【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有（个）.故选：D5．D【分析】首先写出展开式的通项，原式化为从而求出展开式的常数项.【详解】因为展开式的通项为，又因为，所以展开式中常数项为．故选：D．6．D【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出结论．【详解】的二项展开式中，第项为，故该项的系数为，故选：D．7．B【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故选：B8．A【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.【详解】由题意得，化简可得，解得或6，因为，所以且，故.故选：A.9．ABD【分析】根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D选项错误.故选：ABD10．AC【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B两人站在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解.【详解】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确；对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法，所以A、B不相邻共有种方法，故B错误；对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确；对于选项D：A站在最左边，则有种方法，B站最右边，则有种方法，A站在最左边，B站最右边，则有种方法，所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误.故选：AC11．AD【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为1，即可得到答案.【详解】，∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，故选：AD．12．ABCD【分析】根据条件，通过换元得到，对于选项ACD，通过赋值即可得判断出相应选项的正误；对于选项B，利用展开式的通项公式为，即可求出，从而判断出选项B正确.【详解】因为，令，得到，选项A，令，得到，所以选项A正确；选项B，因为展开式的通项公式为，令，得到，所以，故选项B正确；选项C，令，得到，又，所以，故选项C正确；选项D，令，得到，又，所以.故选：ABCD.13．【分析】利用排列数与组合数的关系、组合数性质求解即得.【详解】依题意，，又，因此，而，所以.故614．22【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；