2023-2024学年高考数学专项复习-压轴题（附答案）

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题决胜2024年高考数学专项特训:压轴题1．已知函数，．(1)求的极值；(2)证明：当时，．（参考数据：）2．已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；(3)若恒成立，求实数的取值范围.3．已知函数，曲线在处的切线方程为.(1)求的值：(2)求在上的最值；(3)证明：当时，.4．已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)若实数满足且，证明.5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.6．已知函数，.(1)当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的单调区间及在区间上的最值；(2)若对，恒成立，求a的取值范围.7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．8．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．(1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；(2)当时，若集合具有性质，①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；②求集合中元素个数的最大值．9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程；(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值.10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．(1)求双曲线的标准方程；(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．①证明：直线过定点；②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．11．设圆O的弦的中点为M，过点M任作两弦，弦与分别交于点E，F.

(1)试用解析几何的方法证明：M为的中点；(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？12．定义在R上的函数满足：①对，，当时，总有；②对，．(1)求；(2)若对任意，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围．13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P．(1)若，且集合具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：；且若成立，则；(3)若X具有性质P，且，求数列的通项公式．14．已知，是的导函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．①求证：对于任意的实数x，都有；②若关于x的方程有两个实数根，且，证明：．15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．(1)求曲线K的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．16．已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

17．已知函数（为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，设函数的两个极值点，恰满足关系式，求的最小值．18．给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称为数列．记数列的项数的最小值为．条件①：的每一项都属于集合；条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列称为的一个子列．(1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！数列；数列．(2)求的值；(3)求证．

答案：1．(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.【详解】（1）的定义域为，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，所以的极大值为，无极小值；（2）设，解法一：则，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，，所以存在，使得，即．当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以当时，在处取得极小值，即为最小值，故，设，因为，由二次函数的性质得函数在上单调递减，故，所以当时，，即．解法二：要证，即证，因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，即.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)(2)证明详见解析(3)【分析】（1）利用导数求得的最小值.（2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.【详解】（1）依题意，，所以，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以当时取得最小值为.（2）要证明：对任意正整数，都有，即证明，即证明，由（1）得，即令，所以，所以，所以对任意正整数，都有.（3）若不等式恒成立，此时，则恒成立，令，令，所以在区间上单调递增，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，所以.利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，(2)；(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.（2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从而证得不等式成立.【详解】（1），∴，解得：，；（2）由（1）得：，，令，则，是增函数，令解得.∴，也即在上单调递减，在上单调递增，∴，∴在递增，∴；；（3）∵，由（2）得过，且在处的切线方程是，故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，下面证明时，，设，，∴，∴令，，由（2）得：在递减，在递增，∵，，，∴，∴存在，使得，∴时，，时，，故在递增，在递减，在递增.又，∴当且仅当时取“”，故，，由（2）得：，故，∴，当且仅当时取“=”，∴，即，∴，即成立，当且仅当时“=”成立.求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解；（3）由，得，则，要证，即证，即证，构造函数，证明即可.【详解】（1）当时，，，由，得，由，得，故的单调增区间为，单调减区间为；（2），令，则，令，则，由，得，由，得，故在递增，在递减，，，所以，在上单调递增，，，的取值范围；（3），又，在上递增，所以，下面证明：，即证，令，则，即，令，则，令，则，∴函数在上单调递减，，在递减，，所以.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)(2)(3)存在，.【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.（2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得三点共线得到成立.【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为.（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，故设直线为，联立，消去，得，因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知：面积的最大值为.（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，由（2）知，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，，则，所以，则三点共线，所以；综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且..

方法点睛：直线与椭圆交于，当且仅当时，取得最大值.6．(1)（i）；（ii）答案见解析(2)【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程；（ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；（2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处的切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围.【详解】（1）（i）当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为，即；（ii），，，令，解得，令，解得，当时，，又，，其中，故，故的单调递增区间为，单调递减区间为；在区间上的最大值为，最小值为；（2），对，恒成立，变形为对恒成立，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，其中，，当时，恒成立，故画出的图象如下：

其中恒过点，又，故在处的切线方程为，又在上，结合图象可得此时在上方，另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求，故要想满足，需要，解得，a的取值范围是对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.7．(1)，，(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）作轴于点，可求得，，证明，可得，进而可得出答案；（3）作轴交于点，过点作轴于点，通过证明，求出，再通过证明，可得，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】（1）∵在抛物线上，∴，∴，∴抛物线解析式为，当时，，∴，（舍），∴，∵在直线上，∴，∴；（2）如图，作轴于点，

对于，令，则，∴点，即，∵，∴，∵点P的横坐标为m．∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴（舍），，∴，∴点；（3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，

∵，∴点，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵轴，∴轴，∴，∴，∴，当时，取得最大值.关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；（2）当时，先求得集合，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．【详解】（1）当时，，不具有性质，因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，集合具有性质，因为可取，对于该集合中任一元素，，（），都有.（2）当时，集合，①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．首先因为，任取，其中．因为，所以．从而，即，所以．由具有性质，可知存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有．对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中，则有．所以，集合具有性质P；②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，那么集合一定具有性质．任给，，则与中必有一个不超过．所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．不妨设中有个元素不超过．由集合具有性质，可知存在正整数．使得对中任意两个元素，都有．所以一定有．又，故．即集合中至少有个元素不在子集中，因此，所以，得．当时，取，则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．而此时集合S中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，(2)或(3)(4)或【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B作轴于D，过点A作轴于E，证明，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明，即可求出点A的坐标为，再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，先证明是等腰直角三角形，得到，设点M的坐标为，则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时的面积.【详解】（1）由题意得抛物线的焦点坐标和准线l的方程分别为.（2）由题意得抛物线的准线方程为，因为点到准线的距离为6，所以点的纵坐标为4，∴当时，，解得，∴点P的坐标为或.（3）如下图所示：

过点B作轴于D，过点A作轴于E，由题意得点F的坐标为，直线l的解析式为：，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点B的纵坐标为，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴点A的坐标为，∴，∴，∴，解得（负值舍去）；（4）如图下图所示：

当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，∵在中，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设点M的坐标为，∴，∴，∴.∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴，∴；同理当E时靠近H的黄金分割点点，，∴，∴，综上所述，或.关键点点睛：正确理解二次函数性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等概念，并充分结合已知条件是解题的关键.10．(1)(2)①证明见解析；②9【分析】（1）由渐近线方程与焦距可得答案；（2）①设直线MN方程为，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得，后通过令，结合单调性可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意有解得．故双曲线的标准方程为；（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，由（1）可知点A的坐标为，联立方程消去后整理为，可得，，，由，有，由，可得，有或，当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，过点，符合题意，故直线过定点；

②由①，设所过定点为，，，若在双曲线的同一支上，可知都在左支上，有，可得，故的面积为，令，可得，有，由函数为函数值都为正的减函数，可得当时，的面积的最小值为9．

关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题目条件求出参数或找到参数间等量关系；求圆锥曲线中三角形面积的最值或范围，首先需结合图象或已知得到面积的表达式，后通常利用换元等思想将问题转化为求相关函数的值域.11．(1)证明见解析(2)能，理由见解析【分析】（1）一方面：由题意设直线的方程分别为，圆O的方程为，将直线方程分别与圆O的方程联立并由韦达定理得，.另一方面：通过分析得若要M为的中点，只需.故结合以上两方面命题得证.(2)一方面：同理可设椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程分别为、、，设直线的方程分别为，将两直线分别与以上方程联立即可求得相应的.另一方面：同分析（1），即若要M为的中点，只需.故结合以上两方面命题得证.【详解】（1）由题图所示：

一方面：由题意设圆O的方程为，直线的方程分别为;点A，B，C，D的坐标为，所以直线的方程为，令，可得点E的横坐标为，结合可知，同理可得点F的横坐标为，由题意若要M为的中点，只需即，所以只需，交叉相乘得并整理得.另一方面：联立圆O的方程与直线的方程得，整理得，由韦达定理可得，同理可得.结合以上两方面有成立，故命题得证.（2）当圆变为椭圆时的情形（情形一）：如下图所示：

一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为，将其与直线的方程联立得，化简并整理得，由韦达定理可得，同理可得.另一方面：由（1）中分析可知，若要M为的中点，则只需成立.结合以上两方面有成立,故命题得证.当圆变为双曲线时的情形（情形二）：如下图所示：

一方面：同理设双曲线方程为，将其与直线的方程联立得，化简并整理得，由韦达定理可得，同理可得.另一方面：由（1）中分析可知，若要M为的中点，则只需成立.结合以上两方面有成立,故命题得证.当圆变为抛物线时的情形（情形三）：如图所示：

一方面：同理设抛物线方程为，将其与直线的方程联立得，化简并整理得，由韦达定理可得，同理可得.另一方面：由（1）中分析可知，若要M为的中点，则只需成立.而显然成立.结合以上两方面有成立,故命题得证.综上所述：如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，（1）中结论依然成立.关键点点睛：本题关键一方面：是要用分析法，即若M为的中点，只需即，即只需成立即可；另一个关键的方面是：同理设出椭圆、双曲线或抛物线的相应方程，只有准确设出相应方程剩下就交给计算了；从而问题就迎刃而解了.12．(1)(2)【分析】（1）由条件①②，可知存在唯一的，使得，从而得到，设，求导得到其单调性，结合，求出，得到答案；（2）构造，故转化为等价于“对任意，，恒成立”，换元后得到（），分，和三种情况，求出实数k的取值范围.【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R上单调递增．再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．又上式对成立，所以，所以，即．设，因为，所以单调递增．又，所以．所以；（2）构造函数，由题意“对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形”等价于“对任意，，恒成立”．又，令，当且仅当时，即时取等号，则（），当时，，因为且，所以，解得，即；当时，，满足条件；当时，，因为且，所以，即．综上，实数k的取值范围是．复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)(2)证明过程见解析(3)，【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中，选取，，通过分析求出；（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；（3）由（2）可得，设，，则有，记，问题转化为X具有性质P，当且仅当集合关于原点对称，得到，共个数，由对称性可知也有个数，结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.【详解】（1）对任意，都存在，使得，即对于，都存在，使得，其中，因为集合具有性质P，选取，，则有，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，满足，故；（2）取，，则，因为，所以，即异号，显然中有1个为，则另一个为1，即，假设，其中，则，选取，，则有，则异号，从而之中恰有一个为，若，则，矛盾，若，则，矛盾，故假设不成立，所以；（3）若X具有性质P，且，由（2）可得，设，，则有，记，则X具有性质P，当且仅当集合关于原点对称，注意到是集合中唯一的负数，故，共个数，由对称性可知也有个数，由于，已经有个数，对于以下三角形数阵：……注意到，所以有，从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，由于，故，解得，故数列的通项公式为，.集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设的根为，推出，从而，即可证明结论.【详解】（1）由题意得，令，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，得，，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）①证明：由（1）可知，令，有或，故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为．曲线在点处的切线方程为，则，令，则，所以，．当时，若，，若，令，则，故在时单调递增，．故，在上单调递减，当时，由知在时单调递增，，在上单调递增，所以，即成立．②证明：，设的根为，则，又单调递减，且，所以，

设曲线在点处的切线方程为，有，令，，当时，，当时，令，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．难点点睛：本题考查导数的综合应用，涉及单调性、最值以及不等式的证明，难点在（2）中第二小问不等式的证明，解答时要注意利用导数的几何意义求得切线方程，进而结合同构函数，判断函数单调性解决问题.15．(1)(2)(3)8【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，（2）联立直线l与抛物线，求出的值，又，设出OP的方程，再联立抛物线求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为的高，再求面积的最小值即可．【详解】（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为，（2）设直线l的方程为，联立，消y得，∴，∴，

设，∴,又，∴∵，∴设直线OP的方程为，联立，消y得，∴，∴，∴，令，则，∴，∴，∴，故的值为，（3）设，直线PD的方程为，又圆心到PD的距离为1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的两根，所以，，

依题意，即，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时上式取等号，所以面积的最小值为8．方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)(2)证明见解析(3)存在，【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程；（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点；（3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围．【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上，又的横坐标为1，∴椭圆必不过，∴三点在椭圆C上．把代入椭圆C，得，解得，∴椭圆C的方程为．（2）证明：①当斜率不存在时，设,，∵直线与直线的斜率的和为，∴，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，联立，消去y整理得，则，，则,又，∴，此时，故存在k，使得成立，∴直线l的方程为，即∴l过定点．（3）∵点P，Q在椭圆上，所以，，两式相减可得，又是线段PQ的中点，∴，∴直线PQ的斜率，∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得，由题可知，∴，又G在椭圆内部，可知，∴，故，设，，由图可知，，∴，当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，∴，由，可知，即，∴，即，∴，∵，∴，解得，即，∴直线TD即的斜率．思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.17．(1)(2)【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到和，代入切线方程中即可求解；（2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对进行化简，利用换元法，令，，可得，根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解．【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，当时，函数，可得，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，函数定义域为，可得，此时的两根，即为