新教材2023版高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.3直线的方程第3课时直线方程的一般式课件北师大版选择性必修第一册

第3课时直线方程的一般式新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习

Ax＋By＋C＝0状元随笔解读直线方程的一般式：①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．

√√×√

答案：C3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(

)A．A≠0

B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D4．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0题型探究·课堂解透题型一直线方程的一般式及其应用例1

利用直线方程的一般式，求过点(0，3)，并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．

跟踪训练1

(1)[多选题]下列直线中，经过第一象限的是(

)A．3x＋4y＋7＝0

B．4x－3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0答案：BCD

答案：D

方法归纳(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．(2)将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A，B之间的关系，将此关系式代入A，B，C三者的关系式，即可得出B，C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为用B表示的式子，消去B，即可得到直线方程．跟踪训练2

(1)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)的直线方程为________________________；

答案：x＋y－1＝0

(2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________________．答案：15x－3y－7＝0

题型三由含参一般式求参数的值或取值范围例3

已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.

变式探究1

本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.变式探究2

本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？

方法归纳求直线过定点的策略1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．跟踪训练3

已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．

易错辨析忽视斜率不存在的情况引发错误例4

已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________．

答案：0【易错警示】易错原因纠错心得含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解．[课堂十分钟]1．过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(

)A．4x＋3y＋12＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y＋12＝0D．4x－3y－12＝0

答案：C2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(

)解析：将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.答案：C3．直线方程kx－y＋2－3k＝0恒过定点(

)A．(3，2)

B．(2，3)C．(－3，2)D．(－2，3)

答案：A4．经过点A(4，2)且在y轴上的截距为－2的直线方程的一般式为________．解析：设直线方程为y＝kx－2.点A(4，2)代入y＝kx－2得k＝1.故直线方程的