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张贵杰Tel-Mail：zhguijie@河北联合大学金属材料及加工工程系金属塑性变形理论

第39讲3/2/20241第十五章上界定理及其应用主要内容MainContent虚功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的应用——间断速度场3/2/2024215.2上界定理的概念15.2.1边界条件可动工具Fv固定工具Fvv=v0，p=?v=0，p=?自由边界Fp已知外力边界Fpp=0，v=?p=p0，v=?p0速度不连续线Fd3/2/2024315.2.2下界定理设刚—塑性物体的体积是V，总表面积是F，表面力pi（外载荷）在一部分表面Fp上是已知的，在其余部分表面Fv上位移速度vi也是已知的。真实的应力场是sij，应变速度场是eij

，边界位移速度是vi

。对于真实的情况，令外功等于内功，有

3/2/20244再设s*ij是静力许可的应力场，它在每点满足平衡方程和屈服条件。令这个虚设应力场s*ij在真实的应变速度场上作虚功，根据虚功方程有3/2/20245两式相减并按最大塑性功原理有

即该式为下界定理。即任何静力可能的应力分布所对应的外力必不大于真实外力。3/2/2024615.2.3上界定理用表示真实的应力场、塑性应变速度场和边界位移速度。此外，再设定一个虚的位移速度场。在给定了边界速度的那一部分表面Fv上，满足边界速度条件，即，并且在每一点满足体积不可压缩条件。由设定的位移速度场，可以导出应变速度场

3/2/20247设定的位移速度场还可能包含有速度间断，假定速度沿曲面发生间断。由于不能肯定是真实的速度间断面，所以沿的切向剪应力只能用表示。3/2/20248真实的外力和内力场在虚设的位移速度场上作功，则由虚功率方程得出式中是沿的切向速度不连续量。从物理上判断，在不连续面上所消耗的功一定为正值，其极限是。3/2/20249按最大塑性功原理有或则该式即为上界定理。即表示力在给定的边界位移速度上付出的功率，以在真实的位移速度场情况下为最小。或者说，由虚设位移速度场（位移场、应变速度场）算得的载荷大于或等于真实载荷。3/2/202410上界定理简化表达式不等式左边J表示真实外力功率不等式右边J*表示虚构速度场下的外力功率等式右边表示虚构速度场下的各项功率3/2/202411其中为内部塑性变形功率为不连续面上的剪切功率为附加外力功率3/2/202412如果把接触面上的摩擦功率也单独表达出来，则有在上界定理表达式中把摩擦功率也移到不等式右边或3/2/202413为摩擦剪切功率惯性功率、孔隙扩张功率、表面变化功率等根据实际问题

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