新教材人教A版高中数学必修第二册平面向量等和线定理求系数和问题 同步讲义

6、平面向量等和线定理求系数和问题

【考点分析】

考点一：平面向量等和线问题

①平面向量共线定理

则A,5,C三点共线，0为直线外一点，则。4=708+〃。。且/1+〃=1=4氏。三点

共线。

②平面向量等和线问题

ON

如图：A,8两点共线，若。为直线AB外一点，MN为与A3平行的直线，若=~=k,

OB

点P为MN上一点，若OP=ZIOA+〃08,则X+〃=Z。

----ɪ.——♦].

证明如下：因为MN与AB平行，所以所以OA=—0M,03=—0N,

kk

所以

OP=λOA+;iOB=-OM+^-ON,因为M,N,P三点共线，所以4+幺=1,所以

kkkk

λ+μ=k

③利用等和线解题的步骤

第一步：确定系数和为1的直线；

第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；

第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。

【典型例题】

题型一：平面向量等和线求系数和问题

【例1】如图，在矩形ΛBCZ）中，AB=I,AD=2,动点P在以点C为圆心且与8。相切的

圆上，若满足AP=nMB+∕MO,则机+〃的最大值为（）

A.3B.2√2C.√5D.2

【答案】A

【解析】法-：如图：以A为原点，以A3,4)所在的直线为X,y轴建立如图所示的坐标

系，

则A(0,0),8(1,0),ZXO,2),C(l,2),.,动点尸在以点C为圆心且与班＞相切的圆上，

设圆的半径为r,BC=2,CD=∖,:.BD=√22+12=√5,.∙.-BC.CD=-BD.r,:.r=

22√5

.∙.圆的方程为(x-l)2+(y-2)2=*,设点P的坐标为(^<ose+l,芋sin6+2),

A-+〃皿，(乎cos*,乎sine+2)="l,。)+〃(。，2)=(Λ,2〃)，

.∙.^γ-cosθ+∖-λ,^^Sine+2=2〃，.∙.λ+μ=cosθ+sin0+2=sin(0+φ)+2,

in

其中tane=2,∙.∙T≤s('+e)≤l,,I0+".,故zι+〃的最大值为3,故选A.

ANAP

法二：由等和线性质知：m+n=-所以当片在如图所示位置时，机+〃取得最

大值，3r

m+n=—=3

【例2】如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点,若AP=XAB+*C,

则2x+2y的最大值为()

P

AB

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【详解】

作BC的平行线与圆相交于点尸，与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点R

i^AP=λAE+μAF,则2+〃=1,

VBC∕∕EF,：.Vi—=—=k,则左∈[0,3]

ABAC3

AE=kAB.AF=kACfAP=λAE+μAF=AkAB-VμkAC

%=λk,y-μk

O

Λ2x+2y=2(Λ+//)k=2k≤-

【例3】在二ABC中，M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点，若AN=/M8+/MC

(λ,"∈R),则2+〃的取值范围是()

A.θɪB.ɪɪC.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

【解析】

设AN=∕AM,(0≤∕≤l),当f=0时，可得2=〃=0,从而有2+〃=()；当0<f≤l时•，有

AM=yAB+^-AC,根据M、B、C三点共线，可得：+亍=1,进而可得2+〃=f∈(θ,l],

从而即可求解.

【详解】

解：山题意，设AN=rAM,(0≤r≤l),

/K

B

M

当f=0时，AN=O,所以/IAB+〃AC=O,

所以4=〃=0,从而有彳+〃=0；

当0<f≤l时，因为AN=义AB+〃AC(∕l,MeR),

所以/AM=4AB+"AC,BPAM=-AB+^-AC,

tt

因为M、B、C三点共线，所以：+亍=1,即彳+〃=fw（0,l].

综上，几+4的取值范围是OU.

【例4】如图，已知点尸在由射线OO、线段OA,线段54的延长线所围成的平面区域内（包

括边界），且Oo与54平行，若OP=XOB+yQA,当x=-；时，＞的取值范围是（）

A.[θ,llB.--,1C.—-,TD.—,⅛∙

LJL2J[22」|_22_

【答案】D

【解析】

根据向量加法的平行四边形法贝11,OP为平行四边形的时角线，该四边形应是以。4LjOB的

反向延长线为两邻边，当χ=-g时，要使P点落在指定区域内，即尸点应落在所上，得至Uy

的取值范围.

【详解】

UUlUUUuU

VODHAB,OP=XOA+yOB，

山向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线,

该四边形应是以。4与OB的反向延长线为两邻边，

・・・当X=-；时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在E尸上，

13

CE=-OACF=-OA,

2f2

'13一

的取值范围为---

【例5】在扇形（MB中，ZAOB=60,C为弧AB上的一动点，^OC=xOA+yOB,则3x+y

的取值范围是.

【答案】[1,3]

【解析】

以。为原点，OA,OB分别为X,y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算,

利用三角函数求出3x+y的取值范围.

【详解】

以。为原点，0A,08分别为X,y轴正方向建立平面直角坐标系.

|vOB

落

O∖--X

IOA

则。4=(ι,o),0片=［盘冬不妨设OC=(COSaSine),(o≤e≤g),

√3∙Q

CoSe=X+—yX=COSe------sinθ

因为OC=XOA+yO8,所以，r,解得：］L3

sin"e,y=也

I2I3

所以3x+y=3cos9-*sin9.

π-1「不

因为y=cos。在夕∈0,y上单调递减，y=-sin。在。∈Oq上单调递减，所以

3x+y=3cos6-在。，耳上单调递减.

.713y∣3√31LJ

所以当6=0时3x+y=3最大；当8=(时3χ+y=in-=--------------=-11瑕小.x

3232

所以3x+y的取值范围是［1,3］.

【题型专练】

1.在直角，ABC中，ABVAC,AB=AC=2,以BC为直径的半圆上有一点M(包括端点),

若AΛ√=∕lA8+χMC,贝丫+〃的最大值为()

E

AB

A.4B.√3

C.2D.近

【答案】C

【解析】

建立平面直角坐标系，利用坐标表示M,结合三角函数最值的求法，求得尤+〃的最大值.

【详解】

依题意在直角=ABC中，ABVAC,AB=AC=Q.,

以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，

C(0,2),B(2,0),设。是BC的中点,则D(U).

∣BC∣=2√2,所以M(X,y)满足(X-I)2+(y-l)2=(√Σ)二

设r-(α为参数，W≤α≤?),

>,=1+√2Sina44

依题意AM=248+〃AC,

即(1+0CoSa,1+应SinCr)=2(2,0)+〃(0,2),

(1+V∑cosa,l+夜Sina)=(22,2〃)，

_1+7∑cosa(兀、

<2,l+√2cosal+√2sina2+2sιn^a+-J/叫「

J+√Σsina彳+〃=----2-----+-----9----=-------2------=Smla+"+1

μ=2

所以当α+=g,α4时，…取得最大值为2.

2.在矩形ABCD中，AB=I,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=%

AB+，AD，则4+〃的最大值为

A.3B.2√2C.√5D.2

【答案】A

【解析】

如图所示，建立平面直角坐标系.

设A(0,l),3(0,0),C(2,0),D(2,l),P(x,y),

2ɔ4

易得圆的半径「=不，即圆C的方程是(x-2『+y2=2，

ULllUUllIlLlIl

AP=(x,γ-l),AB=(O-I),AD=(2,0),若满足AP=ZlAB+〃仞，

则广,μ=^-,λ=∖-y,所以％+4=[-y+l,

[y—1=-Z22

设z=]-y+l,即:y+l-z=O,点P(x,y)在圆(x-2y+y2=[上，

I匕ZlV2

所以圆心(2,0)到直线彳-y+l-z=。的距离d<r,即厂一小,解得l≤z≤3,

2∣—Fl

tV4

所以Z的最大值是3,即义+〃的最大值是3,故选A.

3.如图，在边长为2的正六边形ABCDE尸中，动圆Q的半径为1,圆心Q在线段Co（含端

点）上运动，P是圆。上及其内部的动点，设向量AP=∕MAB+“AFCrn,〃为实数），则机

+∏的最大值为.

【答案】5

【解析】

根据IAC∣≤∣AQ∣≤∣">I及IAQIT≤∣AP∣≤∣AQ\+1得到2√J-1≤∣AP∣≤5,根据平面向量知识得

到IAPF=4(m+“)2-12mn,利用mn<("十"’可求出结果.

4

【详解】

在边长为2的正六边形ABer>E/中，AClCD,IAOl=2*2=4,

所以IAQl≤∣AO=4,当且仅当。与。重合时，等号成立，

又∣4P∣≤∣AQ∣+1,即∣AP∣≤4+1=5,当IAPl=5时，P是AD的延长线与圆A的交点,此时,

由AP="*B+"A户可知，m=n.

2兀

因为AP="*B+"AF，H.<AB,AF>=-,

2i22

所以IAPF=%2.148F+2w1”∙∖AB∖-∖AF∖+n-∖AF∖=4m+4/?+2∕nn∙2-2-(-^)

=4m2+4n2-4mn=4(m+n)2-∖2mn,

1,1

所以mn=-(m+n)^-----1AP\~,

312

结合图形可知，机>0,〃>0,由（J£-五）220,得ln+n≥2标,即MWzj嬴，即

mn<im+nγ,当且仅当，w="时等号成立，

4

所以」（m+∕）2-L∣AP∣2≤'"+"I'

3124

所以m+n≤∣AP∣,又IApI≤5,时，等号成立,

所以"z+"≤5,当且仅当机=〃时，等号成立.

即m+〃的最大值为5.

4.已知ABC的外接圆圆心为。，NA=I20,若AO=ΛAB+yAC(x,ʃR),则x+y的最

小值为()

123

A.gB.*C.-D.2

232

【答案】D

【解析】

设。4与BC交点为E,则4E=∕IA8+"AC其中4+〃=1,由于

AO=xAB+yAC=τ^(ΛAB+MC),得"+>=7^(2+〃)=^('因为

R

-<∖OE∖<R故x+y的最小值可得.

【详解】

设与BC交点为E,设IOEl=m，圆的半径为R,。为BC中点，如图所示：

R

则AO=不一AE,^AE=λAB+μAC,因为8,C,E三点共线，则力+〃=1

R-m

所以Ao=XA8+yAC=—“AB+/MC),故χ+y=一^―(2+〃)—

R-mx''R-mR-m

因为NA=I20。，则ZCOD=60。所以∖OD∖=RCoS60。=；R

R工≥q=2

则u≤m<R，故灭-mpR所以χ+y的最小值为2

2

5.给定两个长度为1的平面向量。4和08,它们的夹角为二，如图所示点C在

3

以O为圆心的圆弧AB上运动，^OC=xOA+yOB,其中x,yeR,则x+y的取值范围为

()

O

A.（1,2]B.[1,2]C.[1,2）D.[-2,2]

【答案】B

解析：由等和线性质知：连接AB，当。点在A或B点时，（x+y）mM=l;作AB的平行线，

当与AB相切时，当C点在切点时，（X+Mmax=2

6.已知。是ΔABC内一点，且OA+OB+OC=0,点〃在△<9BC内（不含边界），若

AM=TIAB+〃AC,则4+2〃的取值范围是

A.1尚）B.（1,2）C.（∣,1）D∙C,'

【答案】B

【解析】

根据OA+08+0C=OUj知O为ΔABC的重心；根据点M在AOBC内，判断出当M与O重

合时，4+2〃最小；当M与C重合时，义+2〃的值最大，因不含边界，所以取开区间即可.

【详解】

因为。是AABC内一点，且OA+08+0C=O

所以O为AABC的重心

M在AOBC内（不含边界），且当M与O重合时，几+2〃最小，此时

ɔ111

AM=λAB+μAC=-×—（A3+AC）=-AB+-AC

3|_2、〃33

所以石卜斗即∕l+2∕∕=l

当M½jC重合时，2+2〃最大，此时

AM=AC

所以4=0,〃=1,即4+2〃=2

因为M在AoBC内且不含边界

所以取开区间，即2+2〃«1,2）

7.在直角一ABC中，NA为直角，AB=1,AC=2,M是一ABC内一点，且AM=',若

2

AM=ΛAB+μAC,则22+3M的最大值为.

【答案】7

4

【解析】

由AM=∙!■得出g+4;/=一，即4万+16*=1,且由九>0,〃>0,设4=-cosd,

242

μ=ɪ