常用泰勒公式

简介在数学上,一个定义在\o"开区间"开区间(a-r,a+r)上的无穷\o"可微的"可微的\o"实变函数"实变函数或\o"复变函数"复变函数f的泰勒级数是如下的\o"幂级数"幂级数这里，n!表示n的\o"阶乘"阶乘而f

(n)(a)表示函数f在点a处的n阶\o"导数"导数。如果泰勒级数对于区间(a-r,a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为\o"幂级数"幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的\o"余项"余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a=0,那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，\o"幂级数"幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求\o"和函数"和函数相对比较容易。第二，一个\o"解析函数"解析函数可被延伸为一个定义在\o"复数"复平面上的一个开片上的\o"全纯函数"解析函数，并使得\o"复分析"复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来\o"近似计算"近似计算函数的值。

对于一些\o"无穷可微函数"无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，\o"分段函数"分段函数f(x)=exp(−1/x²)当x≠0且f(0)=0，则当x=0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其\o"收敛半径"收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x=0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时exp(−1/z²)并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些\o"奇点"奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x)=exp(−1/x²)就可以被展开为一个\o"洛朗级数"洛朗级数。

\o"/~jim/picard.html"Parker-Sockackitheorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解\o"微分方程"微分方程的定理。这个定理是对\o"Picarditeration"Picarditeration一个推广。[\o"泰勒级数"编辑]泰勒级数列表

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。它们对于\o"复数"复参数x依然成立。\o"指数函数"指数函数和\o"自然对数"自然对数:\o"几何级数"几何级数:\o"二项式定理"二项式定理:\o"三角函数"三角函数:

\o"双曲函数"双曲函数:\o"Lambert'sWfunction"Lambert'sWfunction:tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是\o"Bernoullinumbers"Bernoullinumbers。二项式展开中的C(α,n)是\o"二项式系数"二项式系数。sec(x)展开式中的Ek是\o"Eulernumbers"Eulernumbers。[\o"泰勒级数"编辑]多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个\o"变量"变量的\o"函数"函数：[\o"泰勒级数"编辑]历史沿革泰勒级数