2023-2024届新高考一轮复习湘教版 8-2 两直线的位置关系 学案

第二节两直线的位置关系

【课标标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直2能用解方程的方法求两条直线

的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间

的距离.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.两条直线的位置关系

(1)两条直线平行

①若/1：y=hx+bι,/2：y=k2x+b2,则______________且"/岳；/i与b重合

OAl-⅛2且________________.

②当/1，/2都垂直于X轴且不重合时，则有.

③若/1：A∣x+Bιy+G=0,/2：A2x+B2y+C2^O,则/I〃，2=A山2=A2B1且B1C2W82C1；

/］与重合=Al=Bl=λB2,Cl=IC2(%K0).

(2)两条直线垂直

①若/1：y=k∖x+b∖,/2：y=k2x+b2,贝∣J/1JJ20.

②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线

③若/1：AlX+B∣y+G=O,/2：Ai×^∖^B2y^∖-C2-O,则.

(3)直线/,：y=k∖x+b↑,/2：y=A2x+b2相交的条件是.直线∕∣:AIX

+8ιy+Cj=0,/2：A2x+82y+C2=O相交的条件是

2.三种距离公式

两点间的距离公式点Pl(Xi,%),P2(x2,>2)之间的距离IPiP2∣=

点Po(Λ⅛,州)到直线/：Ax+By+

点到直线的距离d—_____________

的距离____________________________

两条平行线Ax+By+G=O与Ar+By

两条平行线间的距离d=___________

+C2=0间的距离__________________

［常用结论］

1.直线系方程

(1)与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是AX+By+%=O(%GR且m≠C).

(2)与直线Ax+By+C=O垂直的直线系方程是Bχ-Ay+π=O(∕j∈R).

(3)过直线∕∣:A∣x+Bιy+C∣=O与/2：A2x+B2y+C2=O的交点的直线系方程为4x+Bιy

+C∣+λ(A2x+B2y+C2)=0(2∈R),但不包括I2.

2.五种常用对称关系

(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(一X,-y).

(2)点(x,y)关于X轴的对称点为(x,—y),关于)，轴的对称点为(一χ,>').

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-X的对称点为(一y,—x).

(4)点(x,y)关于直线x=α的对称点为(2α—x,y),关于直线y=%的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(4,%)的对称点为(2〃-x,2b—y).

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1)当直线/|和/2的斜率都存在时，一定有)

(2)若两条直线/i与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0倒直线/：χ-y+3=O的距离为√Σ贝IJa=.

3.(教材改编)若三条直线y=2x,x+y—3,“tv+2y+5=O相交于同一点，则，〃的值为

4.(易错)平行线3x+4y-9=0和6x+8y+2=0的距离是()

A.-5B.2CS.-SD.-

5.(易错)若直线/1：x+y—1=0与直线/2：x+α2y+α=0平行，则实数“=

关键能力•题型突破

题型一两直线的平行与垂直

例1⑴［2023•山东济南模拟］''a=3''是"直线OX+y-3=0与3x+(α—2)y+4=0平行

的()

A.充分不必要条件

B,必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

(2)已知直线1经过点(2,—3),且与直线2χ-y-5≈0垂直，则直线/的方程为

［听课记录］

题后师说

当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一

般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一

隐含条件.

巩固训练1

(l)［2023∙江西临川一中模拟］已知直线∕∣:0r+y-3=0,直线D(2a~l')x~3y+a=O,

则％=—1”是“/1L2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)［2023•河南南阳模拟］直线4：<zx+2y-1=O与直线，2：x+(α+l)y—1=O平行,贝IJa

题型二距离问题

例2已知点P(2,-1).

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线/的方程；

(2)求过点尸且与原点的距离最大的直线/的方程以及最大距离；

(3)求过点P且斜率为2的直线与直线4x~2y+1=O之间的距离；

(4)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说

明理由.

［听课记录］

题后师说

(1)求点到直线的距离时，直线方程一定要化成一般式.

(2)求两平行线间的距离时，一定要化成∕l:Λr+By+Cι=O,l2:Ax+By+C2=0的形

巩固训练2

(l)［2023∙安徽太和中学模拟］已知直线/过原点。，且点A(l,0),8(3,2)到直线/的距

离相等，则直线/的方程为()

A.χ-y=O

B.χ-2y=0

C.x+y=O或x+2y=0

D.x—y=O或x—2y=0

(2)［2023•河南温县一中模拟］∕ι,/2是分别经过A(l,1),β(0,一1)两点的两条平行直线，

当∕∣,/2间的距离最大时，直线/1的方程为()

A.x+2y-3=0B.χ-2y+l=0

C.2χ-y-l=0D.2%+y-3=0

(3)［2023•河北石家庄二十一中模拟］若直线/经过直线乐X—2y+3=0与直线/2：2x+

3y-8=0的交点,且点P(—1,1)到直线/的距离为2,则直线/的方程为.

题型三对称问题

角度一点关于点对称

例3过点P(0,1)作直线/,使它被直线小2x+y—8=0和b：x-3y+10=0截得的线

段被点尸平分，则直线/的方程为.

［听课记录］

题后师说

χ2CL~~X

一i'进

{y=2b71，

而求解.

巩固训练3

直线/：4x+3y-2=0关于点A(l,1)对称的直线方程为()

A.4x+3y-4=0B.4x+3y-12=0

C.4x—3y—4=0D.4χ-3y-12=0

角度二点关于直线对称

例4一条光线从点P(-l,5)射出，经直线κ-3y+l=0反射后经过点(2,3),则反射

光线所在直线的方程为()

A.2χ-y-∖=0B.3x—y—3=0

C.χ-2=0D.4χ-y~5=0

［听课才已录］........................................................................

题后师说

若两点P∣（ɪɪ,y∣）与P（X2,以）关于直线/：Ar+By+C=0对称，由方程组

Jx-+Bχ❷+C=0,

{y-y（A∖可得到点Pl关于/对称的点巳的坐标S,y2）（其中B≠0,

（LN=T

Jtj≠X2）∙

巩固训练4

［2023•河南南阳中学模拟］已知点A（l,2）与B（3,3）关于直线以+y+方=0对称，则”,

b的值分别为（）

B.-2)—I

A.2,--2

C.-2,-2D.2,y

角度三线关于线对称

例5［2023•安徽六安中学期末］直线y=2^+l关于直线y=x对称的直线方程为（）

A.χ-3y+l=0B.χ-3y-l=0

C.x~2y—1=0D.x~2y+1=0

［听课记录］

题后师说

线关于线对称的两种求解方法

一

线

关

于

线

对

¥

一

巩固训练5

直线2χ-y+3=0关于直线4χ-2y+1=0对称的直线方程是

第二节两直线的位置关系

必备知识•夯实双基

知识梳理

垂直

1.(1)k∖=kι⅛∣=⅛2l∖∕/h(2)k∖∙k2=-∖A∣Λ2+B∣B2=O(3)ki≠k2

A∣B2≠A2BI

∖Ax0+Bx0+C∖K-CI

2.√(X-X)2+(y-7ι)212

212>JA2+B2√∕12+F2

夯实双基

1.答案：⑴X(2)×(3)√(4)√

2.解析：因为点(a,2)(a>0)到直线/：χ-y+3=0的距离为√Σ,所以比箸i=√∑,又

a>O9

所以。=1.

答案：1

3∙解析:由匕言，得｛γN

，点(1,2)满足方程"λτ+2y+5=0,

即，*Xl+2X2+5=0,.∙.m=-9.

答案：一9

4.解析：直线6x+8y+2=0化为3x+4y+l=0,

所以两条平行线之间的距离为η⅛=2∙

故选B.

答案：B

5.解析：由题意知：

11—1

解得：a=∖.

答案：1

关键能力•题型突破

例1解析：(1)充分性：当α=3时，直线ax+y—3=0与3x+(α-2)y+4=0即为：3x

+y—3=0与3x+y+4=0,所以两直线平行.故充分性满足；

必要性：直线Or+)，-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行，则有：a(a-2)-3=0,解得：

a—3或a=­L

当a=3时，直线以+y—3=0与3x+(a-2)y+4=0即为：3x+y-3=0与3x+y+4=

0,所以两直线平行，不重合；

当a=—1时，直线Or+y—3=0与3x+(a-2)y+4=0即为：-x+y—3=0与3x—3y

+4=0,所以两直线平行，不重合；

所以a=3或a=-1.

故必要性不满足.

故"a=3"是"直线ax+y—3=0与3x+(q-2)y+4=0平行”的充分不必要条件.

故选A.

(2)因为直线/与直线2χ-j-5=0垂直，所以直线/可设为x+2y+m=0.

因为直线/经过点(2,—3),所以2+2X(-3)+m=0,解得〃?=4,则直线/的方程为

x+2y+4=0.

答案：(I)A(2)x+2y+4=0

巩固训练1解析：(1)由得：a(2a-1)-3=0,则a=-1或a=∣,故a=-1是

∕1J√2的充分不必要条件，即A选项正确.

故选A.

(2)；直线K:ar+2y—I=O与直线乙：x+(a+l)y—1=0平行，且当a+l=O,即a=

-1时两直线不平行，

答案：⑴A(2)-2

例2解析：(1)过点P的直线/与原点的距离为2,而点尸的坐标为(2,-I),显然,

过点P(2,-1)且垂直于X轴的直线满足条件，此时/的斜率不存在，其方程为x=2.

若斜率存在，设/的方程为y+l=k(x—2),即日一〉一24—1=0.

由题意得展学=2,解得&=*

此时I的方程为3χ-4>-10=0.

综上，直线/的方程为x=2或3χ-4y-10=0.

(2)作图可得过点尸与原点。的距离最大的直线是过点尸且与P。垂直的直线，如图.

由IA-OP,得kιkop=-1,

所以心=一户=2.

kop

由直线方程的点斜式，得y+l=2(χ-2),即2χ-y-5=0.

所以直线2χ-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为景=6.

(3)两直线分别为2χ-y-5=0和4χ-2y+l=0(2χ-y+T=0),

所以距离"=

√22+(-l)210

(4)由(2)可知，过点尸且与原点距离最大的直线为2x—y—5=0,最大距离为遥，因此

不存在过点P且到原点的距离为6的直线.

巩固训练2解析：(I)：直线/过原点，并且选项中的直线的斜率都是存在的,

故设所求直线的方程为kχ-y=O,

由已知及点到直线的距离公式可得揭=磊

解得&=1或无=也即所求直线方程为X-y=0或x—2y=0.

故选D.

(2)由题意可得，∕ι,/2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直.

由于AB的斜率为拦=2,故直线∕∣的斜率为一；，

1—02

故它的方程是y—1=—I(X—1),化简为x÷2y-3=0,

故选A.

(3)联立H二解得g二，即直线/1与直线/2的交点为(1,2),

十□y_O_uιy_Δ

当直线/的斜率不存在时，直线/：x=l,易得点尸(-1,1)到直线/的距离为2,满足

题意；

当直线/的斜率存在时，可设直线/：y-2=A(r-l)即依一y-Z+2=0,

HC

所以点尸(-1,1)到直线/的距离为表景旦=2,解得％=一|,

故此时直线/的方程为一—y+[+2=0即3x+4y—11=0,

综上所述，直线/的方程为X=I或3x+4y—11=0.

答案：(I)D(2)A(3)x=l或3x+4y-Il=O

例3解析：设∕∣与/的交点为A(a,8-2«),由题意知，点Λ关于点P的对称点B(-a,

24-6)在Z2ɪ,把点B的坐标代入石的方程得一α-3(24-6)+10=0,解得α=4.故A(4,0).

因为点4(4,0),P(0,1)在直线/上，

所以直线/的方程为x+4y-4=0.

答案：x+4y—4=0

巩固训练3解析：设直线/：4x+3y-2=0关于点A(l,1)对称的直线上任意一点尸(x,

y)>

则P(x,y)关于A(l,1)的对称点为(2-χ,2-y),

又因为(2-χ,2—y)在4x+3y-2=0上，

所以4(2-χ)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.