（江苏专用）高考数学总复习 第五章第3课时 等比数列课时闯关（含解析）

[A级双基巩固]一、填空题1．(2010·高考福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1·4n－1＝4n－1.答案：4n－12．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于________．解析：a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝a1q10＝a11.∴m＝11.答案：113．(2012·无锡调研)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，则a1等于________．解析：由题意可知，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)＝2aeq\o\al(2,5)，∴公比q＝eq\r(2)，∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)＝________.解析：由8a2＋a5＝0，∴eq\f(a5,a2)＝－8，即q3＝－8，q＝－2.∴eq\f(S5,S2)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(33,－3)＝－11.答案：－115．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{eq\f(1,an)}的前5项和为________．解析：易知公比q≠1，由9S3＝S6得9eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2，∴{eq\f(1,an)}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，∴其前5项和为eq\f(1×[1－\f(1,2)5],1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)6．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于________．解析：由题意可知，b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：167．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于________．解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，…，a99＋a100＝b10.它们构成以eq\f(b,a)为公比的等比数列．所以a99＋a100＝a·(eq\f(b,a))9＝eq\f(b9,a8).答案：eq\f(b9,a8)8．关于数列有下面四个判断：①若a，b，c，d成等比数列，则a＋b，b＋c，c＋d也成等比数列；②若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；③数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，则{an}为等差或等比数列；④数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am＝an(m≠n)．其中正确判断的序号是________．(注：把你认为是正确判断的序号都填上)解析：①中，若a＝2，b＝－2，c＝2，d＝－2不满足条件，③中，若a＝0，则Sn＝－1，a1＝－1，an＝0(n≥2)，∴{an}既不是等差也不是等比数列．答案：②④二、解答题9．(2011·高考江西卷)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}惟一，求a的值．解：(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，所以{an}的通项公式为an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.()由a>0，得Δ＝4a2＋4a>0，故方程()有两个不同的实根，由{an}惟一，知方程()必有一根为0，代入()得a＝eq\f(1,3).10．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项的和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．解：(1)由条件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1＋\r(2)，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))则d＝2,故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)证明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2)，假设{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*且互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．化简得(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.因为p，q，r均为正整数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))所以(eq\f(p＋r,2))2＝pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r.故{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．[B级能力提升]一、填空题1．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝eq\f(a\o\al(3,n),a\o\al(2,n＋1))，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是________．解析：由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝eq\f(a\o\al(3,n),a\o\al(2,n＋1))＝eq\f(1,q2)an，于是b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,q2)(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝eq\f(1,q2)·Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝eq\f(Sn,Tn)>1.因为an>0对任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范围是q>1.答案：q>12．在等差数列{an}中，若a10＝0则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n3．若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.(其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和)解析：①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q确定，∴等比数列{an}确定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q，q＋eq\f(1,q)＋1－eq\f(S3,a2)＝0，即q2＋(1－eq\f(S3,a2))q＋1＝0.不能惟一确定q，从而该数列不能惟一确定．③qn－1＝eq\f(an,a1)，n为奇数时，n－1为偶数，q不能惟一确定．④a1＝eq\f(an,qn－1)惟一确定，即{an}惟一确定．∴①④满足题意．答案：①④4．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1.∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，∵q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.答案：－9二、解答题5．设等比数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．证明：法一：当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，则Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，所以q＝1时，等式成立．当q≠1时，则Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q)(1＋qn＋q2n)．所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝[eq\f(a11－qn,1－q)]2＋[eq\f(a11－qn,1－q)(1＋qn)]2＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)[1＋(1＋qn)2]＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)(2＋2qn＋q2n)．Sn(S2n＋S3n)＝eq\f(a11－qn,1－q)[eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn)＋eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn＋q2n)]＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)(2＋2qn＋q2n)．所以当q≠1时，等式成立，综上所述：等式成立．法二：设数列{an}的公比为q，则S2n＝(a1＋a2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a1qn＋a2qn＋…＋anqn)＝(a1＋a2＋…＋an)(1＋qn)＝Sn(1＋qn)．同理S3n＝(1＋qn＋q2n)Sn.所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)－Sn(S2n＋S3n)＝Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,n)(1＋qn)2－Seq\o\al(2,n)[(1＋qn)＋(1＋qn＋q2n)]＝Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,n)(1＋qn)2－Seq\o\al(2,n)[1＋(1＋qn)2]＝0.所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．6．按所给流程，可打印出一个数列，设这个数列为{xn}．(1)写出这个数列的前四项；(2)建立数列{xn}的递推公式；(3)证明{xn＋1－xn}是等比数列；(4)求通项xn.解：(1)x1＝eq\f(0＋1,2)＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1＋\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)，x3＝eq\f(\f(1,2)＋\f(3,4),2)＝eq\f(5,8)，x4＝eq\f(\f(3,4)＋\f(5,8),2)＝eq\f(11,16).(2)递推公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)，x2＝\f(3,4)，,xn＋2＝\f(xn＋xn＋1,2)n∈N*.))(3)证明：由(2)，得eq\f(xn＋2－xn＋1,xn＋1－xn)＝eq\f(\f(