2023年福建高考数学真题及答案

2023年福建高考数学真题及答案

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答

卡上用

2笔试(A)在答卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.作答选择题

时，选出每小题等案后，用2B笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。不按以上

要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题爷的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.已知集合X=f-Z-lA12LW=fxlL-x-6W(Λ则KCN=

APl1.0.11

B(0,1,2]

C(-21

D⑵

2.已知Z===则Z-Z=

A.-i

B.I

C.O

D.1

3.已知向量a=(Ll),b=(1,T)∙若(，aKb>J∙(∙a+4b>>则

A-，+/=1

B.i+β=-1

CM=I

D.⅛=-l

4,设函数f(x)=2A'^°,在区间(0.1】单调递减，则α的取值范围是

A.(—on,—21

BI-ZOl

Cfθ,21

D.rz,÷∞)

1a

5.设椭圆C1:^+/=l(β>l),C⅛=7÷y=ɪ的离心率分别为et.e>∙若e»=√3βv则

α=

A.¥

B.√2

C.6

D.«

6.过点(4―2)与圆x2÷v2—4x-1=O相切的两条直线的夹角为α,贝IJBina=

A.1

B.小

Λ.

c.史！

ɪ

DY

A

7.记y_为数列fa_l的前n项和，设甲：IaJ为等差数列；乙：f⅜］为等差数列，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知sin(aβ)=ɪ,cosasiι^=ɪ,则cos(2a42β)=

A.I

B.

C.

D.一？

α

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.有一组样本数据其中X,是最小值，×λ是最大值，则

A.JT,,XmX~Xg的平均数等于…,Xw的平均数

B∙n∙**X〜Xv的中位数等于χ,.χ^∙∙.χβ的中位数

c

∙X-.X½,Xχ,X∖的标准差不小于r,,X,,∙**,Xβ的标准差

D∙x,—.的极差不大于x,.x*∙∙∙,xβ的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20X也匕

其中常数υΛvn>0）是听觉下限阑值，“是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060~90

混合动力汽车1050~60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为则

IonlP1.P,,Λ,

ʌ-P,≥Λ

B∙PJ>Iopt

C.6=IOOpf

D∙t>,≤IoOl‰

11.已知函数f(χ｝的定义域为区“*力=*/1力+/打叫则

A∙f(0)=0

B.f(l)=0

C.f(C)是偶函数

D.X=0为f(χ)的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入核长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不

计)内的有

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为ι,4m的四面体

C.底面直径为0.01m高为ι.8Jn的圆柱体

D.底面直径为i.2m，高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1∏,则不同的选课方案共有种(用数字

作答).

14.在正四棱台∙CD-41B,CD,中，AB=ZA1B1=l,ΛΛt=V2,则该棱台的体积为

15.已知函数f(v)=cosωxl(ω>O)在区间fθ,2nl有且仅有3个零点，则ω的取值范

围是_____________

16.已知双曲线c；r1=l(α>O,b>0)的左、右焦点分别为F,.F».点A在C上.点

B在V轴上，M1；亭，则C的离心率为

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.己知在△4BC中，4+0=3C.2statΛ-C)=sinβ

⑴求ShM

(2)设∕∣B=5，求AB边上的高.

18.如图，在正四棱杜ABCD-AlBiC^中，仙=ZiU,=4点A,,B,,C,,D,分别在棱

44,.BB,.CC,.DD,上，a4,=1，BR7==ZtCCf=3*

(1)证明：&CJ/4A；

(2)点在棱上，当二面角为。时，求

pBB1P-AJCJ-D,15&R

19.己知函数“χ)=α(e*+α)-*∙

(1)讨论f(x］的单调性；

(2)证明：当α>o时，/('*)，>21nα+g

20.设等差数列［βJ的公差为d,且d>1,令％-记SaT.分别为数列［βJ,

IbJ的前n项和.

(1)若3(h=3%+αaS+7∖=21,求IaJ的通项公式；

(2)若瓜］为等差数列，且Sae-Taa=99，求d

21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则

换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中

率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且p(χ,=l)=l-F(χ.=θ)=αJ=LZ….n,

则EC∑L.%)=∑-.σ.,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为γ,

求E(K)

22.在直角坐标系χθv中，点P到X轴的距离等于点P到点(0,口的距离，记动点P

的轨迹为W∙

⑴求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3√3∙

参考答案(非官方答案仅供参考)

1、C

2、Λ

3、D

4、D

5、A

6、B

7、C

8、B

9、BD

10、ACD

11、ABC

12、ABD

13、64

7√6

14、6

15、[2,3)

3√5

16、5

17.110分)

已知在~3C中.4+8=3C.2≡in(4-Q-Mnfi.

（I）求sin4t

（2）设∕8=S.求48边上的高.

【解析】(1)因为/+8=3C,所以4+8=3(*-4-8),所以4+8=竺.WftiC=V.

34

2sin(∕-G=sin8∙W∣2sin^4cosC-2cosJsinC=sin√4cosC÷coβ∕(sinC.所

以sin∕co∙C=3cos∕,inC,所以yn∕≡>3ianC=3,所以sin∕≡≡M^.

IO

5x>Λθ

<2）由正弦定理外-⅛=⅛f∙°=寰="^~=域.因为M”>由c∙

皿=叵.

即Λ>C.Itl<1>MSiiM=Jcos”.划4比设用.

IO

sinB≈sin(A+C)«sin∕4c∞C÷cos√1sinC≡IIIlE⅝

c

定理t卜==2√10.故求/8边上的病为

unBSinC

b^inA*2VlOX≡6.

IO

18.(12分)

如图.在正四校惟488-4骂£。,中・AB≈2,M=4.点

jfi∙B:∙CJ∙Z⅛分别在校AA1>BB1.CCt,DD1上，AAi=I»

BB.≈DDi≈2.CC,≈i.

(I)证明：BJCi//AiDiX

(2)点P在校84上,当二面向P-4G-0为150∙时,求

B1P.

(1)

方法一：证明：如图.连接4%.在直角林彩GAAG*t'∙号计以G5=√I.同理利

ΛP≡(-2Ar-∣).段，=(。y,.ɪ,).M.≡(ɪ,.yi.分别为，面4GQ,.ACF的iλ

AU.w|lt,-2z'*2s,"0.划彳=(1.1.2).MffΓ-(r-13-r4>.W

l-2%f

63

n,'-4∕∙0.∣∣

2W∕-H⅞r>3.W5,Λ.2-r-U

而T)’.(3∙，尸T

19.412分)

已知足数/(jr)*tf<cv÷β)-x.

(I)讨论，(幻的不调性：

(2)证明：*i∙>0H./(jr)>2taβ+j.

【川析】<1>由IS划定义域为R.n∕,(x)=βe'-∣

β≤Ofrt.∕,(x)<0.故/'Cr)在R上小调HIMl

a>OH∙f9{x}>0∙WX>-∣n<∣∙IMJr<Ina：

故/(x>ft(-oc.-In0)小调li£M.在(一In。.+x)单调ifi增・

t≠h>WO肘.故以外在R上然调iSM：

为。>0时∙/(Jr)在，一8・一Ino)小调i£M・在(-lnα∙+x)小调IiI埔・

(2)证明：∙*i0>O时・要让：f{x}>2lnα÷∙Wi£:α(c'+")-Jr>2lnα+j・

Il∣KUEiC***—(x÷Ino⅛I)÷ɪ(ɑɪ—lnβ,—I)÷>。∙

又因为/NJT+1∙故小--(“+1«。+1)河乂|0"£-1・故;(才-In--1)川.Il

ɪeɪ>0・故cβ*te--(x÷tatf÷l)÷ɪ(ɑɪ-ta<r,-l)÷ɪeɪ>θU然成立・所以

/(x)>2lnα÷ɪ・

20.（12分）

设等电效“8」的公差为4lld>l.令d=X2∙记S.'Z分冽为敌"8」•他」

的""41利•

<1>∏3a.≈ial+al.S,+η≡2l.求UJ的沟项公式，

（2）若色J为等第数列.fl5w-7U=99∙求4

【弊析】（I）因为必=加+4故W=%=∕+2√∙即∕=d∙故0.=rtJ∙所以

b=≤÷±=1÷*.5≡f<ZL÷>E.η=≤i121.又s,+r,=2i.即1^+U=2∣.

ndd22d22d

jai

UP2<∕-7<∕+3=O.故d=3或d=g（⅛）.故｛%｝的通项公式为I.=.t

（2）若也）为第差数列.M2ft.≡6∣+¼3.即3高^=1+=*.即

,

βl-iald+2d'—0（所以a=d或αl=2«/.当4=d时,a.=nd・故S.="'"+1W.

02

7又山_：=99,⅝j99_=99,即

」；；3）l"2J

50/-J-SI=O.所以</=1•或d=l（⅛）1

即q=M时.α.=（"+∣M∙b.=三.故S.=：3.乙="‘：：'），又S.-心=99.

d2」2d

∣tμ"l02j-"100»99.即50∕-d-50=0,所以所以d=-2（含）或d=l（自）：

2Id50

51

50

21.(12分)

甲、乙商人投篮.秘次由JC中一次收IL现则如H若命中西此人维埃投歌,若未

命中则换为对方投篮.无论之前投霞情况如何,甲彬次投读的命中率均为0∙6.乙每次投篮

的命中率均为0.8.由抽签确定与I次投篮的人选,第I次投篮的人是甲.乙的概率各为0.5.

(1)求箍2次投亚的人是乙的概率：

(2)求第，次投篮的人是甲的微率：

(3)已知,若的机变R*,.服从两点分布.旦P(X,=1)=P(*,=0)=q,：

∕=IZ∙∙"∙KU(,XJ=E('q,).记前"次(即从第I次到第"次投篮)中甲投底的

l∙l»•1

次数为Y.求E(Y).

【皖析】(I)第二次是乙的微率为06x0.4+06x0.8=0.6：

(2)第i次是乙投球的概率为1-0,.Mp,.t=0.6Λ+0.2(1-λ)=0.4A+02.

构造等比数列九以彳9").WffH≡∣.

HI2,一、口II1IIJI1,2、

则P,.∣=+2)∙又Pi=:∙A-Tβ7,A^τ^7∙(7)v∙Aw7<7>*T∙

33LioJOJ03，

al-(ɪ)*nC2n

(3)当"∈N'时∙E(Y)≈p+Pj+-A=7-------7=点I-(Nl+7

l0]_£,Io〉S

~5

当II=O时,£(x)=o.符合上式・故£(丫)=j∣一($