2023年安徽省芜湖市成考专升本高等数学二自考测试卷(含答案带解析)

2023年安徽省芜湖市成考专升本高等数学

二自考测试卷(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

［函数/(x)在［α,切上连续是/(x)在该区间上可积的

A.A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要

条件D.既不是充分条件，也不是必要条件

2.设?(X)在xθ及其邻域内可导，且当x<xθ时？'(x)>0,当x>xθ

时？'(x)<0,则必？’(xθ)().

A.小于0B.等于0C.大于0D.不确定

已知/(x)=Inx,则/O=

∖)O

B「7

2

c了

2

D.”

4设/（χ）的一个原函数为Xin?》，则/a）的导函数是（）

A(Inr÷2)Iru

ɪ(1+Inx)

B.ɪ

2

-(I-Inx)

C.X

1(2+Inx)

D.*

设Ltan（KyD则言等于（

B・-----2，、

-sintʃ(ʃʃ-ʃ*)

3一21

Zi-(Xj-P)"

_七2

D.

5.(.τy

设函数y=f（u）9u=φ（x）,且/与夕均可导.则%/〔少（”）〕等于（）

・笠笔b∙⅛÷⅛c∙⅛+⅛Da

7.!如*=()A.0B.l/2C.lD.2

.设xy贝

8z=e,IJdZ=()o

A..dx

B.(xdy+ydx)e"

xdy^ydx

D,(χ+y)e”

9.从L3,5,7中任取两个不同的数，分别记作k,b,作直线

y=kx+b,则最多可作直线()。

A.6条B.8条C.12条D.24条

10设/(x)=xlnx，/M(X)=()

A.1+lnx

ɪ

D.X

11.

设函数/(x)=,\_4…,在Λ=2处连续，则α=

aX=2

A.----丁B.-TC---τ≡∙D.―

8√28√24√22√2

12.已知/(*)=/.则∫，(χ)dx等于()∙A.1∕2B.1C.3/2D.2

设函数t=∕(r,y)在点5：.”)存在一阶偏导数.IH

r∙Λ

■•词一/(%”)

Alira&L竿但C..∕CΓu+Δ/

ʌr-O∆rbM--------------a-------

C../Gs%+Δr)-/LrgM)D,即四上笠也Z曲凶

13.C妈。--------&-Δr→OZxT

⅞f(x.y)⅞f(x,y)_

设/(x+y,9)=巴上匕，贝ilj+

ðbr∂v

i4.χy

A.A.x+y

l÷x

B.y

1X

c.yy

x_

D.yy2

15.

设Iim假2。,则IimZ业1等于().

■7X3・一。

102-c∙Td∙⅛

AaTb∙J

16.

6.

函数八幻的导函数广⑶的图像女。图所不，则在(-8,+8)内/,CO.

/(X)的单调递增区间是

B.(-~,1)-rk

A.(T»,0)

C.(0,-H»)

d∙(1，+~)-J\

2

*∫'ι[2+xln(l+x)]dx=

A.A.4B.2C.0D.-2

18.

设/(G为连续函数.则ʃ,'(f)也等于().

ʌ./(ɪ)-Λθ)B.z[/(ɪ)-Λ0)]

cτ[∕(⅛)-ΛO)]D.Λ2)V(O)

2x÷lx<0

设/(x)=，2X=O,则/(x)在x=0处是

20.|x"x>0()o

A.连续的B.可导的C.左极限W右极限D.左极限=右极限

设f(x)的一个原函数是arctanx,则/(x)的导函数是

A.-ʌʒ-B.------ɪʒ-ʒ-

l+x2(1+X2)2

cXn2x

(")2'"(l+χ2)2

21.

22.

Sin2.«

X<0.

则函数/Q)的间断点是().

XMO,

(X÷2,

A.4=-2B.X=-IC1),x=0

23.

设函数“χ)=kzll(χ≠i),则Iimy(X)=

X-IIl

A.OB.-1C.1D.不存在

设Iim/(x)=Iimg(x)>则Iim=

24.JtTqITiOITag(x)

A.A.0B.lC.无穷大D.不能判定

n

25.设f-2(χ)=e2χ+ι,则F(X)IX=O=O

A.A.4eB.2eC.eD.1

26.

设函数人户在区间(ɑ,6)内满足/(x)>0且H)V0,则函数在此区间内是

A.单调减少且凹的

R单调减少旦凸的

C.单调增加且凹的

D.单调增加且凸的

1.h_1

27.已知函数y=f(x)在点处可导,且1。/(∙ro-2Λ)-/5)4厕r(Xo)

等于【】

A.-4B.-2C.2D.4

28.设函数y=sin(x2-l),则dy等于().

A.cos(x2-l)dxB.-cos(x2-l)dxC.2xcos(x2-l)dxD.-2xcos(x2-l)dx

,

29∕<J+1)=jr+3J+S,JU/(ʃ-1)=.

30.设函数f(x)在点xθ处连续，则下列结论肯定正确的是().

必存在

A.A.∙•,<»

R!im∕(x)≡0

JD•»-∙n

C.当x→xθ时,f(x)-f(xθ)不是无穷小量

D.当x→xθ时,f(x)-f(XO)必为无穷小量

二、填空题(30题)

31.曲线y=ln(l+x)的垂直渐近线是。

32.设函数y=arcsinx,贝!)dy=.

33.

ʃj∙∙IɪIAr=

.27_2

λurCπ

a∙0b∙JTd-T

34.设函数z=x2ey,则全微分dz=.

35.曲线y=sin(x+l)在点(-1,0)处的切线斜率为.

36.设y=1+cos2x,贝IJγ,-.

37.五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率P=

ΓsinΛ∕x=

38)2・

39.

设/(x)=χ2,g(x)=ex,则;(g(∕*(X)))=-------------------•

OX

40.

Jsinxcos2XdX=_____________________

41.

fʃ-ɪ∙OV工≤1,

设函数/(J∙)≡J在1=1处间断是因为

2—jr∙1<ɪ≤3

A./(ɪ)在X=1处无定义B.Iim/(ɪ)不存在

C.Iim/(ʃ)不存在Γλlim/(ʃ)不存在

›-i∙∙I

设H=XInJ∙+lny∖B!^ξ;=一.

42.

43设/(X)=Jjin∣d,.llJ∕'(y)=---.

44.

设二元函数Z=Sin土，则类∙=_______________.

yσx∂y

45.

设1/(ɪ)dɪ=2"+COsx+C,则/(x)=<

2∖

设Iimz(I+—I=e",则A=________

46.IBIx)

47.设式均是［—2,2］上的偶函数，且「(—1)=3,则F(I).

48.

设在(。,6)内的曲线弧是上凹的(或凹的，下凸的)，则曲线弧必位于其每一点处

的切线方.

49.函数f(x)=x∕Inx的驻点X=

50.

51.

设袋中有10个现.其中6个白球,4个黄球,从中任取2个球(设每个球取到的可能性相

同),则取出的2个球是1个白球J个黄球的慨率P=____.

52.设曲线y=axe'在x=0处的切线斜率为2,则a=

53.

函数y=卜沁山在H=ɪ处的导数值为.

54.

「dχ

Jl√Λ(1+X)^.

.(n+l)(n÷2)(n+3)

1Iim-----------

Ien

55.

已知「Jl-x'dx=∙,则「(71-/+DcU=

56.J。4j1

57.

设函数f(/)=∕+J+l,则/(ɪ)=.

过曲线y=V±±上的一点（2,3）的切线斜率是

58.4-x

59.

设Z=arcsin(x√57),则第=

ʌ[rsinr2dz=

60.d3°

三、计算题(30题)

e

求极限Iim「β.----(e'—])cos~*1.

6]…JðsɪnɜʃɪJ

求定积分f'ln(l+√7)d].

62.jo

求极限Iim「z-z?ln/1+

»*1

63.

,A求不定枳分口∙aretanʃdʃ.

64.

√?+，-∕y)d*dw其中D为一+y≤1.

65.

求微分方程，=三土上E的通解.

66.COSJ

计算二.物分gmcLrd>.其中D是由贪线,r∙2∙y∙工与双曲线xy-1所AU成

67.的区域・

3设Z为由方程f(z+y,y+z)=0所确定的函数•求偏导数Z..

UO∙

o∙

求曲闱在点U∙-2∙l)处的切城方程和法平面方程.

69.∣lr+2>÷l≡0

求微分方程半+*=e∙*的通解.

70.Arɪ

求极限呵H

/ɪ•

72设函数y=>(外由方程y=(ɪnʃ),∙Jhu确定,求，・

求函数Z=W+工一’的全部二阶偏导数∙

/ɔ*

74.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少？

rɪ≡arctan∕∙

已知参数方程」

,

75.∖y≡ɪ-ln(1÷r)•

76.设曲线y=4-x2（x≥0）与X轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为

DM

图中阴影部分所示）.

①求D的面积S；

②求图中X轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

计算二次积分FdyF-dʃ.

77JOJyɪ

计算『咨!drdy.其中D是由y=工和y'-X所圉成的区域.

78.⅛y

计第二"枳分Gy其中。是由Ii初线y'「及直线-V=∙T2B5成.

79.~

80.在抛物线y=l-χ2与X轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,

其一边AB在X轴上(如图所示).设AB=2x,矩形面积为S(x).

①写出S(X)的表达式;

②求S(X)的最大值.

81.求It分方程3x*÷5x—5√≡0的通解.

82.

计算二重积分I=lʃ(ɪ,÷y÷3y)djrdy.其中D=((j.y)|x:+y≤.ɪ≥01.

83求Iimx(c7-l).

设函数Z=e-**T+⅛⅛+y/(3,一y).其中/为可导函数.求空.

84.ɪ+>θɪ

设DR由曲线y"∙∕(∙r)与巨级y-0.ye3圈成的IK域.其中

(∙XK2•

/(ɪ)≡J

16∙r‰r>2・

85■求“烧'轴旋状形成的箧转体的体枳.

86.求解微分方程MnJ∙dy+0-lnι)<Lr=O滴足条件Me)=1的特解•

87.求二元函数f(x,y)=x2+y2+xy在条件x+2y=4下的极值.

88.已知函数f(x)=-x2+2x.

①求曲线y=f(x)与X轴所围成的平面图形面积S；

②求①的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体体积Vx.

求不定积分卜Siardj.

计算不定枳分/=f旺吗1二二2业

90.JXl

四、综合题(10题)

设南数/(ι)L-r2arctanx∙

(I)求雨数/(*》的单两区间和极信，

91.卜、曲仪八"的凹凸和拐3.

92.求由曲线炉=(ɪ-l)'和直线上=2所圉成的图形绕J轴旋转所得旋转体体积.

93.

设抛物线y=α√+⅛r+c过原点，当O≤z≤l时,又已知该抛初线与工轴及

X=1所围图形的面积为4.试确定a»,r.使此图形绕了轴旋转一周而成的体枳最小.

94.讨论函数∕<∙r)L3J-T的单调性.

求函数八m一ʃ-ɪʃ`+J的单调区间和极值.

95.

96.求函数/“)Jr'在定义域内的最大值和最小假.

2(Jr—ɪ)

97征-喇，当∙rJl时.1"，■—7Xn^--

98.

过曲线Nh/(∙r>0)上一点M(1.1)作切线/.平面图形D由曲线F=M.均线/及

Jt轴围成.

求：(D平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕/轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

证明:方程e，一!—[6tO在区间(O.D内有唯一的实根•

99.τh

100.

求由曲线yl/与直线1=1.1=2及0围成平面图形的面枳S以及该图形绕

ʃ轴旋转一周形成的旋转体的体积.

五、解答题(10题)

101.

求极限Iiml•1c°s三

Loxsιnx

设函数y=j∙'4n∙r.求必.

102.

103.

已知/(ɪ)的一个原函数为ex,试求bimr/*(H)dH.

104.

求由方程siny+xe>=0确定的曲线在点(0,π)处的切线方程.

105.

计算.J鑫心.

106.

设随机变JSf的分布列为ɪ-■―[--土

P0.20.3a0.1

(1)求常数α.

(2)求第J的分布函数尸(x)∙

0123

设随机变量4的分布列为

P0.20.3

(1)求常数α.

(2)求第J的分布函数尸(X).

ɪ'J/•

108.

设Z=Z(X，y)由方程以=)^/确定，求也

109.盒中装着标有数字1、2、3、4的乒乓球各2个，从盒中任意取出

3个球，求下列事件的概率：

(I)A=｛取出的3个球上最大的数字是4｝o

(2)B=｛取出的3个球上的数字互不相同)。

计算「上之必.

no.J。"

六、单选题（0题）

111.

设N=e*jf>>,则祭=

dχCl.e）

A.0B.1C.eD.ex

参考答案

1.B

根据定积分的定义和性质，函数/(X)在［α,例上连续，则/(X)在［小/

上可积；反之，则不一定成立.

2.B本题主要考查函数在点xθ处取到极值的必要条件：若函数y=?(x)

在点XO处可导，且XO为？(X)的极值点，则必有？’(XO)=O.

本题虽未直接给出xθ是极值点，但是根据已知条件及极值的第一充分

条件可知f(xθ)为极大值，故选B∙

号"I必阳济£的是：给11中的条件在点*・的蜂域内对守足不4少的.古则相应的结论

/'(、)•。不定止・这是因为做饮彳以在守也不存在的点处里到.加>="，・一/,斗

37・

Jr=O时./不存A.m£=0力>的楼小伍e

3.B

因为f'(x)=l∕x,f"(x)=-l∕x2o

4.B

因为/(x)=(xln2x),=In2x+2lnx=lnx(2+lnx).

I19

所以∕,(x)=(2+Inx)-+—Inx=-(l+lnx).

XXX

5.A

6.D

答应选D.

分析本题考查的知识点是更合函数的求导公式•

根据复合函数求导公式.可知D正确•

需要注意的是：选项ʌ错误的原因是/是X的熨合函数，所以必须通过对中间变量求导后才

⅛苛X求导.

7.B

8.B

设U=Xy,则z=e"

/dzðw„

ZX=-3-=eβy=ye

duax

,dz3«„

Z=———=eX=Xej7

duσ}∙

所以dz=£dx+乎dy=ye"'dx+xej°ldy=exy(ydx+xdy),选B.

dxd>,

9.C

由于直线y=kx+b与k,b取数时的顺序有关，所以归结为简单的排列

问题

VP：=4X3=12

10.D

因为f'(x)=lnx+l,所以f"(x)=l∕xo

[解析J因为Iim因也=Hm----------七当一L=3

xτ2√-4^→2(x-2)(x+2)(√x+√2)8√2

11∙B

12.B本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法.

∫tf'(x)dx=∫jd∕(x)=h/(X)I：-∫∕(x)dx=xe]：-∫fdx=e"(x-I)|：=1.

13.B

14.D

设x+y=u.xy=v,则/S,v)=—,即/Cr,y)=±,所以

Vy

⅞f(χ.山+Qf(χ,W=J__x_

∂x∂yyy2

15.B

答应选B.

分析本题号作的知识点是抽象函数~号”型极限存在氾胃二、

注意到li/^ɪ=2.令2x=“.代换后在Iim如=高，即Iimj=÷.≡Λbm∙^-=

∙-oX3・fu3LOM3•-X

Um①∙5==.所以选B.

IUJ

也可以采用潴变M法：

解析I因为X在(y>,1)上，f'(x)>0,f(x)单调增加，故选B.

10.15

17.A

因为Xlna+χ2)是奇函数，

所以JJ2+xln(l+χ2)]dx=2Jθ2dx=4.

18.B

答应选B.

分析本题考者考生对微分、积分的基础知识和换元积分法的掌握情况•

本题的关键之处是对/'(/)的正确理解,函数/(X)对X求导时为/'(X),而当函数为

/[u(x)]的形式时J'(u)表示对口的导数而不是对X的导数,而根据微分式d∕(χ)=r(*)d*以

及微分形式的不变性：V(u)=∕'(u)du,其中U可以是自变量也可以是，的函数U(Z),所以

r团孙将/代)dx写成必切是最常见的错艮根据前面的分析,有/代)岭=

d代卜原式即为。'团d"2〃侍修=2(d∕信卜2/信)I：=2[∕(力/(O)],所

以选B.

如果用换元法，令李=，.则/'信)dx=2/«)d，=2dfC),注意到积分的匕下限应跟着一起

换.则有

I+

=2∫>(<)d=2/(,)[

J∕(f)djft=2"扑/(。小

所以选B.

请考生注意：由于这种题考叠的都是基本概念和基本方法，所以是历年••专升本”考试中常

见的典型试场,熟练地掌握这类题的解法是十分重要的.

19.2/3

20.D

Iim/(x)=Iim(2x+1)=1,Iim/(X)=Iim(x2+1)=1.故选D.

JT→(Γx→0~jr→O*j∣→0*

[解析)根据原函数的定义可知

,

/(x)=(arctanx)=p-j-7

则加)得

21.D

22.D

答应选D.

分析本题主要考表间断点的概念.

读者若注意到初等函数住定义区间内是连续的结论,可知选项A、B、C都不正确.所以应选:

23.D解析

先去函数的绝对值，使之成为分段函数；然后，运用函数在一点处极

限存在的充分必要条件进行判定.

由/(χ)=k~?=ɪx<∖

X-IIx>1

因为Iimf(x)=Iim(T)=-I

x→Γx→Γ

Iim/(x)=Iim1=1

H♦Λ→l*

Iim/(x)≠Iim/(x)

x→Γx→l*

所以Iim/(x)不存在.

24.D

做该题时若不假思索，很容易错选B为答案.但假若对极限的定义有正

确理解，特别是能联想到如?的不定型，便知答案是D.事实上.若lim∕(x)=limg(x)=O,

0t→⅜ι→⅜

[0

则可能有以下三种情况：Iim=∙C(C为非零常数).

I与g(X)

25.A

因为ST"M=/-3,

ln212j+,

所以∕'^(x)=2e*',严(x)=4e.

则fg(0)=4e.

26.D

27.B

I),(Xo)

Λ*0ʃ(ɪo—2h)一ʃ(ɪo)Iimfa一2外一〃工。)=-2∕(xo)=彳'于是'

28.Cdy=y,dx=cos(x2-l)(x2-l),dx=2xcos(x2-l)dx

ɔɑʃ"—ɪ÷3ɪ'—ɪ÷3

30.D

本题主要考查函数在一点处连续的概念及无穷小量的概念.

函数y=f(x)在点xθ处连续主要有三种等价的定义：

Iim∆y=0<=>lim∕(x)≈∕(x)c^∣im∕(«)=ɪim/(x)≡∕(⅞).

4-0∙-∙∙β0∙~∙∙A∙-∙∙4

还有一种就是连续的分析定义(6-6语言)，已越纲,不作要求.

如果将第二个式子写成Iimsx)∙√(%)1=0.利用无穷小Ift的定义,可知：当XTX。时J(X)M%)

为无穷小我,所以选D.

这里容易出错的是：很多专生认为选项A是正确的.如果∣im".小士！存在.则它等于

IrX-Xt

/'(%).函数/(χ)在点X。处连续;但是反过来,若函数y=∕(χ)在点分处连续J(Z)不一定在点A

处可导.产生这种错误的原因是基本概念不清.

31.

【答案】应填±rdx∙

32..g

用求导公式求出y',再求dy.

因为y,=(arcsinx)'=-==,

√l-√

则<Jy=-τ=⅛dx∙

33.A

34.2xeydx+x2eydy.

35.1

因为y=cos(x+l),则y,(-1)=1.

36.应填一2Sin2x.

用复合函数求导公式计算即可.y,=-sinIx,(2%)'=-2sin2x.

37.应填2/5

【解析】本总的关健是将甲,乙二人看成•个整体与其他三人一起挎列为A：.注意甲•乙二

人的排列为A；.所以P-⅛-i∙÷.

AQ,

[sm~x=2jSmEdE=-2co,*2

38.2本题考查了定积分的知识点。,O

39.

2xeχ2

因为g(∕(X))=e，

所以2"(g(∕(X)))=2胧”

OX

40.

XCOS2Xdx=-[cos2XdCoSX=-JCOS3x+C

J3

41.D

42.1/y

43.

广团

44.

X.X1X

—sin-------cos—

yyyy

əzxə∕X∖1x

—=COS—•—(-)=—CO5一

σxy∂xyyy

H"zXəz1λ1əf1x1.ΛəM、

Wdyy∂yyy∂yyy2yyy∂yy

1XX.X

=—J-COS--F-γSin-

yyyy

45.2xln2-sinx

46.12

利用重要极限∏的结构式:

Iim(1+□)°=e或Iim(1+——I=e.

o→o□→*\□/

由已知lim(1+工『=e-',可得2A=-4,所以k=-2.

*→∙∖X/

47.-3因f(x)是偶函数，故F(X)是奇函数，所以f(l)=-f(l),即F(I)=f(-

1)=-3

48.上上

49.x=e

50.

51.8/15

,xx

52.因为y=a(e+xe),所以％=。(I+χ)e,∣,.0=α=2.

53.1

J→Rdxɔr+~dVxC.二∣irnπ

I-T=--------=2-------f=-τ-=2arctan√Λ=2—=—

54.兀/2兀/2解析：L石(l+χ)Ll+(√7)1142

1

.fL、..(Λ+l)(n+2)(n+3).八1、八2、八3、

［解析］Iimʌ——"~2i——-=thm(l+-)(I+-)(1+-)=i1

--nrAfennn

ɔɔ*

56.(π∕2)+2

57.

-pr÷ι

2

，8

［解析I因为V=--------所以y<2)=2

2

58.(4-X)

xx

59.2√J√Fz7ry277，1―英

xsinx2

［解析］运用变限积分导数公式,得

—Irsinr2d/=xsinX2

60.dj°

⅛-⅛⅛^^fcj^1,∙cos71Iim《1-1)•cosɪɔ

*→oɛsinɜʃ

一e

—IimS-1)∙cos--lim(e4-1)∙cos-

⅛esɪnɜʃ，一。!叫8sin3x，-»。

-e-e

limʃ∙cos一limʃ∙cos一

2。*→∙Jr241L。X

Iim7”+尸Iim7”+L

一0-0

z→β

61.=

ln(l+√T)dx=jrln<1+6)I-ɪʃ

≡,n2-⅛Lr⅛∙k

=dκ

由于⅜Γ£τ⅛令…向

]+r4~他

1+“

—,+InI1+rI]I

-7÷ln2∙

故ln(l+√Cr)dɪ=In2÷y—In2=歹.

62.4**

ln(l+√T)<Lr≡ɪln(1+y7,L^⅛K

k

由于Jr⅛^ʒd/(令，=6)

K(r^ι+⅛)dz

—f+InI1÷/I]

^7+ln2∙

故ln(l+>∕x)<Lr=In2÷y—1∏2

63.

该题属于“8一8”型,我们用倒代换χ=±让其产生分母,然后通分计算

之.

ʃ-x2ln∕1+limΓ-------yln(1÷r)

r-*0

1------

⅛-⅛t2

⅛2“1+，)=~2'

该题属于“8一8”型,我们用倒代换H=:让其产生分母,然后通分计算

之.

p-l∏(1+r)”

IimL二包5+"

r-♦0ɛ

1

1+r

2t^^

⅛2Z(T÷7)-2^,

原式=ɪI»rctanʃd(ʃɪ)

⅛j,arctanx^⅛∫x*∙i4⅛

ɪ^aretanʃ-ɪʃ(l-ɪ)dɪ

-ɪ-ɪɪeretanʃ—ɪ(j--aretanʃ)÷C.

64.

原式=ɪIaretanʃd(ʃɪ)

tLr

~jrarctar‰r^⅛P∙τ⅛

:JarCtarLr^⅛∫(l'r⅛)dj

∣

--j⅛rctaru-一ɪ(ɪ-aretanɪ)+C.

65.

根据积分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

枳分区域Q由一+V≤1化为r≤1.0≤ff≤2π.½

(√xr÷yr—ɪv)drdʌr(r-rɪeos^sintf)rdrew

3—r,cosβsintf)dr

ʃ［：-亍COMSi同］此

ɪðl--ɪ-ʃSinftiSind

枭一*sinW多.

□O

根据积分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

枳分区域Q由一+/≤】化为r≤1,0≤G≤2ιr∙故

(√Crr÷y—ʃv)<Lrdy(r-rɪCOMSind)rdrdθ

—ʃdðʃ(r,-rjcos^sintf)dr

=P［y-yCostfsim?!j此

=；夕［-ɪʃ*<in0dsin∂

≡lχ^c⅛sin^IΓ=⅜π∙

66

方程两边同乘以cosy.则得COSy∙y'=/+I-Siny,即

d(sinv)I.I

----Li—rsiny=ɪ+1.

dʃ

令“=SinA则方程化为的+u=∙r+l.属线性方程,用求通解公式得

u=e÷,[∫(j+l)Jdj+C]

=ej[ʃ(ɑr÷1)crdj+C]

=e^ʃ[(ɪ÷De*—er+C]

≡cy+C).

则原方程的通解为Siny=cz(xez+C).

方程两边同乘以CoSy.则得cosy∙=ɪ+1—siny,即

d(sinv)..1

——Li—rsιny=Jr+1L

ɑʃ

令“=SiB则方程化为碧+“=∙r+1.属线性方程,用求通解公式得

u=e÷,[∫(x÷l)e∫dj÷C]

=e_j[J(ɪ÷1)eʃdʃ+C]

=e^,C^∙r+I)e'—e'+C]

cF∙rl+C).

则原方程的通解为

Sinly=cʃ(ɪeʃ+C).

/1≤x≤2.

先沿、方向积分•区域D可表示成」17则

—≤>≤-r∙

=f(⅛~⅛∙⅛)dj

=/ɪʃ,+-τ~'\=红

,

67.(6^1264

rl≤z≤2,

先沿›方向积分,区域D可表示成/1则

—≤y≤才・

JC

J£dzdy=j；dx[j

j4,27

(⅛÷⅛^)Γ≡64,

由隐函数求导公式知F一票定霜

68.

2Ξ

由的函数求导公式知“，∣

-⅛Ji`4ɪ+y⅛∙y+z>.

69.

曲线方程可化为

X=x«

31+1

∙y=-2~

Z≈JT2,

在(1,一2,1)点处曲线切线的方向向量为

2

(√(1).√<1),√(1)}^2

因此,曲线在点(1•一2.D处的切线方程为

工一】=X±2.Z-I

1_32.

法平面方程为

(ʃ-1)--∣∙(y÷2)÷2(c-1)≡0.

!P

ZJ—3>+4r—12=0.

曲线方程可化为

在点处曲线切线的方向向量为

s=(jz(ɪ).>>(ɪ)»r*(1))=/ɪ∙~∙∣∙•2

因此.曲线在点(1.-2.D处的切线方程为

1=X±2ɪ［二_1

12•

法平面方程为

3y+4z

由IS意∙知∕,<χ)=y.Q(^)=J・

lbur,

：•0∫M≡e4÷-c=c=ʃ∖

J阳'=e卜tb=clft,=x∙

IQ∙/"dr=1∙ɪdɪ=ɪ[erdʃɪ=ɪ

・••该曲分方程的通解N=子[*'+C}

70.

由题意.知P<J-)=T-,Q(j)=CJ・

：,eJw,=e∣÷4∙-c^b,=cu,'=J

Jw*=*&=ehw=X,

∣Q∙J'"<Lr=[c*∙ɪd-r=,⅛∫c^*dx,=⅜e',

；•该微分方程的通解.V=

n

lim∕≡⅞4f'=Iim∕l÷-¾)^^=(

71.

-2产τ,T

Iim(ʃɪ∖=Iim/14TH)=e∙

y=[(lnʃ),J,.jt~+(lnj->,.GtaO'

≡[e2~,J,∙j-bu+(Iiu-)'・"/')'

rlr

=e>∙b<**∕>In(Iar)+∙r∙∙ɪj*jτ^+(lnɪ)‘∙e''∙2lαr

ta

=≡(IrU•/•∏n(∣∣u∙)+亡}x*+2(lαr)"∣∙JrJ.

72.

y=[(lnʃ>'['∙∕lnr+(l∏j∙)r•(jtaz),

=[『…了∙ι”+(ku∙>•(eta*O*

=e"'…口n(lnɪ)+工∙J-;∙jj∙xu,+(Inx)*・e2•21tu∙ɪ

Inj

≡(1ΓLF)J∙「In(IrU•)+了1]•J∙a+2(lru∙)f∙xur^l.

因为

4xjy,÷2]y'f=2∙r'y+3x,>,♦

所以

22j

ZΛΛ≡=I2xy+2y.