2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习1 解三角形（理科）解答题30题 含答案

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题1解

三角形（理科）解答题30题

1.（贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学（理）试题）在AABC中，α=5,CoSA=也,

10

3⅛COSC=4cCOSJB.

（1）求COSB的值.

（2）求,ABC的周长和面积.

2.（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（理）试题）如图，在平面四边形

3

ABCDψ,已知BC=2,cosZBCD=-j.

（1）若NCBD=45。，求8。的长；

（2）若COSNACZ）=乎，且A8=4,求AC的长.

3.（山西省太原市2022届高三二模数学（理）试题）在一ABC中，角A,B,C的对边分

别为α,b,c.设CoS2A+sin4sin8=si∏28+cos2C.

⑴求角C；

（2）若。为AB中点，CO=",AB=25求二ABC的面积.

4.（广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（理）试题）在锐角AABC中，角A、8、C

所对的边分别为。、b、c,已知2"sinC=√Jc.

（1）求角A的大小；

（2）若力=2,a=√7,求AABC的面积.

5.（2022•河南南阳・南阳中学校考模拟预测）已知一A3C的内角A,B,C所对的边分别是〃，

bfc9（«-c）sinA+csin（A+B）=⅛sinB.

⑴求角B;

（2）若b=l,求ABC的面积Se[O,*],求./BC的周长/的取值范围.

6.（2023・河南•校联考模拟预测）记一ABC的内角ARC的对边分别为“力,c,已知

3-2cos2B-Cos2A=2sinBsinCcosA.

(1)证明：b2+2a2=c2;

(2)若C=120,α=2,求..ABC的面积.

7.(贵州省铜仁市2022届高三适应性考试数学(理)试题(一))已知。，h,C分别为

△ABC三个内角A,B,C的对边，且6αsinC+ccosA=6c,A为锐角.

⑴求A；

(2)在①AABC的面积为2√L②AB∙AC=12,③,A+8C∣=∣4C∣这三个条件中任选一个补

充在下面问题的横线上.问题：若α=2,b>c,,求人,C的值.注：如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答计分.

8.(甘肃省酒泉市2022届高考5月联考数学(理科)试题)在“ABC中，内角A,B,C

所对的边分别为Q,b,c,己知CCOS(I-A-C)=6cos(c-(∙).

⑴求角C的大小；

(2)若a=b,P为“ASC内一点，PA=2,PC=4,则从下面①②③中选取两个作为条件，

证明另外一个成立：@BP-LCPi®PS=2√3；③∕BP4=150.

9.(甘肃省2022届高三第二次高考诊断考试数学(理)试题)如图，在圆内接四边形ABCn

中，AB=2,BC=4,且NACB,NCSA,NBAC依次成等差数列.

⑴求边AC的长；

(2)求四边形ABCD周长的最大值.

10.(陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题)已知一ABC的三个内

角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,若--+cosC=tanΛsinC.

a

(1)求角A的值：

(2)若α=√∑,求JlBC面积S的最大值.

11.(陕西省2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题)已知锐角JlBC中，«,b,C

分别为内角A,B,C的对边，若SinASinBSinC=-^∙(si∏2A+sin°2-Sin2C).

(1)求SinC；

(2)若c=√L求一A3C周长的取值范围.

12.（陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高三上学期第二次质量检测理科数学试题）在

7

一ASC中，cosA=—,c=3,且sin3=2sinA.

8

⑴求。的值;

（2）若6/c,求JlBC的面积.

13.（江苏省南京市第一中学2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在，ABC中，

己知角A,B,C的对边分别为“，b,c,ɪ2αsinβcosC+2ccosAsinB=Λ∕3⅛

⑴求角B的大小；

⑵若ABC为锐角三角形，且c=2α,b=∖,求,,ABC的面积.

14.（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）己知一ABC的内角A,B,

C的对边分别为。，b,c,且c=2（α-∕;cosC）.

⑴求8；

⑵若-ASC为锐角三角形，求siι√Λ+sin2C的取值范围.

15.（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知锐角AABC中,

SinC='忘,SiU（A-B）=^

10v'10

⑵若AB=7,求AABC的面积S.

16.（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）一ABC的内角4,B,

C的对边分别为α,b,c,设（SinΛ+sinC）?=sin2B+3sinAsinC.

⑴求5；

(2)若60=2h+3c,求SinA.

17.（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（理科）4月20日试题）已知..ABC

为非直角三角形，曾=cos（4+B）.

sinB

⑴证明：篝2

（2）求COSA的最小值.

18.（宁夏回族自治区银川一中2022届高三二模数学（理）试题）..ABC的内角A,B,C

所对的边分别为a,b,c,且..ABC的面积S=近αc∙tan8.

4

⑴求B；

3

（2）若久久C成等差数列，..ΛBC的面积为求A

19.（宁夏银川市第二中学2022届高三一模数学（理）试题）在中，a,"c分别为内

/ɜ

角A,8,C的对边，若SinASinBsinC=—（sin2A+sin2B-sin2C）.

⑴求C;

（2）若C=G，求-ABC周长的取值范围.

20.（宁夏石嘴山市2022届高三适应性测试数学（理）试题）在ABC中，角A,B,C的

对边分别为α,b,c,。为AC的中点，若2Z>cosC=2α+c.

⑴求NB；

（2）若α+c=6,求B。的最小值.

21.（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（理）试题）在..ABC中，边a,b,c

所对的角分别为A,B,C,α=3,c2=b2-3b+9.

（1）求角C的大小；

（2）若KM=36,求A3C的面积.

COS/i

22.（新疆昌吉州2022届高三第二次诊断性测试数学（理）试题）一43C中，角A,B,C

的对边分别是α,b,c,（sinB+sinC）（b+c）=asinΛ+/?sinC

⑴求角A；

⑵若。为边BC的中点，且AE>=1,求be的最大值.

23.（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第一次质量监测数学（理）试题（问卷））在.‘ABC中，

角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知αsinA+bsinC=bainB+csinC.

⑴求A;

（2）若a=2√3,∠β与/C的角平分线交于点D,求ABCO周长的取值范围.

24.（江西省鹰潭市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）.ABC的内角A,B,C

的对边分别为。，b,c,且6SinBCOSC=CoSB（6;-6sinC）.

⑴求角B；

（2）若匕=2退，求―ABC周长的最大值.

25.（江西省赣州市2022届高三二模数学（理）试题）在ABC中，角A,B,C所对的边

分别为a,b,c,满足/?+4。=4««»3,点0,E满足AO=DB,AE=2EC.

⑴求SinA的大小;

⑵若α=4,∣DE∣=√6,求6,c.

26.（江西省萍乡市2022届高三高考二模数学（理）试题）在ASC中，角A,B,C所

对边分别为。，b,c,现有下列四个条件：①。=3；②6=2石；（3）cos2A+cosA=0;④

a2+c2-b2=-ac-

⑴题干中的③与④两个条件可以同时成立吗？请说明理由;

（2）请选择一组使ABC有解的三个条件，并求.ABC的面积.

27.（广西桂林市、崇左市2023届高三联考数学（理）模拟试题）在一ABC中，角A,8,

C的对边分别为。，b,c,α=⅛（sinC+cosC）.

（1）求角B的大小；

TT

（2）若A=5,。为./BC外一点（A、。在直线BC两侧），DB=2,Z）C=3,求四边形ABOC

面积的最大值.

28.（广西2023届高三上学期西部联考数学（理）试题）在,ABC中，内角A,B,C所对的

边分别为α也C,且2ccosAcosB+α=-2∕jcosAcosC.

TT

（1）若B="，求C；

6

（2）若3为BC边上一点，且BC=3BO=√i4B,AD=3,求.ABC的面积.

29.（河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题）在ABC中，角A,B,C,

所对的边分别为4,b,c,已知“cos"X=加iɪvl,2a=3h.

2

⑴求COS8的值；

⑵若α=3,求C.

30.（2023届河南省开封市杞县高中高三理科数学第一次摸底试题）在..ABC中，角A,B,

C的对边分别为α,b9cfhcosC-a=csinB.

⑴求角3：

（2）若b=下,.求/3C的面积.

从①SinC=更，②SinA=®这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问

510

题.

注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分.专题1解三角形（理科）

解答题30题

1.（贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学（理）试题）在^ABC中，α=5,cosA=立，

10

3⅛cosC=44∙cosB.

（1）求COSB的值.

⑵求一ABC的周长和面积.

【答案】（吗3

（2）周长为60+2°应;面积为U

77

(分析](1)根据cosA=——及sin?A+cos2A=I求出tanA，根据正弦定理劝CoSC=4ccosB

10

3

可转化为WtanB=tanC=-tan(A+B),代入求出tanB的值，再根据sin?8+cos?3=1,解

出COSB的值.

(2)，T=上求出6,再根据SinC=Sin(A+3)求出SinC,再根据正弦定理三=占

sinAsinBsinCsinB

求出C,周长就能求了，面积根据THSinC求解.

【详解】⑴因为sh√A+cos2A=l并且CoSA=立，

10

所以SinA=±逑，又因为Ae(O,万)，所以SinA=述，所以tanA=吗=7

1010CoSA

因为3。CC)SC=4c∙cos笈由正弦定理得：3sinBcosC=4sinC∙cosB

3sinBSinC3C-,小tanA÷tanB7÷tanB

即tlπ------=-----BCPIrt-tanB=tanC=-tan(A+B)=---------------------=---------------

4cosBcosC41-tanΛtanB1-7tanB

4

所以tan5=-1或tanB=-,又因为3Z?COSC=4c∙cosB,所以COSB与COSC只能同正，所以

3

(π∖443

3∈[θ,5J,⅛tanB=-,又因为sin23+cos2b=l,所以sin8=《，cos5=g.

a_b5_b厂

(2)由(1)得SinB=4,根据正弦定理得：=7√T=4,所以/,=型业,

5ɪi7

7√23立4√2

又因为SinC=Sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB=^iθ^'5+lθ^'5"V

20R

CbCr2'

根据正弦定理：-F=-^nF=+nc=；

sinCsinB√237

^2~5

U2()底2560+20√2

所以一ABC的周长为:5H----------1----=--------------

777

一ABC的面积为：—absinC=ɪ×5××=—

22727

2.（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（理）试题）如图，在平面四边形

3

ABCDφ,已知BC=2,cosZBCZ）=--.

(1)若Na3。=45。，求BD的长；

(2)若COSNAcz)=亭，且A3=4,求4C的长.

【答案】⑴8√Σ

(2)2√5

【分析】(1)由和角的正弦公式及正弦定理化简求解(2)由差角的余弦公式及余弦定理化

简求解.

【详解】(1)VcosZBCD=-∣,SinNBCD=Jl-COS。NBCD=g.

√2

又NCBD=45°,所以sinNCDB=Sin(NBCD+45°)=ZBCD+cosZBCD)=

10

...在中’由正弦定理;BD

MS⅛,可得8。=80，即Bn的长为8√∑.

sinZBCD

(2)cosZACB=COS(ZBCD-ZACD)=--χ-+-×-=-,

`,55555

.∙.cosNACB=@在AΛ3C中,BC=2,AB=4,

5

AB2=BC2+AC2-2BC-ACcosZACB,

∏If⅜∣6=4+4C2-2×2×ΛC×∙y,解得AC=2后.

,AC的长为2爪.

3.(山西省太原市2022届高三二模数学(理)试题)在-ASC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,c.设cos?A+sinAsin8=sin28+cos?C.

⑴求角C;

(2)若。为AB中点，CD=√7,AB=25求一45C的面积.

【答案】(I)C=5

(2)2√3

【分析】(1)利用同角三角函数关系的平方关系、正弦定理、余弦定理可求解;

(2)¾fflC4∙CB=abcosCɪɪab^(CD+DA)(CD-DA)=CD2-DA1^[∖ab=S,再由面

积公式可求解∙

(1)

*∙*Cos2Λ+sinAsinβ=sin2β÷cos2C,

∙*∙I-sin2Λ+sinΛsinB=sin2B÷l-sin2C,

即SinASinB-Sin"=Sin?β-sin2C,

由正弦定理得a。一/=/—¢2,

兀

V0<C<7F,ΛC=-.

3

(2)

由于。为AB中点，所以D4=-f>8,

而CA=CD+DA,CB=CD+DB=CD-DA,

所以CACB=HcosC=；H=(CO+OA)(CA)=Co2一。*=7-3=4,

•*.ab-8,

∙'∙Sλbc=ɪa⅛sinC=g仓∣]8ɪ=28.

4.(广西柳州市2023届新高三摸底考试数学(理)试题)在锐角AABC中，角A、8、C

所对的边分别为a、b、c,已知2αsinC=6c.

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,a=Λ∕7,求AABC的面积.

【答案】(I)A=?

Q)更

2

【分析】(1)根据正弦定理结合内角的范围求解即可：

(2)由余弦定理与面积公式求解即可

(1)

由已知及正弦定理知：2sinAsinC=JJsinC.

因为C为锐角，则SinCH0,所以SinA=3.

2

因为A为锐角，则A=W

(2)

由余弦定理，b2-sfC2-IbccosA=a1

则¢2+4-4CCoSl=7,即C2_2C-3=0

即(C—3)(c+l)=0,因为c>0,贝∣Jc=3

所以△ABC的面积S=L,csinA='x3x2sin工.

2232

5.(2022•河南南阳・南阳中学校考模拟预测)已知ABC的内角A,3,C所对的边分别是α,

⅛,c,(67-c)sinA+csin(A+B)=⅛sinB.

⑴求角8;

(2)若b=l,求_ABC的面积Se(O,*],求_ABC的周长/的取值范围.

【答案】(I)B=A

⑵(2,忘+1)

【分析】3)根据内角和定理可知ISin(A+B)=SinC,结合条件，利用正弦定理可得

a2+c2-b2=ac,再根据余弦定理即可求解；

(2)根据Se[,*),结合三角形面积公式可得O<αc<g,根据余弦定理可得

cosB=a^+c^~b^将6=1代入，则/+c?-1=加，即(々+。产=3αc+l,可得到α+c的

2ac2

范围，即可求解.

【详解】(1)由内角和定理得：Sin(A+8)=Sin(乃-C)=SinC,

.,.(tz-e)sinA÷csinC=⅛sinB,

由正弦定理边角互化得：(α-cM÷c2=⅛2,^a2+c2-h2=ac,

a2+c2-b2

cosB=

Iac2

∙.∙β∈(O,Λ∙),ΛB=-

3

(2)由(1),SinB=3,

2

则由题意，S=gαcsinB∈(θ,*],故0</Y,即O<αc'<；,

由余弦定理可得cos3=———=—1b=∖,则/+/一1,故(α+c)2=3ac+1∈(1,2),

Iac2

所以l<α+c<∙V∑,故2<α+6+c<V∑+l，

即“ASC的周长/的取值范围为(2,√Σ+1)

6.(2023・河南•校联考模拟预测)记JIBC的内角A,B,C的对边分别为“∕,c,已知

3-2cos2B-Cos2A=2sinBsinCcosA.

⑴证明:b2+2a2=c2;

(2)若。=120,〃=2,求一ABC的面积.

【答案】(1)证明见解析

⑵有

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角相互转化以及余弦定理将原式化简，即可得到

证明；

(2)根据余弦定理即可求得",6,再由三角形的面积公式即可得到结果.

【详解】(1)由3-2COSZ-cos^AuZsinBsinCcosA,

得20-CoS*)+(I-CoS2A)=ZsinSsinCcosA,

即2sin2B+sin2A=2sinBsinCcosA，

所以由正弦定理及余弦定理，

得2b^+a2=2bc×+C———，

2hc

化简得从+2/=C?.

(2)由余弦定理，^c2=a2+b2-2abcosC>

所以C?=/+〃-2α⅛cosl20,

BPc2=a2+b2+ab®.

又由①知^+2fl2=c2②

联立①②，得/?=。=2,

所以SABC=gaAinC=gx2x2χsinl20=6,

即一ABC的面积为6.

7.(贵州省铜仁市2022届高三适应性考试数学(理)试题(一))已知。，b,C分别为

△A5C三个内角A,B,C的对边，且J^SinC+ccosA="c,A为锐角.

⑴求A；

⑵在①AABC的面积为2√J,②AB∙AC=12,③网+8C∣=∣4C∣这三个条件中任选一个补

充在下面问题的横线上.问题：若α=2,h>c,,求b,C的值.注：如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(l)TgT

O

⑵b=4,c=2方(各条件所得结果相同).

【分析】⑴利用正弦定理的边角关系及辅助角公式可得Sin(A+&)=且，结合A为锐角，

62

即可求A.

(2)①由三角形面积公式，②由向量数量积的定义可得a=8&,再由余弦定理可得

4+C2=28,结合已知即可求乩c；③若。是AC中点，根据向量加法的几何意义及已知

条件可得2∣B4=∣AC∣,再应用余弦定理可得2c=J豆、从+¢2=28,即可求尻c∙.

(1)

由题设及正弦定理，JJsin4sinC+sinCcosA=JJsinC,又SinC>0,

所以有SinA+cos4=Λ∕J,即Sin(A+三)=,XO<A<—,即丁<A+=<,

622663

所以A+2=生，即A=J.

636

(2)

①由Sabc=—besinA=—=2>∕3,即〃C=8Λ∕3,

②由AB∙AC=仍COSA=^^=12,BPfec=8√3,

2

T7Λb2+C2-a2⅛2+C2-4√3日22coT7I

又COSA=---------------=-------7=—=—,即∕r+c=28，又b>c,

2hc16√32

将C=甲代入"+¢2=28整理得：(⅛2-16)(⅛2-12)=0,可得。=4或6=2后，

当6=4时，c=2√3;当人=2√J时，c=4(舍).

综上，h=4fc=2Λ∕3；

③若。是AC中点，由8A+8C=2BO,又∣BA+8C∣=∣AC∣,即2,4=∣AC卜〃，

B

所以B4=∙∣,故在△ABD中，cos,J+qf一弓)2J=G,即2c=J%,

2be~~b~2

.厅+c~-4CCT7L

又τ7COSA=--------------=--------7=—=—,HhπllZ2r+c2=28,又b>c,

2bc1662

所以力=4,C=2∖∣3;

8.(甘肃省酒泉市2022届高考5月联考数学(理科)试题)在一ABC中，内角A,B,C

所对的边分别为a,b,c,已知CCOSc-A-C)=6cos(c-2

(1)求角C的大小；

(2)若α=6,P为一ASC内一点，PA=2,PC=4,则从下面①②③中选取两个作为条件，

证明另外一个成立：(1)BPA-CP；②PB=2拒;③NBPA=I50.

TT

【答案】(I)C=I

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意将已知条件化简.再结合角的取值范围即可求解；

(2)由题意求得JlBC为等边三角形，从三个条件中任选两个，利用余弦定理及其推论结

合已知条件，即可证得另一个条件.

(1)

由题意可知CCOS(5―A—=bcos(c-V,

.*.csinB=b{CoSCCOS工+sinCsin二］=COSC+‘OsinC，

(66J22

W1

由正弦定理可得SineSinB=sinBcosC+—sinBsinC,

22

VB∈(0,π),ΛsinB≠O,

∙,∙sinC=@COSC+'sinC,∙*∙sinC=6CGSC,BPtanC=ʌ/ɜ,

22

VC∈(0,π),ΛC=y.

(2)

若选①②证③，∙∙Z=b且C=],・•・,ABC为等边三角形，

•：BPLCP.又PC=A,PB=2布,ʌBC=2√7ʌBA=2√7,

12+4-28√3

在△切四中,cosNBPA=.,.ZBPA=150.

2×2√3×2^2

τr

若选①③证②，∙∙∙a=人且C=§,.∙..一ABC为等边三角形，

BPVCP,NBPA=150,二ZCPA=120,

在二CPA中，AC2=4+16-2×2×4cosZCPA=28,

在RtZ∖δPC中，BC2=28,PC2=16,ʌPB2=Xl.ʌBP=2√3∙

JT

若选②③证①，Ya=8且C=§,.∙.JIBC为等边三角形，

在Z∖BP4中，*.,PB=2√3,PA=2,NBPA=I50,

AB2=12+4-2×2√3×2cosl50o=28,

在ABPC中，PB?=12,BC2=AB2=28,PC2=16，

,BC2=PB2+PC2,：•BPLCP.

9.（甘肃省2022届高三第二次高考诊断考试数学（理）试题）如图，在圆内接四边形48CZ）

中，AB=2,BC=4,且NAC8,/CBA,/BAC依次成等差数列.

（1）求边AC的长；

（2）求四边形ABCD周长的最大值.

【答案】⑴2如

⑵10

【分析】（1）根据等差数列的性质求得NCBA=（,再根据余弦定理求得答案；

2九

（2）利用圆内接四边形性质可得AADC=y,再利用余弦定理结合基本不等式求得

AD+DC<4,即可求得答案.

【详解】（1）因为ZAC8,NCB4,NBAC依次成等差数列，

所以NAC3+NBAC=2ZCBA,又NAC3+NBAC+ZCBA=π,

TT

所以NC8A=q,

又AB=2,BC=4,则由余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZCBA=4+l6-2×2×4×-=12,

2

所以

jr9Jr

(2)由圆内接四边形性质及NCBA=知C=不，

在△相)C中，由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2ADDCcosNCDA=(AE>+DC)2-ADDC,

又因为ADOC≤S£±22L(当且仅当Ar)=3C时"=”成立)，

4

39

所以1(A。+OC)-≤AC?=12,即AD+OC≤4,

则四边形ABCo周长最大值2+4+4=10.

10.(陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题)已知一4?C的三个内

2c-h

角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,若------+cosC=tanAsinC.

a

(1)求角A的值；

(2)若“=求A6C面积S的最大值.

【答案】⑴A=)

⑵事.

2

［分析】(1)由己知可推得4cosB+Z?cosA=2ccosA.由正弦定理可得Sin(A+3)=2SinCcosA,

进而得出CoSA=g,即可得出A；

(2)由余弦定理可得，2=∕+c'2-bc∙结合基本不等式可得出Ac≤2,代入面积公式即可得

出最小值.

「J-r”2c-bA.「CsinAsinC-cosAcosCcos(A+C)

【详解】(1)由己知可得I，-----=tanAsinC-CosC=-------------------------------=--------ɪ-------L

acosAcosA

因为A+5+C=π,所以COS(A+C)=cos(兀一B)=-CosB,

—hCCqR

所以——=——-,整理可得4cos5+bcosA=2ccosA,

acosA

由正弦定理得sinAcosB+sinβcosA=2sinCcosA,

即Sin(A+8)=2SinCCosA.

又Sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以COSA=；.

由于Ae(O,π),所以A=].

(2)由余弦定理/=从+/-2bccosA,可得2=∕+c∙2一力c.

又护+c2≥2bc,当且仅当人=C时取得等号，

所以次∙≤2.

所以，..AZJC面积Sarc=-bcsinA=J』

abc242

所以，..ABC面积S的最大值为正.

2

11.(陕西省2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题)已知锐角一ABC中，a,b,c

分别为内角A,B,C的对边，⅛1sinAsinBsinCɪɔ^-(sin2A+sin2B-sin2C).

(1)求SinC；

(2)若c=√L求ABC周长的取值范围.

【答案】(1)3

2

(2)(3+33码

【分析】(1)由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出tanC,由已知条件得出

角C的范围，

进而求出角C即可以求出SinC的值.

(2)由c,SinC的值，利用正弦定理求出。力，进而表示出三角函数的周长，利用三角形

的内角和

定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取

值范围.

【详解】(1)由SinASin8sinC=^^Sin,A+sin3B-sin,C)及正弦定理，

得"sinC=^-(^a2+h2-c2)即absinC=y∣3ahcosC.

所以tanC=∖∣3,由C为锐角，得C=g,

所以SinC=.

2

c

(2)由sinC不得R=L

~2

；・得周长=α+b+c=2R(sinA+sin8)+V5=2(sinA+sinB)+G.

=2sinA+2sinB+>∕3=2sinA+2sin

=3sinA÷>∕3cosA+∖∣3=2573sinA+j+,

ri、？A/八πA2兀/CπA

因为A∈1^0,—I,—■一Ax∈Iθ,ɪI,

ππππ2π

所以AWAH—∈

6,26i,T

聿)+(竹

所以2√5Sin(4A+-α3+"3

即a+Z?+c=(3+ʌ/ɜ,ɜʌ/ɜ].

所以ABC周长的取值范围为(3+石,3-].

12.(陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高三上学期第二次质量检测理科数学试题)在

7

-ASC中，cosA=~,c=3,且sin5=2sinA.

8

⑴求。的值；

(2)若brc,求JIBC的面积.

【答案】(l)a=2或α=∣

,9λ3√15

⑵,

【分析】(1)由正弦定理可得力=%，然后由余弦定理即可求解；

(2)利用bκc可得α=2,然后利用面积公式即可求解

【详解】(1)VsinB=2sinA,二由正弦定理得∕=20,

由余弦定理得CoSA=Zr+'=,

Ibc

・・A7C.74〃~+9—Q~/1∕rA-ZFq->

•cosA=—,c=3,∙∙—=---------------,化间得一7〃+6=0,

882×2a×3

3

解得。=2或〃=,.

3

(2)由(1)知，a=2^a=-f

3.

当a=5时，b=2a=3=cf与题意不符；当α=2时，b=2a=4≠c,符合题意,

.∙.⅛=4,YcosA=.,A∈（θ,π）,，SinA=Jl-Cos?A,

ɑ8

，_ABC的面积S=—be`sinA=—×4×3×^^-=.

2284

13.（江苏省南京市第一中学2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在,.ABC中，

已知角A,B,C的对边分别为。，b,c,M2asinBcosC+2ccosAsinB=y∕3b

⑴求角B的大小；

（2）若工ABC为锐角三角形，且c=24,b=l,求JLBC的面积.

【答案】（1）。或专

Q）B

6

【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式

化简可求出角8,

（2）利用余弦定理结合已知条件求出a，J然后利用面积公式可求出三角形的面积.

【详解】（1）因为24sin8cosC+2ccosAsinB=Gb,

所以由正弦定理得2sinAsinBcosC÷2si∏CcosAsinB=6SinB

因为SinBW0,

所以SinAcosC+sinCcosA=—

2

所以sin（A+C）=,所以SinB=,

22

因为-O/）,所以Bq或冬

ɔɔ

JF

（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=],

由余弦定理得，b2=a2+c2-IaccosB,

因为c=2^,b=l,所以F=a2+4a2-2a-2a-cos^,

所以。=3，C=空,

33

所以三角形ABC的面积为LCSin8=LXX马叵X2^=2^.

223326

14.（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）已知JIBC的内角A,B,

C的对边分别为。，b,J且c=2（〃-。CoSC）.

⑴求B;

（2）若BBC为锐角三角形，求siι√Λ+sin2C的取值范围.

【答案】（*

【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.

（2）用二倍角公式降幕，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.

【详解】（1）c∙=2（α-⅛cosC）及COSC=上2二

Iah

a2+h2-c2>ɪ

,化简得

2

1Ji

cosB=—,又O<B<π,.'.B=-.

23

(2)由(1)可得

sin2A+sin2C=ɪ(1—cos2Λ)+ɪ(1—cos2C)

=1-■-(cos2A+cos2C)=1-ɪ[eos2A+cos2(--A)]

223

=I-JdCOs2A-----sin2A)=1-'cos(2A+工)

22223

一ΛBC为锐角三角形，

八A4rjf∖∕~∖2冗.7ΓTC.7V

O<4<—O<C=------Λ<—,—<A<—

23262f

2τrπ4π

—<2Aλ+-<—

333

13

—1,,cos[2A+—<——1CO2Λ+

2Γ4<⅛2

故sin^A+sinP的取值范围为

15.（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知锐角AABC中,

SmC=1近，Sin（A-B）=立

10、71（）

⑴求*

IanB

⑵若A8=7,求z∖A3C的面积5.

4

【答案】⑴黑

3

(2)14

【分析】(1)根据SinC=Sin(A+3),结合两角和的正弦公式化简Sin(A+8)和Sin(A—5),

再联立求解即可；

(2)由正弦定理可得8。=5应向4/^=5近0118,代入面积公式可得

SABC=当但SinASinB,再根据两角和差的余弦公式求解SinASinB即可

(1)

SinC=述∙,∙sin(A+B)=-η^-

10

/.sinAcosB+cosAsinB=

10

√2√2

又s%(A-8)二故sinAcosB-cosAsinB

1010

.,2√2

SinAcosBβ=------

5

两式相除,

…3√Γ

CosAsinB=------

10

.tanA_4

tanB3

(2)

BC一AC.AB7：§E

由正弦定理得SinASinBSinC7√2'

ɪ

BC=5√2sinA,AC=5√2sinB

S=1AC.8CsinC=身巨SinASin8

Aec22

又锐角^A8C,SinC=逑,sin(A-8)=立，所以

10'710

∙'∙cosAcosB+SinAsinB,cosAcosB-SinASinB=--

1010

SinAsinB=

5

.„35&2√2..

•∙ɔARC=-------.------=14.

λbc25

16.(内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)A5C的内角A,B,

C的对边分别为4,b,c,设(SinA+sinCy=Sin+3SinASinC.

⑴求8；

⑵若6a=2b+3c,求siιιA.

【答案】⑴；

(2)2应+石

6

【分析】(1)将条件展开后利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理求角；

(2)利用正弦定理边化角，然后转化为关于角8等式，整理得到Sin(A-看］=:，再求出

COS(Aq),利用sin4=sin(A-e+/)展开求解即可.

【详解】(1)(sinA+sinC)123=Sin%+3SinASinC

sin2A÷2sinAsinC+sin2C=sin2B+3sinAsinC

即sin2A+sin2C-Sin*=SinAsinC

由正弦定理得/+/一斤=讹

—/?-ClC1/八\

.∙.cosBrt=--------------=------=—,Xτ7Bd∈(0,π)

2ac2ac2

•B=-.

3.

(2)6a=2b+3c

所以由正弦定理边化角得6sinA=2sinβ÷3sinC,

兀ITTI

.,.6sinΛ=2sinʒ-+3sinIʒ-+ΛI,有9sinA-3由cosA=2石,

1√32√212√2+√3

=—×-----1------x—=--------------

32326

17.(内蒙古自治区赤峰