2022-2023学年上海交大附中高二年级上册学期期末考数学试卷含详解

2022-2023学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷

一.填空题（每题6分）

1.设i是虚数单位，则复数z=2i（1-/）的虚部是

3.同时掷两粒骰子，则点数之和为7的概率是.（结果用分数表示）

4.已知数据加、12、…、X8的方差为16,则数据3制+1、3l2+1、…、3期+1的标准差为.

5.已知Sin（X爷）4，则cos（空等-2x）=-----------------------------

6.某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小

明闯过第一关的概率为旦，连续闯过前两关的概率为工，连续闯过前三关的概率为工.事

424

件A表示小明第一关闯关成功，事件C表示小明第三关闯关成功，则P（ClA）

nn1

7•如果定义ɪɪa∙=a1∙a9......a，那么Iim∏(1—z~)=_____________________

i=ln→00k=2k2

8.已知（aX21）n（>0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式

Vxa

的各项系数之和为1024,则展开式中的常数项为

9.某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、

政治科目等级中达A+的概率分别为5、3、3,假设各门科目考试的结果互不影响，则

645

该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率为.

10.已知异面直线队6所成角为α,过空间定点P与4、匕成65°角的直线共有3条，则α

的大小是.

11.六名小朋友A、B、C、。、E、尸在玩击鼓传花游戏，每个人在接到花后随机传给其他

五人中的一人，设首先由A开始进行第1次传花，那么恰好在第4次传花把花传回到A

手中的概率是.（用最简分数表示）

,

12.己知/（x）=2sinπx,g（x）=Vx+l则尸/（彳）与V=g（X）图像交点的横坐标之

和为.

13.在由正整数构成的无穷数列｛斯｝中，对任意的正整数，都有“"W的+ι且对任意的正整数

k,数列｛4"｝中恰有/个左,则«2023=.

14.已知f（χ）=‹p5i-a'x≤l,若函数y=∕（χ）有三个零点，则实数”的取

（χ-a）（χ-3a）,x>1

值范围是.

15.己知三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O与aABC的垂心重合，且

SZiABC_$△PBC

若三棱锥P-ABC的外接球半径为3,则S△附B+SMBC+S"C4的最大

SZkPBCSZkOBC

值为.

二.选择题（每题6分）

16.如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已

知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x、y的值分别为（）

甲组乙组

909

X215J8

7424

A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8

17.一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的3处，再自由落下，又弹回

4

到上一次高度的3处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的

4

总路程为（）

A.50B.60C.70D.80

18.已知直线4,6和平面α,且b在α上，〃不在a上，则下列判断错误的是（

A.若a〃a,则存在无数条直线b,使得a〃b

B.若a,a,则存在无数条直线儿使得

C.若存在无数条直线6,使得a〃b,则。〃a

D.若存在无数条直线b,使得a_L4则。_La

19.设0<aWb,随机变量X的分布是1124则E（X）的取值范围是（）

Iaba+b∕

A∙（1,B.呼，3）C.（1,Jl1D.[ɪ,1）

20.已知正方体A8CO-48ιCιOι的棱长为2,E、尸是线段BiO上的动点且EF=2,则三

棱锥A-BEF的体积为（)

A.2√2B.生巨C.2叵D.无法确定

33

f-11'

21.已知0<<」,随机变量晶η相互独立，随机变量E的分布为I21，Tl的分布

27

为卜11],则当P在（0,工）内增大时（）

I1-pPJ2

A.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)增大

B.E(ξ+η)减小，D9+n)减小

C.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)增大

D.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小

22.已知0,42,43,44是各项均为正数的等差数列，其公差”大于零，若线段/1，/2,/3,

/4的长分别为0,42,43，44,贝IJ（）

A.对任意的d,均存在以/2,/3为三边的三角形

B.对任意的d,均不存在以/1，12,/3为三边的三角形

C.对任意的“，均存在以/2,/3,/4为三边的三角形

D.对任意的心均不存在以/2,/3,/4为三边的三角形

23.设/（x）=ax1+hx+cb、c∈R）.已知关于X的方程/（x）=X有纯虚数根，则关于

X的方程/（/（x））=X的解的情况，下列描述正确的是（）

A.可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根

B.可能方程有四个实数根的解

C.可能有两个实数根，两个纯虚数根

D.可能方程没有纯虚数根的解

24.等差数列｛斯｝的通项是斯=3〃-1,等比数列｛尻｝满足封=即,b2=aq,其中q>p21,

且〃、p、夕均为正整数.有关数列仍“）,有如下四个命题：

①存在小q,使得数列｛与｝的所有项均在数列｛即｝中；

②存在p、q,使得数列｛E｝仅有有限项（至少1项）不在数列｛斯｝中；

③存在2、%使得数列｛与｝的某一项的值为2023；

④存在p、q,使得数列｛与｝的前若干项的和为2023.

其中正确的命题个数是（）个.

A.0B.1C.2D.3

2022-2023学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试卷解析

一.填空题（每题6分）

1.【解答］解：z=2i(1-z)=2/+2,

所以复数Z的虚部为2,

故答案为：2.

2.【解答】解：因为:

口

33.(1/

(当'1

所以：Iim

W3

故答案为：，

3

3.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

试验发生的所有事件为掷两颗骰子所有的6X6=36种结果，

而满足条件的事件为1,6；2,5；3,4；4,3；5,2；6,1共有6种结果,

.∙.由古典概型公式得到结果P=-L=I,

366

故答案为：1.

6

4.【解答】解：因为数据制、也、…、X8的方差为16,

所以数据3xi+l、3x2+1、…、3耶+1的方差为3?X16,

所以标准差为3X4=12.

故答案为：12.

5.【解答】解：∙.∙sin(χ-ɪL)上，

SIn∖X12jɜ

2u2jππ2

---,9v∙⅜=cos(336π+√--2x)=cos(2x-ʃɪ-)=1-2sin(x-ɪ--)

99

故答案为：A

9

6.【解答】解：根据题意，小明闯过第一关的概率为3,连续闯过前两关的概率为工，连续

42

闯过前三关的概率为工.

4

则P(A)=旦，P(ASC)=A,

44

1

则P(ClA)=P(ABC)=A=I

P(A)

4

故答案为：A

3

n

7.【解答】解：Y∏a=aa

ι12a√

i=l

n

π(芍)(IW)(I4)(1号)

k=2

(1--ɪʒ-)(i-∙⅛)(i

(n-2)2(n-l)n

=3X14×15×1X(n-3)(nT)X(n-2)nX(∏-1)(n+1)

xχ

2X2×3×34×4-(n-2)(∏-2)(n~l)(n-l)n×n

n+1

~2n'

∏(i-⅛=ι-f14

:∙Iim

n→∙8k=2n→∞Zn2

故答案为：1

2

8.【解答】解:由题意得或=媚

故〃=10,

令X=I可得Ca-1)"=1024,

所以。=3,

所以展开式的通项为小尸盘。(3/)心,(』一)，啖・3心小吟

令20-&∙=0,则r=8,

2

故展开式的通项为405.

故答案为：405,.

9.【解答】解：根据题意，该同学至多有1门学科没有获得A+,即该同学全部为A+或只有

1门不是A+,

当该同学全部为A+时，其概率Pl=SX3x3=至

645120

当该同学只有1门不是A+时，其概率尸2=(i-ɪ)χ3χ3+5X(i-ɜ.)χ3+5X旦

64564564

X(1-3)=_^£,

5120

则该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率P=P+P2=-^-+且=毁；

12012040

故答案为：ɜɜ.

40

IO.【解答】解：将直线4,匕平移到α',h',使得“',b'过点尸，如图，

设〃所成角的平分线为c,过点P垂直α',b'所在直线的直线为“，

：异面直线4,6所成角均为α,.∙.“',b'所成角为a,

当直线/经过点P且直线/在直线a',b,所在平面，

垂直于直线C时，直线/与直线a',b'所成角相等，均为65°时，

a',b'所成角为180°-2×65o=50°,即a=50°；

当直线/在直线c,1平面内时，若直线/绕着点P旋转，此时直线/与直线a',b'所

成角相等，

且所成角从巴变化到90°,再从90°变化到色，此时满足条件的直线有两条，

22

.∙.1800-a=65。,解得a=50°,

2

二过空间定点P与小人成65°角的直线/共有3条时，a=50o.

故答案为：50°.

11•【解答】解：设第八次把球传到A的概率记为P1,,

则PHI为第〃+1次传到A，则传球前不在A手中，而每个人传给其他人的概率为工，则

5

PT(I-P/

即P"+I-JL=-JL(P0-A),

656

因为Pi一I=」一，

630

所以数列｛P"-上｝是以」。为首项，以JL为公比的等比数列,

6305

Pn-工=工•（-1）"I

6305

故巴=也生

635

故答案为:104

635

12.【解答】解：依题意，(-1,0)是/(x)的一个对称中心，也是g(x)的对称中心,

如图所示:

所以左右交点关于(-1,0)对称，即xι+x2=-2,

而共有7对，加上本身点(-1,0),

所以横坐标之和为-2×7-1=-15.

故答案为：-15.

13.【解答】解：：对任意的正整数数列｛劭｝中恰有k个公

二数列是1，2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…，

当”=63时，

l+2+3+∙∙∙+n^IkΩltll=2O16<2O23,

2

当”=64时，

1+2+3+…+"=11(n+Ll=2080>2023

2

二42023在第64组中,故«2023=64.

故答案为：64.

14.【解答】解：令g(X)=2v-a(x≤l),h(x)=(x-a)(x-3a)(x>1),

又因为函数y=∕(x)有三个零点,

所以g(x)=O(x≤1)有一个零点，h(X)=(x-a)Cx-3a)(x>l)有两个零点,

f>∩

由g(X)=O(XWl)有一个零点可得：Ia,所以0<αW2;

,gCl)=2-a≥0

'a〉0

由力(x)=(χ-a)Cx-3a)(x>l)有两个零点，所以/,解得Q>l,

a>l

综上所述：l<αW2.

15.【解答】解：连接4。，并延长交BC于E,则BCJ_4E,连接PO,PE,如图,

贝∣JPO_L平面ABC,VSCc5FffiABC,：.POLBC,

∖'POC∖AE=O,，BC_L平面∕¾E,ΛBC±B4,PC上PE,

同理可证ACLPB,

...=∣δpbc).∙.yAE-BC-(⅛E∙BC)=⅛E∙BC)2，

bΔPBCi∆0BCNZZ

J.PEi=AE∙OE,Λpɛ,ɔɔl,'：ΛPEA=APEO,.'./^POE^ΔAPE,

AEPE

：.NAPE=NPoE=90°,PALPE,

"：PALBC,PEHBC=E,平面P8C,.,.PA±PB,PALPC,

'：ACVPB,PA∏AC=A,.∙.PB±T≡PAC,.∖PB±PC,

：.PA,PB,PC两两垂直,

补三棱锥为以力,PB,PC为棱的长方体，

；长方体的体对角线长为长方体外接球的直径，.∙.7¾2+PB2+PC2=36,

∙'∙SΔ∕¾B+SΔPBC+SΔPCAɪɪɪ(,PA∙PB+PB∙PC+PC∙PA)

2

BC222

≤1(PA2+PB2P2+P2+E^Λ^=JL(Λ4÷PB÷PC)=1×36=18,

222222

当且仅当巩=P8=PC=2√ξ时，取等号，

.∖S△阳B+SZXPBC÷SAPCA的最大值为18.

故答案为：18.

二.选择题(每题6分)

16•【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；

甲组数据是9,12,10+x,24,27；

它的中位数为/5,.∙.χ=5;

乙组数据的平均数为

A×[9+15+(10+>∙)+18+24]=16.8,解得y=8；

5

所以X、)，的值分别是5和8.

故选：C.

17•【解答】解：一个弹性小球从IO米自由落下，着地后反弹到原来高度的旦处，再自由落

4

下，又弹回到上一次高度的3处，假设这个小球能无限次反弹，

4

则这个小球在这次运动中所经过的总路程为5,,=10+2×10×2.+2×l0×(3)2+...+2×

44

n

2⅛×tι-⅛)l2

10×(A)z,=IO+2O×------------------------=10+6011-(A)n],

41J-4

4

1=70>

假设这个小球能无限次反弹，则IimSn=Iim{10+60[1-(ɪ)ɪ]}

ɪɪ->ooɪɪ-⅜,oo4

故选：C.

18.【解答】解：选项A,若。〃α,则a内存在无数条直线与a平行，即A正确；

选项B,若a，a,则a垂直a内无数条直线，即B正确;

选项C,因为a〃6,α<4α,⅛ca,所以a〃a,即C正确；

选项D,若存在无数条直线h,使得a±h,则“与a平行或相交(含垂直)，即D错误.

故选：D.

a+b+(a+b)=1

O<a<l

19.【解答】解：根据分布列的性质可知：Q<b<1,

0<a+b<1

结合题干条件0<αW5可解得：o<a<[<b<∙∣,

而E(X)=I∙-2343)=5α+6Q5(a+b)+b=∣W

于是E(X)=I∙+b∈[ɪ.3),

故选：B.

20.【解答］解：如图所示：连接AC与80交于点O,BBil5PffiABCD,AoU平面ABCf>,

故AoAOYBD,BDeBBl=B,BD,8B∣在平面8£)。以内,

故AO_L平面BDDB,

22

VA-BEF4×SΔBEF×A0=∣×⅛××Xa=平'

21•【解答】解：由题意可得：E(g)=(-1)x2+ix」-=」，E(η)=(-1)X(1

333

-P)+1Xp=2p-1,

所以E(+η)=ECξ)+E(η)=-^-+2p-l=2p^

OO

所以当P在(0,-1)内增大时，E(ξ+η)增大，

2

D(u=(-ι4)2×f÷(i4)2×⅛4

D(η)=(-2P)2X(I-P)+(2-2P)2×p=4p-4p2,

所以D(&+(∏)=4p-4p2÷∣-=-4(p-ɪ-)2^^~,

所以当P在(0,.1)内增大时，D(ξ+η)增大.

2

故选：C.

22•【解答】解：A：对任意的4,假设均存在以∕ι,/2,/3为三边的三角形，∙∙∙α,.«2,即，

44是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∙∙∙“2+"3>"1,。3+。1=2及>〃2，

而0+〃2-〃3=〃1-d不一定大于0,因此不一定存在以/1，/2,/3为三边的三角形，故不

正确；

B：由A可知：当m-d>0时，存在以/1，/2,/3为三边的三角形，因此不正确；

C:对任意的d,由于α3+44>α2,〃2+。4=2。1+41=。1+24+。3>0，。2+。3-Q4=m>0,因

此均存在以/2,/3,/4为三边的三角形，正确；

D.由C可知不正确.

故选：C.

23.【解答】解：f(X)=αr2+⅛x+c(。、b、c∈R),

关于X的方程/(x)=X有纯虚数根，设纯虚数根为X=加(m∈R,m≠0)9

则/(FU)=mi,即-atrΓ+c+bmi=mi,

c=cm2,b=11αW0,f(x)=cu?+x+α∕/,

方程/(x)=X化为/+"2=0,方程有两个纯虚数根为士加，

方程fCf(K))=X化为a2x4+2ax^+2(Λ??2+!)x1-^2am2x+a2m4+2m2=0,

整理得(〃27+24.1+岛〃2+2)(/+帆2)=0,

.β.X2+〃/=0,或a2x1+2ax+a2m2+2=0,

・•・方程f(∕G))=JV有两个纯虚数根土加，

而方程〃27+2以+〃2m2+2=0中，

Δ=402-402(α2∕n2+2)=-4o2(a2zw2+l)<0,

~2~2

√?一+L,不是纯虚

aa

数根，

正确，BCD均错误.

故选：A.

3q1λ

24.【解答】解：由题设条件可得"=3/7-1,⅛2=3<7-l,：,bn=(3P-I)X(-)'

3D^1

1

对于①，取p=l,q=3,则6"=2X4"-ι,

,,1n1n11n2n1+1)

当〃22时，2×4-=2×(3+1)-=2×(C0_i,3_+Cɪ-3-÷∙+C∑f-3

=2×(0.O∏-11,□n-3.n-2)1｝-1,

rLn-Ið+Γun-lð++rLn-I+

：.bn(n≥2)均为｛斯｝中的项,而历=%也为｛斯｝中的项,故①正确；

对于②，若存在p,4,使得数列｛为｝仅有有限项(至少1项)不在数列｛即｝中，

则从某项b&(例〉4)开始，所有的项均在｛斯｝中，且加，历在｛”“｝中，

lco

而⅛l=(3P-I)×(,⅜~1.)bl(⅛≥⅛),

3p-l

.,.(3P-I)×(囱工)b∣=3μ-1,μ>q,

3D-1

若囱∑L不是正整数，设囱∑L=㈣，且w,Z互质，且z22,Z为3p-l的约数，

3p-l3p-lZ

.∙.(3P-I)XMAI=(3μ-1)故11为(3P-I)Xv/”的约数，

♦.”，z互质，.∙"l为3p-l的约数，.∙.A只能是有限个整数，

这与“从某项b,(⅛>4)开始，所有的项均在｛即｝中”矛盾，故囱1L必为正整数，

ko3p-l

设=c,则3q-1—c(3p-1),

3p-l

而％-l,(3P-I)除以3的余数均为2,故C除以3的余数为1,即c=3∕+l,/为正整

数，

ni

当时，bn=(3P-I)X(3Z+1)'

n1n-2

=(3p7)×[C°H(31)^+C1^1(31)÷∙÷C^(31)+11

n1n2+31

=(3P-I)×[cj,1(31)^+C^1(31)^+∙C^(31)]+P-

n-21

=3/(3P-I)×[c°-1(31)+C^ι(31)^∙+C^W-

n

=3｛∕(3P-I)×[cθ,1(31)x2+c3(3D^斗+C兽]+P｝-1，

，与为｛斯｝中项，故｛与｝的某一项的值为2023,

则(3P-I)X(囱工)"1=2023,即(3⅛-l),,l=2023×(3/7-1)n^2,

3p-l

若"=1,则2023=3p-1,.∙.2024=3p,但2024不是3的倍数，矛盾，舍，

若n=2,则2023=3q-1,故2024=3g,但2024不是3的倍数，矛盾，舍，

若心3,当“为偶数时，(3p-1)"-I=C3(3q严1-Qi⑶严2+∙+c署X3q-1

n1n2j

=C°-ι(3q)^-C^1(3q)-+∙∙∙+C^f×3q-3+2

：.(3⅛-1)〃“除以3的余数为2,同理，(3^-1)”一2除以3的余数为1,

而2023=2022+1=3X674+1,故2023除以3的余数也为1,

,,1

故2023(3P-I)”一2除以3的余数为1,故(3(7-I)-=2023×(3P-I)不成立，

同理，当〃为奇数时，(3q-1)"7除以3的余数为1,同理(3P-I)”一2除以3的余数

为2,

而2023=2022+1=3X674+1,故2023除以3的余数也为2,

故2023X(3p-1)”一2除以3的余数为2,

,,

故(3.7-1)''=2023×(3P-I)”匕不成立，故③错误；

对于④，若存在p，q,使得数列伯”｝的前若干项的和为2023.

此时与=(3P-I)X(3q~1)n^x,若3q-ι不是正整数,

3p-l3p-l

设囱ZL=旦，且S,f互质且f为3p-1的约数，

3p-lt

：•3p-∖=mt,且2023=mt×[1+ɪ+(旦)2+•••+(且)n']]=m×

ttt

.n-1,.n-2.....n-2,n-1

t+st+.∙∙∙+ts+s

,

.∙.2023∕,'2=∕M×(∕,W-2+∙+tsn'W1),

∙.∙s,t互质,故尸2与产l+”「2+.+d-2+s”7互质，

.∙.〃2为,〃的约数，故m=k'/一2,.∙.2023=/×(t"'+s∕,'2+*+tsn'2+sn

而f22,s23,n^3,.'.f''i+sf,'2+∙+tsn'2+sn-1^22+2×3+32=19,

：.k'=7,或N=17,

若k'=7,则U=产∙+s产-2+.+T-2+尸1,

结合s》3,/N2可得：

172=tn'i+stn'2+sn722"7+3X2"2+•+2X3"-2+3"-1=3"-2",

设/(〃)=3"-2",则f("+D-f(n)=2×3πl