2022-2023学年陕西省西安市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年西安市高一（下）

期中数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中,

1.复数z=—!—（i为虚数单位），则Z在复平面内对应的点所在象限为（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知α,b为两条不重合的直线，a,一为两个不重合的平面，其中正确的命题为（）

A.a//a,buana〃bB.a√a,b//a=>a//b

C.a<Za,bua,a//ha//aD.6uα,a//β//β

3.已知向量5=（x,l）,⅛=（2,-1）,若+L（I—2B）,则实数X=（）

12

A.2B.——C.-2或4D.4

2

4.如图，正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A.2+3√2B.8C.6D.2+2√3

5.复数Z满足IZI=I,则∣zTT∣的最大值为（）

A.√2-1B.1

.已知中，（强+前）％=ABAC百，则此三角形为（）

64/8C∙0,R+R

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

7.在《九章算术•商功》中将上、下底面均为正方形的正棱台称为方亭，在方亭Z8CQ-44G4中，

28

方亭的体积为《，则侧面的面积为（）

AB=2A↑B}=4,

A.3√2B.√7C.2近D.3√ΓT

8.如图：正方体ZBCZ）-GA的棱长为2,E为。2的中点，过点。作正方体截面使其与平面4EG平

行，则该截面的面积为（）

A.2√3B.2√6C.4√6D,4√3

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得O分.）

9.下列说法中正确的是（）

一一r13、

A.向量C]=（2,-3）,e1=不能作为平面内所有向量的一组基底

124J

B.非零向量4,b,满足,卜W且α与B同向，则a＞坂

C.对于任意向量α,b.必有k+3«卜|+忖

D.对于任意向量G与B,不等式恒成立

10.下列命题中的真命题是（）

A.设Z],z2是复数,若IZI-Z2∣=0,则Z]=Z2

B.设Z1,Z2是复数，若Z]=Z2,则Zl=Z2

C.若Z为复数，则T=Z?

D.已知"?，〃为实数，l—i（i为虚数单位）是关于X的方程χ2-mχ+,=0的一个根，则加+〃=4

IL在棱长为2的正方体/8C。—/RCQl中，AC与BD交于点O,贝IJ（）

A.AD1//平面BOC1

2

B.三棱锥C—8。G的体积为一

'3

c.三角形CoB是锐角三角形

D.三棱锥C1-ABC的四个面都是直角三角形

12.下列命题中正确的是（）

A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

B.圆柱形容器底半径为5cm,两直径为5cm的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水

面下降的高度为^cm

3

c.已知圆锥的母线长为io,侧面展开图的圆心角为也，则该圆锥的体积为必叵乃

53

D.已知三棱锥Z-SCD的所有棱长均为2,若球。经过三棱锥/-8Co各棱的中点，则到。的表面积为4万

三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）

13.已知平面向量G,B满足同=2,同=1,且HG则£与否的夹角为.

14.在锐角C中，角48所对的边长分别为a、b,若2。SinB=阮，则角/等于.

15.设i为虚数单位，则l+i+i2+i3+∙∙∙+4°=.

16.正四棱锥S-ZBCD的底面边长和各侧棱长都为J5,点S、A.B、C、。都在同一个球面上，则该球的体

积为.

17.如图所示，正方体［8CZ）-4AG2的棱长为2,E、尸分别为44,48的中点，点尸是正方体表面上的

动点，若GP〃平面CDEE,则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为.

18.在4/8C中，已知角4B,C所对的边分别为a,h,c,若9〃+6bccos∕=11c?,则角8的最大值为

四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19.（10分）（1）关于X的方程2/一（2i—l）x+α-i=0（i是虚数单位）有实根，求实数”的值.

（2）复数2=（m2_加_6）+（2/_5._31，若Z为纯虚数（i是虚数单位），求实数m的值.

20.（10分）如图：在正方体NBC。一4台CQl中，M为的中点.

(1)求证：BDl//平面AMC；

(2)在线段CG上是否存在一点M使得平面ZMC〃平面BNR,说明理由.

21.(10分)如图，正三棱锥％-Z8C是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知

AB=BC=AC=2,MA=VB=VC=血，点、M,N分别为朋aBC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿

三棱锥P-Z8C表面爬行到点N,求：

(1)该三棱锥忆-/BC的体积;

(2)蚂蚊爬行的最短路线长.

22.(10分)如图，一块三角形铁片Z8C,AZBC的内角/,B,C的对边分别为α,b,c

sin25+sin2c=sin?N-6sin5sinC.

(1)求N3/C大小.

(2)若ZB=4,^C=4√3,现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点£>,且/0=1,/胡。=工.如果

6

过点。作一条直线分别交/8,/C于点E,F,并沿直线EF裁掉A4E产，求剩下的四边形EFCB面积的最

大值.

参考答案

11.

1.因为复数Z----------1

1+i(l+i)(l-i)222

则Z在复平面内对应点所在象限为第四象限，故选：D.

2.0,6为两条不重合的直线，α,£为两个不重合的平面，

对于A,a//abuαnQ与b平行或异面，故A错误；

对于B,alla、6〃an。与人相交、平行或异面，故B错误；

对于C,由线面平行的判定定理得：Qaa,bua,a〃bna〃a,故C正确;

对于D,bua,a//B=b//§或buB、故D错误.故选：C.

3.:向量万二(X,1),b=(2,-1),(5+B)J_(2—23)，

Λ(a+b∖(a-2b^=a2-a-b-2b2=(x2+l)-(2x-l)-2×5=0,

则x=4或-2,故选：C.

4.B.

5.设z=a+bi,a,b∈R,

∙.[z∣=1，

22

Λa+b=lf表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆,

∣z-l-i∣表示单位圆上的点与(1,1)距离之和的最大值，即原点与(1』)距离加半径，

则∣z-1一i∣的最大值为√(1-O)2+(I-O)2+1=√Σ+1.故选：D.

6.设M为ZC中点，贝M或+沅)•就=2两.就=0,

所以两j.就，即aZ8C为等腰三角形，

ABAC

R+R=vɜ，

ABAC

H+R

2、2

ABAC

所以“B-2+2C°S（疵硝=3,

IMJ〔园J园园

所以cos（而,就）=；,可得Z=60。，

综上可知三角形为等边三角形.

故选：B.

28

7.设方亭的高为人因为4?=244=4,方亭的体积为一，

3

所以忆=g（22+42+g7激7）x4=g,解得/7=1,如图,

过4作4EL/8，垂足为£，连接∕c,4G，过4作4尸∙L∕c,垂足为R

易知四边形ACCxAx为等腰梯形，且ZC=4√Σ,A1C1=2√2,AF=42,AE=\,

22

AAt=y∣AiF+A=√3,

2

因为侧面ABBlAl为等腰梯形，所以4E=y∣AA[-AE=√3≡T=√2,

所以侧面的面积为3（力8+44>4石=3底.故选：A.

8.B.

一,、一（13、---—

9.对于A,因为向量q=（2,—3）,C2=一一，所以e∣=4e?,e∣、e2共线，不能作为一组基底，选项A

、24y

正确；

对于B,因为向量是既有大小又有方向的，不能比较大小，所以选项B错误；

对于C,根据向量加法的几何意义知，对于任意向量Z,必有归+.4同+忖，选项C正确；

对于C,根据平面向量的数量积Z∙B=BMcosO,且CoSe≤1,所以对于任意向量Z,b,必有晨唱而

选项D正确.

故选：ACD.

10.对于A,B-Z2∣=0,则Z]=Z2,故A正确；

对于B,zx=Z2,

Zl与Z2互为共枕复数，即I=Z2,故B正确；

对于C,不妨设z=l+i,

则z=1-i,

Z2=2i,?=-2i,故C错误；

对于O,1-i（i为虚数单位）是关于X的方程Y-MX+〃=O的一个根，

则1+i也是关于X的方程Y-〃吠+〃=0的一个根，

1+i+1—i=加

解得m=n=2,

(l-i)(l+i)=π

故加+“=4,故D正确.故选：ABD.

11.ABD.

12.BC.

13.设。，6夹角为a,则由平面向量数量积的定义可得CoSa=告喜

H-W

因为同=2,W=l,α∙6=√3,

√3

所以CoSa=

T

因为0≤a<π,

所以α=工

6

14.利用正弦定理化简已知等式得：2sinZsin8=Gsin8,

Vsinβ≠0,

∙∙∙si"=g

2

`:A为锐角，

.∙.4=60°.

15.l+i+i2+i3+∙∙∙+i'°

=l+(i-l-i+l)+(i-l-i+l)+i-l=l+i-l

=i,

16.正四棱锥S-ZBCO的底面边长和各侧棱长都为√2,

点S、A.B、C、。都在同一个球面上，

4yr

则该球的球心恰好是底面ZBCO的中心，球的半径是1,体积为——.

3

17.如图所示，分别取44，6片的中点Λ/,N,连接G/，CiN,MN,MF,EN.

Y点下为线段的中点，.∙.四边形CpNC是平行四边形，

：.C、M〃CF,而GΛ∕a平面CnEE,CFU平面CDIEF,

.∙.C∣Λ∕〃平面CAE

同理可得CN〃平面CnEP,而C∣Λ∕Γ∣C∣N=G,

,

..平面C1NM//平面CDiEF,

.∙.点尸在正方体表面上运动所形成的轨迹为,

其长度=MyV+C∣N+GΛ∕=Jχ2√Σ+2x√?TF=0+26，

故答案为：＞∕2+2∖[s.

18.由余弦定理COSA=6—一,代入9〃+6bccos4=11/,得9〃+3(〃+/—/)=ιk2,

2bcv)

整理得)⅛2=^(3α2+8c2),

31

—a2+-C2

则CosB=三三43

2ac2ac

当仅当9/=4（?时取“=”

由因为3∈（0,%）,所以B≤g,

π

所以角8的最大值为上.

3

TT

故答案为：一

3

19.(1)2x2-(2i-l)x+a-i=0,

则2/+χ+α+(-2x-l)i=O,

Y关于X的方程2χ2一⑵—I）》+。一i=0G是虚数单位）有实根,

2χ1+X+<7=O,,

，解τz得0α=0.

-2x-l=0

(2)2=加2一加一6）+（2加2_5加一3）i,Z为纯虚数,

m"-w-6=O“口C

则,解得m=-2,

2加~-5m-3≠0

故实数机的值为一2.

20.证明：（1）连结8。交ZC于。，连结M。,

∙.∙/8Cr>-4与£2为正方体，底面CQ为正方形，

：.O为BD的中点,

∙.∙"为的中点，在ADBDjHOM是4D82的中位线,

所以OM〃B',

又OΛ∕u平面NAlC,^。2平面力”。，

：.BDl//平面AMC；

解：（2）CG上的中点N即满足平面ZMC〃平面BNDI，

:N为Ca的中点，M为Z）A的中点，.∙.CN"Mp,且CN=MDI,

：.四边形CNDiM为平行四边形，.∙.DiN//MC,

,/MCU平面AMC,D1N（2平面AMC,

Z）IN〃平面AMC；

由（1）知BD∖∕/平面AMC,

又•：BDlCDIN=DI,

平面AMC//平面BND∖.

21.（1）VAB=BC^ACVA=VB=VC=6,

：.VA2+VB2AB2,VB2+VC2=BC2,VA1+VC2AC2,

：.VAVVB,VBVVC,VAVVC,

∙.∙ΓzsnJZC=P，•••"∙L平面P8C，

.∙.三棱锥的体积为Vv_ABC=小c=Sk以=3Jχ0χ√∑χ√Σ=卓

（2）情况一，如图，连接MN,线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

△MCN中，MC=-,CN=I,ZMCN=-,

24

由余弦定理得=MC2+cM-2MN∙CN∙cos工，

4

即MN?=2=l-2x辿XlX也，解得9=叵；

2222

情况二，如图，连接Λ∕N,