新教材人教A版高中数学必修第二册解三角形中周长最大值及取值范围问题 同步讲义

14、解三角形中周长最大值及取值范围问题

【考点分析】

考点一：解三角形中角的最值及范围问题

0<A<π

①利用锐角三角形，0<3<乃，求出角的范围

0<C<7Γ

»222ɔ12

②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：COSA=+'-"≥-

2bc2bc

考点一：解三角形中周长的最值及范围问题

①利用基本不等式：COSA=----------=——L-----------,再利用力+cN2痴及

2bc2bc

b+c>a,求出b+c的取值范围

②利用三角函数思想：6+c=2RsinB+2RsinC=2RsinB+2Rsin（A+B）,结合辅助角

公式及三角函数求最值

【题型目录】

题型一：三角形角的最值及范围问题

题型二：三角形边周长的最值问题

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【典型例题】

题型一：三角形角的最值问题

【例1】在4?C中，内角4,B,C的对边分别为4,b,c,且Sin8+sinC=2sinA,则A

的最大值为（）

【答案】D

【分析】利用正弦定理可转化sin3+sinC=2sinA为匕+。=为，结合均值不等式以及余弦定

,222

理CoSA=-可得解

2hc

【详解】因为Sinb+sinC=2sinA,由正弦定理

所以方+C=2Λ.

因为从+/N=bc≤(gf)=a2,

b2+c2-a2

所以COSA=>^—>-

2bc"2bc~2

当且仅当6=c时，等号成立，所以A的最大值为.

【例2】在.ABC中，角4,B,C的对边分别为mb,c,若24cos8+c=0,则tan。的最大

值是（）

A.ɪB.立C.还D.√3

32

【答案】B

【分析】根据已知及余弦定理可得/+2°2="，再由CoSC="2-i及基本不等式求C

Iab

的范围，进而求tanC的最大值.

【详解】由余弦定理，2。COS8+c="+’———+c=0»BPa2÷2c2=bλ»

c

而CoSC==应±欧2独叱=立，当且仅当6=后时等号成立，

2ab4ah4ab2

TTTT

又0<C<乃，则O<C≤∙y,故C=—,

6max6

所以tanC的最大值是包.

3

【例3】锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,J若A—α=2aCOSC,则()

A.C=2AB.A的取值范围是(g,f)

64

C.A=2CD.空的取值范围是(2√Σ,2√5)

a

【答案】ABD

【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出C=2A,再由锐角三角形的定义得出∕<A<J,

64

十,2c2sinC2sin2A4sinAcosA.、〃力nnr

再由一=--=——=————=4cosA求解I即可.

asinAsinAsmA

【详解】由正弦定理可知，SinB-SinA=2sinAcosC,sin(A+C)-sinA=2sinAcosC,

sinAcosC+cosAsinC-sinA=2sinAcosC,即SinA=sin(C-A),所以A=C-A,C=2Af

0<2A<-

2

πJIrn

因为AABC是锐角三角形，所以O<A<W,解得,

264

0<π-3A<-

12

勺鬻,2拘

【例4】已知在锐角ABC中，tanA=---------

l÷cosB

(1)证明：B=2A；

tanB-tanA

⑵求的取值范围.

1÷tanΛ∙tanB

【答案】(1)证明见解析

⑵f√3ɔ

【分析】(I)化简题干条件得到SinA=Sin(B-A),从而根据/BC是锐角三角形，得到

A=B-A.得至UB=2A;

ππ

(2)先根据锐角三角形得到Ae,再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到

6,4

tanB-ta∏A

-----------------=ta∏A∈

1+ta∏A∙tanB

(1)

、leJ4SinASinB.

证明：IlltanA=------=-----------知:

CoSA1+COSJB

si∏Λ(l+cosβ)=SirtBcosA,

即sinA÷SinAcosB=SinBcosA，

所以SinA=si∏BcosA-SinAcosB=Sin(B-A),

因为ABC是锐角三角形，

所以Ae(O,B-Ae(-；,∙∣),

y=Sinx在(一卦)上单调递增，

所以A=B-A.即5=2A.

(2)

由锐角ASC知：AWO,5,8=2Ae(0,5),C=π-Λ-β=π-3Λ∈θɪ

解得：Ae

故：:露黑"an岭小收例.

【题型专练】

1.在锐角三角形ABe中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,若b+⅛cosA=αcos8,则()

7171

A.A―2BB.一<B<一

64

C.^e(l,√2)D.cr=b^+bc

【答案】ABD

【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A,结合内角和定理和条件及余弦函数的

性质判断B,C,由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.

【详解】因为b+ftcosA=αcos/,由正弦定理可得

sinB+sinBcosA=sinAcosB,

所以sin8=sin(A-8),

又，ABC为锐角三角形，所以Ae(O/],Be(O

所以-1<A-B<],正弦函数y=sinx在上单调递增，

所以A-B=8,所以A=23,A正确；

因为ABC为锐角三角形，所以Ae(OBe^0,yl^<A+B<π,

TTTTTF

所以0<28<-,0<β<-,一<28+8<乃，

222

所以f<jβ<f,B正确；

64

因为A=28,所以SinA=Sin28=2SinBCoS8,

所以Q=2〃COS3,

所以f=2cosB,因为土<B<三,

b64

所以.(√Σ,6),C错误；

因为人+ZτcosΛ=αcosB,由余弦定理可得

,.b2+c2-a2a2+C2-b2

b+b---------------=a---------------,

2bc2ac

^τlU2c⅛+⅛2+c2-4Z2=a2+c2-Z?2，

所以/=∕+bc,D正确，

2S

2.在锐角ABe中，角A,8,C的对边分别为mb,c,ABC的面积为S,若sin(4+C)=--

b-i

【答案】C

【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出A3关系后求解

【详解】在ABC中，sin(4+C)=sinB,S=Jqcsin8,

2

故题干条件可化为尸一〃=ac，由余弦定理得从=a2+c2-IaccosB，

故C=〃COS8+〃，又由正弦定理化简得：

sinC=2sinACOSB+sinA=SinΛ∞sB+cosΛsinB,

整理得sin(8-4)=sinA,故B-A=A或B-A=Tr-A(舍去)，得3=2A

0<2A<],解得9<A<f,故且<tan4<l

ΛBC为锐角三角形，故,

2643

0<π-3A<-

2

]

tanA+

3tan(B-A)

题型二：三角形边周长的最值问题

【例1】已知.45C的内角A,8,c的对应边分别为α,b,c,c=6,8=60。，则。的最小值为()

A.3B.2√3C.3万D.6

【答案】C

【分析】根据正弦定理得6=黑.再结合Ce(O,120)求解即可.

【详解】解:由正弦定理ɪ=-⅛得b=20=巫.

sinBsinCsinCsinC

因为8=60。，所以Ce(O,120),

所以当SinC=I时，b=%±=土亘有最小值3人.

sinCsinC

【例2】设一ABC边”,b,c∙所对的角分别为4,B,C,若一ABC的面积为3c?,则以下结

12

论中正确的是()

A.2+/取不到最小值2

ab

B.2+1的最大值为4

ah

兀

C.角C的最大值为g2

D.2+^■一的最小值为-2Λ∕[J

abab

【答案】BCD

【分析】根据三角形得面积公式及余弦定理化简可得∙4sin[c+聿]=£+，，再结合基本不等

式即可判断AB；从而可求出Sin(C+仁)得范围，即可判断C；利用正弦定理化边为角，再结

合三角恒等变换即可判断D.

222

【详解】解：Saiic=ɪ47⅛sinC=C.6tt⅛sinC=√3(«+b-2Λ⅛COSC),

6sinC=>/3^+--2cosC^j,/.6sinC+2退CoSC=+,

4瓜in∣C+在可河)，.∙.4sin(c+J然，

因为蓝+322唐=2,当且仅当$=即α=~时，取等号，

此时C=?2π可取到，故A错；

当C+2=E时，4sinfc+y1=4,.∙.(∕+2]=4,故B对；

62I6√max<baJ

∙.∙4sin[c+j]≥2,.∙.J<C+m≤兰，.∙.0<C≤=,即角C的最大值为空，故C对；

<6J66633

。+@_^_=2^sinC+2cosC-66sinC=2cosC-4∖∣3sinC

abab

=2>∕13COS(C+⅞9),其中tan°=2Λ∕J>6,故可令,

由O<cwg,得C+夕且C+s=π有解，

所以［2√I5COS(C+°)Ln=-2Λ∕I3∖

即2+q一£的最小值为一2jB,故D对.

abab

【例3】已知ABC的内角A、B、C所对的边长分别为。、人、J且

df(2sinA-sinB)=2(c-⅛)(sinB÷sinC),若Az)=2£>5，求：

⑴求CoS(A+B)的值；

(2)求人+加的最大值.

【答案】(D-g,(2)M5

45

【分析】(1)利用正弦定理结合余弦定理求出COSC的值，再利用诱导公式可求得COS(A+5)

的值；

(2)解法一：根据CoSNADC+cos∕BDC=O结合余弦定理可得出4/+^+必=9,利用基本

不等式可求得2α+b的最大值；

解法二：由向量的线性运算可得出3CO=C4+2CB,利用平面向量数量积的运算可得出

4/+〃+必=9,利用基本不等式可求得2a+b的最大值.

【详解】(1)解：由己知和正弦定理得α(2α-3=2(c-3(c+6)n∕+"-c2=Jα∕>,

由余弦定理可得CoSC="a=1,

2ab4

所以cos(A÷B)=cos(π-C)=-cosC二一；.

(2)解：法一：ZADC+NBDC=π,则COSN8。C=COS(兀-ZAi)C)=-COSZAf>C,

由cosZADC+cosZBDC=0得

BP3+∣c2-⅛2-2α2=0=>c2=∣(2a2+⅛2-3),

11

乂iABC中COSC=L="+"—'=a+b--,

4Iab2

从而∙∣(2∕+"-3)=/+从-曰=4,/+从+岫=9,

即修+2o)2=9+3"=9+∣(2.∙b)≤9+∣(野，

所以(H2α)2≤g=2"+匕≤乎(当且仅当6=24时取等号),

故b+24的最大值为小叵.

5

法二：由AD=2/)8nCO-CA=2(CB-CD)=>3CD=CA+2CB

所以，9CD2=CA'+4CB2+4CB-CA=h2+4a2+4abcosAACB，

即9=Z?2+4/+ab，

2

即(⅛+2w)=9+3α⅛=9+∣(2<∕∙6)≤9+∣(^^

所以弓=>2a+b<~~~

(6+2α)-≤(当且仅当b=2α时取等号),

故2的最大值为粤

【例4】的内角A,B9C所对的边分别为〃，b,c,己知cos2A+cos28+2sinAsinB=

l+cos2C.

⑴求角c；

(2)设。为边AB的中点，AABC的面积为3股，求Cn的最小值.

JT

【答案】⑴§：(2)3.

【分析】(1)利用三角恒等变换以及正余弦定理，化简即可；

(2)根据三角形面积公式，结合中线的向量表达形式，以及不等式，即可求得结果.

【详解】(I)CoS2A+cos2B+2sinAsin8=l+cos2C,即

1-2sin2A+l-2sin^8+2SinASinB=2-2sin^C，

由正弦定理可得a2+b2-c2=ab,结合余弦定理可得cosC="",一C=

2ab2

又Ce((U),故可得C=?.

(2)由三角形面积可得S=LSinC∙0⅛=Lχ-ɪXa6=3有，解得α⅛=12;

222

又CD=；(CA+CB),故ICD∣=g^CA∣2+∣CB∣2+2CΛ∙CB+⅛2+20⅛×cosy

即∖CD∖=^a2+h2+ah≥;X屈=3,当且仅当α=6=2√J时取得等号.

【例5】一ABC三角形的内角A,B,C的对边分别为4,0,c,(2w-b)SinA+(2⅛-α)sinB=2csinC

(1)求/C；

⑵已知c=6,求ABC周长的最大值.

■JT

【答案】(I)NC=(2)18

【分析】(I)利用正弦定理将角化为边，整理等式，根据余弦定理，可得答案；

(2)利用换元，整理周长的函数表示，根据基本不等式，求得变量的范围，可得答案.

【详解】(1)由(2a—切SinA+(2b-α)sin8=2csinC,根据正弦定理,可得

(.2a-b)a+Qb-Gb=2c∙c,整理可得/+"_02=而，

由余弦定理，COSC=、+∙-Ja=J.,由Ce(0,乃)，则C=1.

2ablab2v'3

(2)由(1)可知，cr+b2-36=ab»(6f+Z?)2=3ab+36,

lha2+b2≥2ab^当且仅当a=匕时，等号成立，则出?+36≥2^b,即H≤36,

故JRC周长G+h+c=√5赤而+6≤后％=+6=18.当α=b=6时等号成立

【题型专练】

ch

1.在二ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,C,满足SinA=2sinBsinC,则:+—

bc

的最大值为，此时内角A的值为

π

【答案】2应

4

【分析】由正弦定理可得/=28CSinA,结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可

得所求角.

【详解】解：由SinA=2sinBsinC,根据正弦定理号=3=三，可得/=2⅛sinA,

sinAsinBsinC

再由余弦定理得COSA=万+£］一，则〃+¢2=2⅛c(cosA+sinA),

所以M=⅛1=训8f1M)=2(SinA+CXI应SinlA+幻，

又Ae(0,π),当A=：时，sin(A+5)取得最大值1,则取得最大值2√Σ∙

TrZTT

2.在平面四边形ABCD中，AB=AD=2Q,ZBAD=-,NBCD=-.

33

(1)若NABC=一，求8C的长;

(2)求四边形ABC。周长的最大值.

【答案】(I)BC=迎质⑵4。+竺也.

33

【分析】(1)分析可知AASZ)为等边三角形，求出8。的长，以及NBDC,利用正弦定理可

求得BC的长；

(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得3C+CO的最大值，进而可求得四边形ABa)周长

的最大值.

【详解】(1)解：连接8。，

A

7τ

因为A8=AD=20,ZBAD=-,故AABD为等边三角形，.∙.3。=20,

STTTi冗Tr

.∙.ZCBD=ZABC-/ABD=-----=—,则ZBDC=π-ZBCD-NCBD=-,

124

产sin：20指

BDBC

由正弦定理得,所以,=.2π=3.

SinNBCQsinZBDCsin—

3

2元

(2)解：由余弦定理可得400=BO?=BC?+Cb-28C∙COCOS-=BC?+C0+BC∙CZ)

3

=(BC+8)2-BC∙CW(BC+8)2-隼型=串包，

所以，BC+CD4述,当旦仅当BC=CC=①叵时，等号成立.

33

因此，四边形ABC。周长的最大值为40+竺叵.

3

3.在条件：①MsinA-A=O,②"=舟SinA-αcosB,③24=2ΛcosC+c中任选一个，

补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目.

已知a,b,C分别为锐角ABC的三个内角A,B,C的对边，⅛=2√3,而且__________;

(1)求角B的大小；

(2)求ABC周长的最大值.

【答案】(1)。：(2)6√3

【分析】(1)利用正弦定理进行边角互换，再利用三角函数的公式进行整理，最后根据ABC

为锐角三角形得到B：

(2)利用余弦定理得到。，C的关系式，再利用基本不等式求最值即可.

(1)

选①：2bsinA-JJα=0=>2sinBsinA-^sinA=O,因为A为锐角，所以SinAK0,上式可

以整理为SinB=也，又8为锐角，所以B=1.

23

选②：a=∖∣3bsinA-cosB=^>sinA=GSinBSinA-SinACOSB,因为A为锐角，所以SinAWO,

上式可以整理为I=AnB-COSB=2sin(8-。又8为锐角，所以解得B=。.

选③：2a=2⅛cosC÷c=>2sinA=2sinBCOSC+sinC=>2sin(B+C)=2sinBcosC+sinC

1jr

=2CoSBSinC=SinC,因为C为锐角，所以SinCWO,cosB=—,又B为锐角，所以B=一.

23

(2)

由(1)得CoSB=；="+：—>整理得：a2+c2-12=ac>即(q+cj_12=3ac≤；<)>

解得α+c≤4√L当且仅当α=c=2√J时，“=”成立，此时，ΛBC为等边三角形，满足题意，

由于ABC的周长为4+8+c,所以周长的最大值为6√L

4.[AjBC中，sin2A-sin2B-Sin2C=SinBsinC.

(1)求A；

(2)若8C=3,求'AHC周长的最大值.

Q7r

【答案】⑴y;(2)3+26.

【分析】【详解】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2AC-AB

AC2+AB2-BC2ɪ

.,.cosA=

2ACAB2

A∈(0,"),A=—.

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB1-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB

即(AC+AB)?-ACA8=9.

+

ACAB(当且仅当AC=AB时取等号)，

ACAB<I[2)∖

：.9=(ΛC+AB)2-ACAB≥(AC+AB)2ABj=](AC+AB?,

解得：AC+AB≤(当且仅当AC=AB时取等号)，

.∙^ABC周长L=AC+AB+BC≤3+26，.;ABC周长的最大值为3+2看.

5.已知α,b,C分别为Z∖ABC三个内角A,B,C的对边，α(cosC+>∕3sinC)=⅛+c.

(1)求角A；

(2)若α=5,求Z∖ABC的周长的最大值.

解析：(1)由题意知0(cosC+J5sinC)=Z?+CnSinA(COSC+J5sinC)=sin3+sinC,所以

sin4(cosC+Gsinc)=sin(A+C)+sinC,即

sinAcosC+GSinAsinC=sinAcosC÷cosAsinC+sinC

即GSinAsinC=∞sAsinC+sinC，因sinC≠O,所以GSinA-COSA=1,即2sin^A--=1

又.0<A<肛所以A—/=工，所以A=%

6<66J663

(2)由余弦定理得：/^b2+c1-2b∙ccosA=b-+c2-he=25，即伍+c1-3b∙c=25.

(b+c>∖

bc≤(当且仅当8=C时取等号)，

I2J

.∙.25=(Z>+c)2-3l>-c≥(i>+c)2一31"c=-(i>+c)2>

\274

解得：b+c≤∖O(当且仅当b=c时取等号)，.NABC周长L=α+8+c≤5+10=15,

.∙.二ABC周长的最大值为15.

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【例1】在锐角：ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,6,c∙若c=l,β=p贝IJa的取值

范围为;SinASinC的最大值为.

【答案】(吴］j##0.75

【分析】利用正弦定理可得α=等£,结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到

SinC

0=」+立一?一，由C的范围可求得tanC的范围，进而得到。的范围；利用两角和差正弦

22tanC

公式、二倍角和辅助角公式可化简得至USinASinC=<sinhc-j1+J,根据正弦型函数最值

21o√4

的求法可求得结果.

【详解】由正弦定理得：

/ɜI

a=CSinA=sin(∕-(8+C))=Sin(B+C)=CoSC+^sinC=L叵∞sC；

sinCsinCsinCsinC22sinC

0<A=--C<-

QSg拉C为锐角三角形，∙∙∙；2-.∙∙∣<C<^

.∙.∞sC≠O,.∙.=-+--——

a22tanC

®熹<5弓32,即α的取值范围为C，2）；

COSC+'sinCsinC=-sinCcosC+ɪsin2C

sinAsinC=sin(B+C)sinC=

2722

=且sin2C+三竺/=3sin2C—』cos2C+L』sin(20一二］+4；

444442<6j4

兀「π.∙.5<sin(2C—w)≤1,

-<C<-

62f

.∙.当Sin（2C-^I=I时，SinASinC取得最大值:.

【例2】设,ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c∙已知α=6,h=2,要使ΛBC为

钝角三角形，则C的大小可取（取整数值，答案不唯一）.

【答案】5（填7也对，答案不唯一）

【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c<8,再分别讨论。和C为钝角时，边C的

取值范围，根据题意即可得到答案.

【详解】首先由。，b,C构成三角形有4=α-AVCVa+8=8,

若C为钝角所对边，有C2>/+∕=40,c>√40,

若。为钝角所对边，有36=">从+c?=4+02,c<∖∣32,

由力V。，〃不可能为钝角所对边，

综上，C的取值范围是（4,J亚）∣（√40,8）,

由题意，C取整数值，故C的大小可取5或7.

故答案为：5（填7也对，答案不唯-）.

【例3】在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别是“，b,C且字=SSC

（1）求角8的大小;

（2）求乌的取值范围.

C

【答案】（1）8=。

⑵*

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；（2）结合（1）中条件，利用正弦定理的边角互化

以及三角恒等变换即可求解.

2sinA-sinC-

【详解】（1）由正弦定理可得,------------------=cosC,

2sinB

即2sinA=2sin3cosC+sinC.

因为SinA=Sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sinBcosC+2cosBsinC=2sinBcosC÷sinC,

即2cosBsinC=sinC.

因为CW（O,乃），所以SinCH0,则CoS8=；.

因为Be（0,万），所以B=亨.

（2）由（1）中可知，A+C=π-B=y,则A=与-C,

由正弦定理可知，JS弦Asi"--。∕cosC+gsinC如「，

csinCsinCsinC2tanC2

o<c<-,

因为一ABC为锐角三角形，所以ɔ,则J<C<f,

八42万462

0<A=------Cv-,

32

所以tanC>—,

3

从而!<@<2.

2c

故/的取值范围为2）.

【例4】平面四边形ABCD中，ZA=NB=NC=75,AB=2,则A。长度的取值范围_______.

【答案】（0，"+近）

【分析】平行移动CL当C与。重合于E点时，AO最长；当A与。重合时（即图中A尸位

置），AO最短.

如图所示，延长AO,BC交于∙E,

平行移动Cτ>,当C与。重合于E点时，4。最长，

ARAF

在=ABE中，NA=N8=75,NE=30,48=2,由正弦定理可得.丁=.

sinZEsinZB

2AE∕Σ./9

即------=------，sin75o=sin(45°+30")=sin45ocos300+cos45osin30"=—~~—

sin30osin75ovf4

解得AE=娓+应;

平行移动C。，到图中4厂位置，即当A与。重合时，AD最短，为0.

综上可得，Ao长度的取值范围为(。，指+逝)

【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米，现欲在

边界BC上选择一点P,修建观赏小径PM,PN,其中M,N分别在边界AB,4C上，小径

PM,PN与边界BC的夹角都是60。，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种

植月季花.

(1)探究：观赏小径PM,PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径当点P在何处时，三条小径(PM,

PN,MN)的长度之和最少？

【答案】(1)为定值，理由见解析

(2)P为BC中点，600(√3-l)

【分析】(1)在ZkBPM和aCTW中分别利用正弦定理即可求得P何与PN的长度之和；

(2)在°PMV中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；

【详解】(1)在ZXfiPM中，ZBMP=180o-60o-45o=75o,

PMPB

由正弦定理可得:

sinN8-SinNBMP

√2

即PM=-45^7j=-⊂⅛PB=(g)PB,

sin75√2+√6

-4-

同理可得PN=(G-I)PC，

所以PM+PN=(√3-l)(PC+PB)=(√3-1)BC=400(√3-1)为定值;

(2)解：在，PΛ√N中，由余弦定理可得:

MN2=PM2+PN2-IPM-PTVcos60°,

(PM+PN)2

即MN2=(PM+PN)2-3PM-PN≥(PM+PN)2-3×

4

所以MN2≥包3,MN≥^^L,

42

又由(1)有PΛ/+/W=400(√J-l),

故.MN≥200(√3-l),当且仅当PM=PN=200(√3-l)时等号成立.

故当尸点是MN的中点时，三条小径(PM,PN,MN)的长度之和最小，最小为600(6-1)

【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①(α+c)(sinA-SinC)+(h-4)sin8=0；

②26SinCCoSC=l+2cos2C；

(3)2sinB-sinA=2sinCcosA.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别是α,b,c,若.

⑴求角C；

(2)若c=4,求AABC周长的取值范围.

【答案】(DC=?,(2)(8,12].

【分析】(1)①利用正弦定理进行边角互换，得至Ua?+从—c?=."然后利用余弦定理求C即

可；

②利用二倍角公式和辅助角公式进行化简得到Sin(2C一£)=1，然后根据0<C<勿解方程即

可；

③根据内角和、诱导公式和和差公式得到sin8=sin(A+C)=sinACoSC+cosΛsinC,代入原

式得到cosC=g,即可得到C；

(2)利用余弦定理和基本不等式得到α+%≤8,再根据三角形三边关系得到α+b>c=4,即

可得到周长的范围.

【详解】(1)选①，ElI+c)(sinA-sinC)+(Z?-6Z)sinB=0：

(α+c)(α-c)+力(匕-Q)=O,

BPaλ+b2-c2-ab，

因为O<C<τr,

故角C=?;

选②，⅛2√3sinCcosC=l+2cos2CW：

2>∕3sinCcosC=2+cos2C，

-cos2C+√3sin2C=2sin2C-ɪj=2,

所以Sin2C——j=1,

因为0<C<Λ∙,

666

所以2C-J=g,

62

解得：C=y;

选③，因为2sinB-SinA=2sinCcosA,

又因为SinB=Sin[乃一(A+C)]=sin(4+C)=sinAcosC+sinCcosA,

所以2(sinCcosA+cosCsinA)-sinΛ=2sinCcosA,

.*.2cosCsinA—sinA=O，

VO<A<^∙,

SinAW0,

.「1

..cosC=~,

2

因为Cw(0∕),

所以c=q.

(2)根据(1)可知：C=p

又因为c=4,

由余弦定理得：c2=a2+h2-2abcosC=(^a+by-3ab=16,

所以3αb=(α+∕>)2-16≤3

即a+A≤8,当且仅当α=8=4时取得等号，

又因为根据三角形的三边关系有：a+h>c=4

所以8<α+c+bW12,

所以周长的取值范围为(8,12].

【例7】在ΛBC中α,),c为角A,B,C所对的边，且上丝

cosC2a-

⑴求角B的值；

(2)若匕=JL求2α-c的取值范围.

【答案】(1)5=1，(2)卜6,2石).

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得2cos5sin4=sin(B+C),由三角形内角和定理即

SinAwO,可得COSB=:，又8为三角形的内角，即可解得B的值.

(2)由6=有，B=∣,结合正弦定理得α=2sinA,c=2sinC,且C=与-A,将2α-c转化

为关于角A的正弦型函数，利用正弦型函数求取值范围即可.

【详解】(1)解：由正弦定理号=3=白，可得：誓二A.乎

SlnAsιnBSmCcosC2smA-SinC

可得28SJBSinA-COSJBSinC=SinBCOSC,即2cosBsinA=sin(B+C),

,A÷B÷C=π,.,.sin(B+C)=sin(π-A)=sinA

.,.2cosBsinΛ=sinA,又A∈(0,π),则SinAWO

.,.cosB=-,

2

B∈(O,π),,B=g.

a_b_cΛ∕3

(2)解：b=布,B=三，正弦定理得：sinAsinBsinC下

~2^

.∙.α=2sinA,c=2sinC,其中A+C=π-8=/,C=1-A,且Ae(O

2π

贝IJ2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sinAJ=3sinA-T3cosA=26Sin(A一看JT

Ae吟兀兀,贝IJSin(AJJ∈

A,

-r62^

∙∙∙2α-c的取值范围是卜32档).

【例8】在,ABC中，内角A8,C的对边分别为”,4c,且

tzsinA=c(sinC-2sinB)+fe(sinC+sinB).

⑴求角A；

⑵若，ABC为锐角三角形，求，色而)的取值范围.

2a

【答案】(I)A=彳;

【解析】

【分析】

(1)角换边，在利用余弦定理求解；

(2)边换角，将待求表达式表示成关于8的三角函数，利用锐角三角形条件求出8的范围,

最后再求表达式的范围即可.

(I)

因为αsinA=C(SinC-2sinB)+6(sinC+sinB),所以由正弦定理得/=C(C-2ZJ)+6(C+Z?),

整理得^+c2-∕=bc,由余弦定理得COS4="+£-'=!.因为0<4<乃，所以A=J.

2bc23

(2)

CbTVW4川俎6(b-c)gSinB-SinC..„.d.(2πA.(π∖

由止位;ΛL划!7S——------=----------------------=sinB-sinC=sinB-sɪn-------B=sιnB-----.

2a2SinA(3)\3J

0<β<-,

2

因为ABC为锐角三角形，所以C

C2.7CTT

0<------Bc-,

32

PTI，口TCCTC--.I7CC冗TC

解r得^7<8v∙ξ∙,所rr以一u<8一彳V"7，

62636

所以_3<5皿(8_5)<3，

故有仅-C)的取值范围为

2a\227

【题型专练】