新教材人教A版高中数学必修第二册解三角形与平面向量结合问题 同步讲义

12、解三角形与平画典量结合问题

【例1】在ΛBC中，已知3=30。，b=∖,则Q.蒜的最小值为（）

A.-1B.—C.—D.—

432

【答案】D

【分析】先求得三角形ABC外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得

UlUUUU

4B∙AC的最小值.

【详解】设三角形ABC外接圆半径为r,则&=—^=2=2r=r=l,

sinesin30

所以“3C的外接圆半径为1,A为钝角时，器.盗取到负值；

如图，E为A3的中点，AC在AB上的投影向量为Ar）;

由AB∙AC=∣AB∣∙∣AC∣∙CoSA可知当AC在A8I二的投影长最长时，

即8与圆。相切时，器品可取到最小值：

AB-AC=-∣Λβ∣∣ΛD∣=-2∣ΛE∣∙（l-∣ΛE∣）=2∣AE∣2-2∣ΛE∣,

当网=g时,2∖AE[-2∖AE∖=~,所以揩品的最小值为

【例2】在43C中，ZA8C=7,AC边的中点为。，且比＞=1,则84BC的最大值为（）

A.2B.3C.26D.4

【答案】D

【分析】由已知可求I丽+觉卜128。=2,两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不

等式可求BABC的最大值.

【详解】解：如图，在ASC中，AC边的中点为。

由80=1，可得：∣BA+8CH2B4=2

.∙22-

BA+BC+2BABC=4^

:.\BA∣2+∣BC∣2+2∣BA∣I^C∣cosZABC=4,Uj■得：河|2+比/=4+网.|叫，

IBA∣2+∣BC∣2≥2∣BA∣∙∣BC∣,

.∙.4+网•回怛2|砌出4，可得：网∙∣3C∣≤4,（当且仅当网=伊牛2时等号成立）

则BABC的最大值为4.

【例3】在AABC中，乙ACB为钝角，4C=BC=1,CO=xCA+yCB,且x+y=L若函数次m）

=IC4-机3（底口的最小值为亭，则ICoI的最小值为（）

A.1B.-C.ɪD.在

422

【答案】C

【分析】由题意可得ICol的最小值为AB边上的高，由函数向n）=∣C4-〃?CBl的最小值为正，

2

即点A到8C边的距离为立，可求出NACB=I20。，即可求出ICOl的最小值.

2

【详解】法一：由C。=XeA+.VCB，且x+y=l,可知4，。8三点共线，

所以ICOl的最小值为A8边上的高，又AC=8C=1,即。为A8的中点，

且函数XM=ICA—〃?CBl的最小值为走，即点A到BC边的距离为正.

22

又AC=I,所以NAC8=120。，在，ABC中，∣COLTAC卜in30°=g,

从而可得ICOI的最小值为g.

故选：C.

法二：由CO=XCA+yCB，Rx+y=1,可知A,O,8三点共线，

所以ICOl的最小值为A8边上的高.

设CAe8的夹角为6,所以

∣CΛ-∕∕zCβ∣=CA+m2CB-2mCA∙CB=∖+m2-2nιcosθ=（∕n-cos0）2+sin20

依题，可得SiYd=I,Sing=立,因为e是钝角,所以。=?.

423

在.ABC中，ICOl=∣AC∣sin30o=∣,

从而可得ICoI的最小值为g∙

【例4】在平面四边形ABCf）中，NBAr>=30。,NABC=75。，NA。C=IO5。，AB=2,AD=G

【答案】B

【分析】取AB中点为F,结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.

【详解】根据题意，连接E4,E8,取AB中点为尸，作图如下：

在三角形ADF中，由余弦定理可得：DF2=4-2√3COS30O=1,即OF=1,

则ZFDA=ZFAD=30°,故ZFDE=75°,

显然当且仅当FmC时，回取得最小值，

½∣EF∣=Sin75°XDF="+＞，所?-］的最小值为-1=.

min4IJ24,

即AEM的最小值为彳+今

【例5】在一ABC中，角A、B、C的对边分别是。、方、c,且满足(2α-C)B4∙8C=cC3∙C4.

(1)求角8的大小；

(2)若6=√J,求ABC的面积S的取值范围.

【答案】(I)B=5

【分析】(1)利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出CoSB的值，结合角B的取值

范围可求得角B的值；

(2)利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出S=更Sin(2A-四］+走，求出角A的取值

2I6；4

范围，结合正弦型函数的基本性质可求得S的取值范围.

(1)

解：山(2a-c)BA∙BC=cCB∙CA可得(2α-C)CaCoSB=C∙"cosC,

所以，(2α-C)COS8=⅛cosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBCOSC,

2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinJB=Sin(JB+C)=SinA,

A、B∈(0,π),则SinA>0,所以，cosB=-,故8=：.

23

(2)

解：由正弦定理可得,"=.’='一=2,则a=2sinA,c=2si∏C,

sinAsinCsinB

.*.S=gαcsin3=当4c=>∕JsinAsinC=GsinAsin(A+g)

=VJSin4ɪsinA+—cosΛ=—sinAcosA+—sin2A=—sin2A--cos2A+-

∖22/22444

6.(CAπλ√3

=­sɪn2A——+—，

2I6j4

ʌ42π,πʌ.π7πLL….∣ʌπjf1

O<A<--,pr∣t∣Jl——<2A——<--,所以，sin2Ax-—∈~~A1

【例6】在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,h,c,满足(c-2α)cosB+bcosC=0.

(1)求NB的值;

(2)已知。在边AC上，且A3=3OC,BD=3,求AABC面积的最大值.

【答案】(1)?；

⑵4G

TT

【分析】(1)利用正弦定理可得SinA=2sinA8sB,从而可求8=§.

13

(2)利用向量可得即=；BA+^8C,平方后结合基本不等式可得0c≤16,从而可求面积的

44

最大值.

【详解】(I)(C-2α)cosB+bCOSC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2sinA)cosB+sinBCOSC=O

即(sinCcosB+sinBcosC)—2sinAcosB=O,sin(B÷C)-2sinAcosB=O,

.A+B+C=7Γ,

.,.sin(B+C)—2sinAcosB=Sin(Tr—A)-2sinAcos5=sinA—2sinAcosB=O,

故sinΛ=2sinΛcosB,

A是“。的内角，

.∙.sinA≠O,CoSB=而B为三角形内角，

2

3

(2)因为AD=3OC，所以BA=3(8C-8Z)),

13

所以8D=-8A+-8C,

44

1∙>Oɔɜ1Oɜ

所以9=一—BC^+-BA∙3C,故9=一C2+二/+一QC,

16168161616

339

由基本不等式可得9≥fθc+-=-，故QC≤16,

81616

当且仅当〃=券,c=46时等号成立，

故面积的最大值为416x3=46

22

【例7】在ABC中，V2sinA-cosA=1.

⑴求CoSA；

(2)。在边BC上，BD=2DC,∣A∕)∣=2,求，ABC面积的最大值.

【答案】⑴；；

⑵场.

4

【分析】(1)将己知条件两边平方得到siɪ?A=2√∑sinAcosA,结合三角形内角性质求得

tanA=2√2>O>进而可求COSA.

12

(2)由A£>=；AB+：4C,根据已知模长及向量数量积的运算律可得

33

1244-227

ʌAB+lABAC+^-AC=4,结合基本不等式求得A≤f,进而求面积最大值，注意等号

9994

(最大值)成立条件.

(1)

由题设(V∑sinA-COSA)2=2sin2A-2V2sinAcosA+cos2A=1,

所以§m2?1=2应§Μ4(：0§4，又SinA>0,故tanA=20>O，

所以0<A<殳,故CoSA=L

23

(2)

A

-2212

AD=AB+BD=AB^--BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

3333f

2191244-。

所以Ao=(-ΛB+-ΛO2=-AB+-ΛB∙ΛC+-AC=4,

33999

则,c∙2+汽匕。+3/=4≥2.-C2-b2+—be=—be,⅛⅛c≤—,

9279丫9927274

所以ABC面枳S=JASinA≤'x2Xmg=还，当且仅当c=2A=侦时等号成立,

224342

故，ABC面积的最大值为电.

4

【题型专练】

1.ABC的内角A3,C的对边分别为“，b,c,CBCA=h^b~cV则A=()

2

πC兀一兀C2π

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】B

［分析］根据数量积的定义可得而CoSC=l73,根据正弦定理边角互化即可求解.

2

【详解】因为CZTCA="伽一°),所以BCOSC="(2叱。,即2⅛=c+24cosC,

22

由正弦定理可得2sin8=sinC+2sinAcosC，且

所以SinC=2cosAsinC,旦SinCW0,则CoSA=A∈(0,π),所以A=

JT-ʌ-.--------1

2.如图，在一ABC中，ABAC=-,AD=IDB>P为CD上一点、,AP=mAC+-AB,

若卜C∣=2,网=3,贝∣J∣4P∣的值为()

【答案】B

【分析】设CP=48,根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出4、加的值，依题意

可得ZXADC为等边三角形，求出CP,再由余弦定理求出AP即可；

【详解】解：设CP=ZICD，

221

则AP=AC+CP=AC+ΛCD=AC+Λ(-Aθ-AC)=-ΛAB+(l-Λ)AC=-AB+wAC,

22=1

32,解得,

m-∖-λ

因为卜8卜3,所以4O=∣48=2,又k4=2,ZBAC=p所以AADC为等边三角形，

兀33

所以ZACCP=-CD=-,

342

(3Y3113

由余弦定理人尸=AC2+CZ)2-2AC∙C0COS∕ACZ)=22+二-2×2×-×-=-,

UJ224

所以AP=巫；

2

3.在jA8C中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,若a=2b=2,且C4∙CB=-1,则C=

2

()

A.2B.20^C.√5D.√6

【答案】D

【分析】根据向量的数量积以及余弦定理即可求解.

【详解】由CA,CB=—,得abcosC=—.乂a=r2b=2,故CoSC=—>

224

由余弦定理，=Λ2+⅛2-2a⅛cosC=4+1-2×2×l×f-^-j=6,故c=".

故选:D.

4.在.ASC中，角A8,C的对边分别为4力,c,若AB∙AC=8A∙BC=1，则C的值为()

A.ɪB.√2C.2D.4

【答案】B

【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得Sin(A-5)=0,求出A=8,a=b,再利用余弦

定理求出c=0.

【详解】由题意得:c∙6cosA=c∙acosB=l,

因为CHO,所以∕>cosA=αcos3,

由正弦定理得：SinBCoSA=SinACOS3,

即sinBcosA-sinAcos3=sin(A-3)=O,

因为A,8w(O,π),

所以A-3e(-7i,τt),

⅛A-B=O.即A=B.

则a=b,

由余弦定理及c∙⅛cosA=I得：cb-—C———=1,

2bc

即]∙=1,解得：C=&-

5.己知48C满足阿Si吟=8A∙C4,贝IJA8C的形状为()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出,ΛBC的形状

为等腰三角形.

【详解】网飞吟=346=网1。卜8$4,则M=2∣CA∣∙COSA,

由正弦定理可得SinC=2sinB∙cosA,

则sin[π-(A+B)]=2si∏β∙cosΛ,即sin(A+β)=2sinB∙cosA,

即Sin(A-8)=0,所以NA=NB,ABC的形状为等腰三角形，

6.在，ASC中，内角A,B,C的对边分别是","c,⅛sinC=∙V3(α-⅛cosC).

(1)求角B的大小：

(2)若点。满足.AO=cOC,且∣8O∣=2√L求..ABC面积的最小值.

【答案】(I)B=W

(2)4√3

【分析】(I)由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解;

(2)由题意得陶’进而利用三角面积可转化

I八二I—∙BC-BD∙sinZDBC

I。CI=ScW=2__________________BC

茄，从而有SinNDBC=SinZAB"再由面积公式与

1ad1SAABDL...SinZABD

2ABBD

基本不等式求解即可

(1)

因为bsinC=6(a一〃COSC),所以sin3sinC=G(sinA-sinBcosC).

因为SinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBsinC=ʌ/ɜ(sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC)=布cosBsinC.

因为SinCWO,

所以tanB=G

又因为0<3<π,

所以83.

(2)

因为"AO=Cf)C，

所以点。在线段AC上，且g=吧.

c∖AD∖

Inec—tBC∙BD∙sinZDBC

因为空1=5=2__________________喀

IAClSAABD-ABBDsinZABDAB

2

所以sinNDBC=sinZABD,

即BD为NZABC的角平分线.

由(1)得8=1,

Tr

所以NABQ=/CBO=-.

6

IJr1Jr1TT

由sAABC=SAABD+SWCD，-acsi∩-=-a-BDsin-+-c-BDsιn-,

232o2o

即αc=2(α+c)≥4j^^,得“c≥16,当且仅当〃=C时，等号成立，

I.万、1

Sc*SC=2αcsι∏]≥2x16sinɪ=4√3.

3

故乙ABe面积的最小值为

7.已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为mh,c,.

l

①6CCOSB+ftsinC=O;②~~Γ+~~∙~Sirl'~~=θ;③2cos?一^^'+cos2C-1=0.

a+bsɪnA+sιnC2

请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：

(1)求角C的值；

⑵若C=2√3,CD=CA+^B且C4=√Σ,求CA∙CB的值.

OT

【答案】(1)与7

⑵T

【分析】(1)若选①，由正弦定理及正弦的两角和可得，若选②，由正弦定理及余弦定理可

得，若选③，由余弦的二倍角公式可得；

(2)由平面向量的数量积及余弦定理可求解.

(1)

若选①，由已知有GSinA-百SinCCoS3+sinHsinC=0,又因为,在AABC中,有

sinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以有6(SinBcosC÷cosBsinC)-∖∣3sinCcosB÷sinBsinC=0,

化简得JJSinBCoSC+sin8sinC=0,由于0<5<万，所以Sini?W0,

所以力>∕JcosC+sinC=0,-F是有tarɪeɪɪ-ʌ/^,因OVC<乃，所以得C=-^-∙

H-∕≈ɪci-csin4C

若选②’由寸+sinA+sinC，

<曰〃一cb21^>ɔja~—c~1

得-----1-------=Ona~+一c-=—ah=>cosC=----------------=—,

a+ba+c2ab2

因0<C<Λ∙,所以C=与.

AA-R

若选③，由2cos?--—ι-cos2C-1=0,

有COS(A+8)+CoS2C=0=2cos?C-cosC-1=0.

从而有(COSC-I)(2COSC+1)=0,解得CoSC=-;或COSC=I(舍)(因为O<C<τr),

所以C=W2TT

(2)

由α>=CA+C8,可得点。为AB的中点，FL有2Cr>=C4+CB,

2

所以有c/+CRi+2CACB=4CD2=8，

若c=26，则AO=8O=√L

又NADC+/BDC=