5.4抛体运动的规律

第五章抛体运动第4课抛体运动的规律目标导航目标导航课程标准核心素养1.知道平抛运动的受力特点，会用运动的合成与分解分析平抛运动.2.理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线．3.熟练运用平抛运动规律解决相关问题.4.应用平抛运动的重要推论解决相关问题.5.了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法．1、物理观念：平抛运动和斜抛运动。2、科学思维：利用运动的分解思想推导平抛运动的轨迹方程。3、科学探究：实验探究抛体运动的规律。4、科学态度与责任：能利用抛体运动的规律解决生活中平抛运动、斜抛运动的问题。知识精讲知识精讲知识点01平抛运动的速度以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图1所示的平面直角坐标系．图1(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0.(2)竖直方向：只受重力，所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.(3)合速度大小：v＝eq\r(v\o\al(x2)＋v\o\al(y2))＝eq\r(v\o\al(02)＋gt2)；方向：tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)(θ是v与水平方向的夹角)．【即学即练1】关于平抛运动，下列说法中不正确的是()A．平抛运动的下落时间由下落高度决定B．平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动C．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动【答案】B【解析】平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改变，所以平抛运动是变速运动，由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加速度方向的夹角θ满足tanθ＝eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)，因为t一直增大，所以tanθ变小，θ变小，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，D正确．知识点02平抛运动的位移与轨迹1．水平位移：x＝v0t①2．竖直位移：y＝eq\f(1,2)gt2②3．轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝eq\f(g,2v\o\al(02))x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线．【即学即练2】把甲物体从2h高处以速度v0水平抛出，落地点与抛出点的水平距离为L，把乙物体从h高处以速度2v0水平抛出，落地点与抛出点的水平距离为s，则L与s的关系为()A．L＝eq\f(s,2) B．L＝eq\r(2)sC．L＝eq\f(\r(2),2)s D．L＝2s【答案】C【解析】根据2h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，得t1＝eq\r(\f(4h,g))，则L＝v0t1＝v0eq\r(\f(4h,g))，同理由h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，得t2＝eq\r(\f(2h,g))，则s＝2v0t2＝2v0eq\r(\f(2h,g))，所以L＝eq\f(\r(2),2)s，选项C正确．知识点03一般的抛体运动1．斜抛运动：初速度沿斜向上方或斜向下方的抛体运动．2．斜抛运动的性质：斜抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g的匀变速直线运动的合运动．3.物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)．(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cosθ.(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝v0sinθ.如图1所示．【即学即练3】如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L.假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力．则有()A．tanα＝2 B．tanα＝eq\f(1,2)C．tanα＝eq\f(1,4) D．tanα＝1【答案】D【解析】运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有：L＝eq\f(1,2)gt2.解得t＝eq\r(\f(2L,g)).运动员通过最高点时的速度为：v＝eq\f(2L,t)＝eq\r(2gL)，则有：tanα＝eq\f(gt,v)＝1，故D正确，A、B、C错误．能力拓展能力拓展考法01对平抛运动的理解1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．2．平抛运动的特点(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计．(2)运动特点①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动．②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动．(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线．(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示．【典例1】关于平抛运动，下列说法正确的是()A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动【答案】D【解析】做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误．考法02平抛运动的研究方法及规律1．平抛运动的研究方法：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动．2．平抛运动的规律速度位移水平分运动vx＝v0x＝v0t竖直分运动vy＝gty＝eq\f(1,2)gt2合运动大小：v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋（gt）2)方向：与水平方向夹角为θ，tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)大小：s＝eq\r(x2＋y2)方向：与水平方向夹角为α，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)图示3.平抛运动的两个推论(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tanθ＝2tanα.证明：因为tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)，所以tanθ＝2tanα.(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．证明：如上图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝eq\f(PB,tanθ)＝eq\f(1,2)gt2·eq\f(v0,gt)＝eq\f(1,2)v0t.可见AB＝eq\f(1,2)OB.【典例2】(多选)如图所示，李娜在边界A处正上方B点将球水平向右击出，球恰好过网C落在D处，已知AB高h1＝1.8m，x＝18.3m，CD＝9.15m，网高为h2，不计空气阻力，g取10m/s2则()A．球网上边缘的高度h2＝1mB．若保持击球位置、高度和击球方向不变，球刚被击出时的速率为60m/s，球不能落在对方界内C．任意增加击球的高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内D．任意降低击球高度(仍高于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内【答案】AC【解析】根据h1＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)得：t1＝eq\r(\f(2h1,g))＝eq\r(\f(2×1.8,10))s＝0.6s，则平抛运动的初速度为：v0＝eq\f(x＋\f(x,2),t)＝eq\f(18.3＋9.15,0.6)m/s＝45.75m/s.则运动到球网的时间为：t＝eq\f(x,v0)＝eq\f(18.3,45.75)s＝0.4s；则下落的高度为：Δh＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)×10×0.16m＝0.8m，则球网上边缘的高度为：h2＝h1－Δh＝(1.8－0.8)m＝1m，故A正确；根据x＝v0t1＝60×0.6m＝36m＜2x，知球一定能落在对方界内，故B错误；增加击球高度，只要速度合适，球一定能发到对方界内，故C正确；任意降低击球高度(仍大于h2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以不是高度比网高，就一定能将球发到界内，故D错误．考法03斜抛运动1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．2.斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．(1)速度公式：vx＝v0x＝v0cosθvy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt(2)位移公式：x＝v0cosθ·ty＝v0sinθ·t－eq\f(1,2)gt2(3)当vy＝0时，v＝v0x＝v0cosθ，物体到达最高点hmax＝eq\f(v\o\al(0y2),2g)＝eq\f(v\o\al(02)sin2θ,2g).[深度思考]以初速度v0、方向与水平方向成θ角斜向上抛出一小球，当θ角为多大时，水平位移(射程)最大？【答案】θ＝45°时，小球水平射程最远．证明：x＝v0cosθ·tt＝eq\f(2v0sinθ,g)即x＝eq\f(2v\o\al(02)cosθ·sinθ,g)＝eq\f(v\o\al(02)·sin2θ,g)当θ＝45°时，sin2θ＝1x取最大值．【典例3】如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24m/s，落地时速度vt＝30m/s，g取10m/s2.sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)物体抛出时速度的大小和方向；(2)物体在空中的飞行时间t.【答案】(1)30m/s与水平方向夹角为37°(2)3.6s【解析】(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时速度大小相等，故v0＝vt＝30m/s，设v0与水平方向夹角为θ，则cosθ＝eq\f(v,v0)＝0.8，故θ＝37°.(2)竖直方向的初速度为v0y＝v0·sinθ＝18m/s故物体在空中的飞行时间t＝eq\f(2v0y,g)＝3.6s.考法04平抛运动与斜面相结合的问题1．常见的两类情况(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)从斜面上抛出后又落在斜面上．2．两种情况处理方法方法内容斜面总结分解速度水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))分解速度，构建速度三角形分解位移水平：x＝v0t竖直：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：x合＝eq\r(x2＋y2)分解位移，构建位移三角形【典例4】(多选)跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是()A．L与v0成正比 B．L与veq\o\al(2,0)成正比C．t与v0成正比 D．t与veq\o\al(2,0)成正比【答案】BC【解析】滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．设水平位移x，竖直位移为y，结合几何关系，有：水平方向上：x＝Lcosθ＝v0t，竖直方向上：y＝Lsinθ＝eq\f(1,2)gt2，联立可得：t＝eq\f(2v0tanθ,g)，即t与v0成正比；L＝eq\f(2veq\o\al(2,0)tanθ,gcosθ)，即L与veq\o\al(2,0)成正比，B、C正确．分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是()A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等【答案】D【解析】水水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误．2.如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是()A.eq\f(\r(3),3)s B.eq\r(3)sC．1s D．2s【答案】C【解析】物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0tan45°＝gt，代入数据解得t＝1s，故选项C正确，A、B、D错误．3．一小球以5m/s初速度水平抛出，下落高度为20m时，水平位移大小为(忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2)()A．5mB．10mC．20mD．25m【答案】B【解析】根据平抛运动竖直方向为自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)gt2，可得平抛时间为t＝eq\r(\f(2h,g))＝2s；平抛的水平分运动为匀速直线运动，可得x＝v0t＝10m；故B正确．4.物体做平抛运动时，下列描述物体速度变化量大小Δv随时间t变化的图像，可能正确的是()【答案】D【解析】根据平抛运动的规律Δv＝gt，可得Δv与t成正比，Δv与t的关系图线为一条过原点的倾斜直线，选项D正确．5．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4B．A、B两球的初速度大小之比为1∶eq\r(2)C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(eq\r(2)－1)eq\r(\f(2h,g))D．若两球同时抛出，则落地的时间差为eq\r(\f(2h,g))【答案】C【解析】 小球做平抛运动，竖直方向有H＝eq\f(1,2)gt2，则运动时间t＝eq\r(\f(2H,g))，所以A球的运动时间tA＝eq\r(\f(2×2h,g))＝eq\r(\f(4h,g))，B球的运动时间tB＝eq\r(\f(2h,g))，所以tA∶tB＝eq\r(2)∶1，由x＝v0t得v0＝eq\f(x,t)，结合两球落地时的水平位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B两球的初速度大小之比为1∶2eq\r(2)，故A、B错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差Δt＝tA－tB＝(eq\r(2)－1)eq\r(\f(2h,g))，故C正确；若两球同时抛出，则落地的时间差Δt′＝tA－tB＝(eq\r(2)－1)eq\r(\f(2h,g))，故D错误．6.从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50m/s，方向与水平方向成53°角．(不计空气阻力，g取10m/s2，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8)求：(1)抛出点的高度和水平射程；(2)抛出后3s末的速度；(3)抛出后3s内的位移．【答案】(1)80m120m(2)30eq\r(2)m/s，与水平方向的夹角为45°(3)45eq\r(5)m，与水平方向的夹角的正切值为eq\f(1,2)【解析】(1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有vy＝vsin53°＝50×0.8m/s＝40m/sv0＝vcos53°＝50×0.6m/s＝30m/s抛出点的高度为h＝eq\f(v\o\al(y2),2g)＝80m水平射程x＝v0t＝v0·eq\f(vy,g)＝30×eq\f(40,10)m＝120m.(2)设抛出后3s末的速度为v3，则竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3m/s＝30m/sv3＝eq\r(v\o\al(02)＋v\o\al(y32))＝eq\r(302＋302)m/s＝30eq\r(2)m/s设速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝eq\f(vy3,v0)＝1，故α＝45°.(3)抛出后3s内物体的水平位移x3＝v0t3＝30×3m＝90m，竖直方向的位移y3＝eq\f(1,2)gt32＝eq\f(1,2)×10×32m＝45m，故物体在3s内的位移s＝eq\r(x\o\al(32)＋y\o\al(32))＝eq\r(902＋452)m＝45eq\r(5)m设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝eq\f(y3,x3)＝eq\f(1,2).题组B能力提升练7.物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tanα随时间t变化的图像是图中的()【答案】B【解析】平抛运动水平方向上的速度不变，为v0，在竖直方向上的分速度为vy＝gt，tanα＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，g与v0为定值，所以tanα与t成正比．故B正确，A、C、D错误．8.(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列表述正确的是()A．球的速度v等于Leq\r(\f(g,2H))B．球从击出至落地所用时间为eq\r(\f(2H,g))C．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关【答案】AB【解析】由平抛运动规律知，在水平方向上有：L＝vt，在竖直方向上有：H＝eq\f(1,2)gt2，联立解得t＝eq\r(\f(2H,g))，v＝Leq\r(\f(g,2H))，A、B正确；球从击球点至落地点的位移为s＝eq\r(H2＋L2)，与球的质量无关，C、D错误．9．如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°.从抛出开始计时，质点到A点与质点运动到B点的时间之比是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D．条件不够，无法求出【答案】B【解析】设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点：tan30°＝eq\f(vAy,v0)＝eq\f(gtA,v0)，解得：tA＝eq\f(\r(3)v0,3g)；在B点：tan45°＝eq\f(vBy,v0)＝eq\f(gtB,v0)，解得：tB＝eq\f(v0,g)，则eq\f(tA,tB)＝eq\f(\r(3),3)，故B正确．10.某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中．现制作一个为实际尺寸eq\f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道内的水流速度应为实际的()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,16)【答案】B【解析】由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为实际的eq\