夯基专题10等差等比数列的计算和性质讲义-高三数学二轮专题复习

夯基专题10等差、等比数列的计算和性质考向考向一等差、等比数列的基本运算【核心知识】考点一：等差数列的基本运算等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．强调：等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．考点二：等比数列的基本运算(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．【典例精讲】例1.(2023·湖南省岳阳市期中)已知数列{an}中，a2=32，aA.109 B.1110 C.1211例2.(2023·天津市市辖区联考)设an是公差d=-2的等差数列，如果a1+a4A.-182 B.-78 C.-148 D.-82例3.(2023·天津市市辖区月考)已知等比数列an的前3项和为168,a2-aA.14 B.12 C.6 D.3【拓展提升】练11.(2023·湖南省教研联盟·模拟题)已知数列{an}和{bn}均为等差数列，且akbk为定值，若a1A.56 B.72 C.88 D.104练12.(2022·江苏省徐州市月考)（多选）已知等比数列an中，满足a1=1，公比q=-3，则A.数列3an+an+1是等比数列 B.数列{an+1-an}练13.(2023·浙江省宁波市·期末考试)（多选）在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a考向二等差数列的性质A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列

C.S考向二等差数列的性质【核心知识】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.=3\*GB3③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．=4\*GB3④若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=强调：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【典例精讲】例4.(2023·湖南省衡阳市模拟)已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTA.6 B.625 C.10 D.例5.(2023·湖北省名校·模拟题)已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，若a2+a4+aA.3 B.-3 C.【拓展提升】练21.(2023·湖北省名校·模拟题)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数nA.1941 B.1737 C.715练22.(2023·湖南省岳阳市·模拟题)（多选）设正项等差数列an满足a1+a102=2A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为2​10

考向三等比数列考向三等比数列的性质1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qnm(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)2.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.【典例精讲】例6.(2023·湖北省黄冈市月考)已知等比数列{an}满足：a2+a4+aA.20 B.10 C.5 D.5例7.(2021·湖北省黄冈市·模拟题)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则数列{anA.1+2 B.1-2 C.【拓展提升】练31.(2022·江苏省启东市月考)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，aA.12 B.13 C.14 D.15练32.(2023·江西省重点中学·联考)若正项递增等比数列an满足：12+a2-aA.2 B.2 C.22【答案解析】例1.解：设等差数列{1an-1}的公差为d，则1a5-1=1a2-1+3d，

例2.解：{an}是公差为-2的等差数列，

因为a1+a4+a例3.解：由题意得

a1+a2+a3=联立得

1+q+q2因为

1+q+q2≠0

，所以

q(1-q)=14

将

q=12

代入①中得

a所以

a4=故选：B．练11.解：akbk为定值，所以a7b7因为bn为等差数列，

所以b练12.解：等比数列{an}中，满足a1=1，公比q=-3，an=-3n-1，

对于A，3an+an+1=3[(-3)n-1]+(-3)n=[(-1)n-1+(-1)n]练13.解：A项，因为a1+a4=18，a2+a3=12，q为整数，

联立a1+a1q3=18a1q+a1q2=12解得a1=2q=2，A项正确；

B项，an=a1qn-1=2n，Sn例4.解：因为ak=a1+a2k-12，所以ak=S2k-12k-1.例5.解：a2+a4+a6=5π，∴a4练21.解：∵a3+a152(b3练22.解：因为正项等差数列an满足a1+a102=2a2a9+20，

所以a2+a92=2a2a9+20，即a22+a92=20．

①a2a9⩽a22+a922=202=10，当且仅当a例6.解：已知等比数列{an}满足：a2+a4+a6+a例7.解：设等比数列{an}的公比为q，q>0，

由a1，12a3，2a2成等差数列，可得a3=a1+2a2，

即有a1q2=练31.解：因为数列{an}是各项均为