第6章 共形映射

第一节共形映射的概念一、两曲线的夹角二、解析函数导数的几何意义三、共形映射的概念四、小结与思考3一、两曲线的夹角正向:t增大时,点

z移动的方向.如果规定:平面内的有向连续曲线C可表示为:yxC..4当p方向与C一致.C..yx5处切线的正向,则有x轴正向之间的夹角.C.yx6之间的夹角..7二、解析函数导数的几何意义正向:t增大的方向;C.yx8其参数方程为正向:t增大的方向.C.yxyx.9或10说明:转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关.映射w=f(z)具有转动角的不变性...11则有结论:的夹角在其大小和方向上都等同于经过方向不变的性质,此性质称为保角性.12

Cyxyx....13结论:

方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.14综上所述,有质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.定理一15三、共形映射的概念

定义说明:也称为第一类共形映射.但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,则称之为第二类共形映射.16问题:关于实轴对称的映射是第一类共形映射吗?答案:将z

平面与

w平面重合观察，y(v)x(u)..夹角的绝对值相同而方向相反.

否.17解18反之放大.19四、小结与思考

熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质.20思考题21思考题答案放映结束，按Esc退出.第二节分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、小结与思考23一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于那末整个z平面映射成w平面上的一点.小知识24分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由3)两分式线性映射仍复合为分式线性映254)分式线性映射一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成:26二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)27二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)28旋转与伸长(或缩短)变换事实上,设那末因此,把z先转一个角度29关于横轴对称反演变换此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:30对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O.31...设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.32故可知:...关于单位圆对称关于实轴对称33三、分式线性映射的性质1.一一对应性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.342.保角性若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射

下所映成的通过圆点的两条象曲线的交角.35综上所述知:36综上所述:定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性373.保圆性

所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.382)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.393)分式线性映射定理二

分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:

如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果404.保对称性对称点的特性....41....42结论充要条件是:43即分式线性映射具有保对称性.定理三44证分式线性映射[证毕]45小知识分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.默比乌斯46四、小结与思考

分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合,及其保角性、保圆性和保对称性.47思考题48思考题答案放映结束，按Esc退出.49默比乌斯资料AugustMöbiusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)

Died:26Sept1868inLeipzig,Germany第三节唯一决定分式线性映射的条件一、分式线性映射的确定二、分式线性映射对圆域的映射三、典型例题四、小结与思考51一、分式线性映射的确定含有三个独立的常数,定理

只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射.52证依次映射成设将相异点由此得53所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射.唯一性:重复上述步骤,仍得到相同形式的结果.[证毕]54二、分式线性映射对圆域的映射1.问题:圆域内部被映射成什么区域?.......与一一对应性相矛盾.55结论:在分式线性映射下,C的内部不是映射成判别方法:方法1在分式线性映射下,如果在圆周C内任取56方法2......57

若绕向相反,则C......方法258......

若绕向相反,则C方法2592.分式线性映射对圆弧边界区域的映射:这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域.2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.60三、典型例题...解...例161所求分式线性映射为化简得:注意:本题中如果选取其他三对不同点,也能得出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射.可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不唯一,有无穷多个.62另解:设实轴映射成单位圆周,则所求映射具有下列形式:...63由于z为实数时,上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式说明:64解

依上题结论得例265从而所求映射为66解...例367因此可设所求分式线性映射为:68故所求分式线性映射为:将上半平面映为单位圆的常用映射69例4

解依上题结论得70所以所求映射为71分析..上半平面单位圆域单位圆域例572平移伸长解如图示..则所求映射为:...73另解如图示:.....74于是所求的映射为75四、小结与思考

分式线性映射是共形映射的一个重要内容,应熟练掌握并会应用分式线性映射的各种性质寻找一些简单而典型的区域之间的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到单位圆,单位圆到单位圆的分式线性映射.76思考题77思考题答案放映结束，按Esc退出.第四节几个初等函数所构成的映射一、幂函数二、指数函数三、儒可夫斯基函数四、小结与思考79一、幂函数80则:1)(特殊地:单位圆周映射为单位圆周)2)81))82特殊地:)上岸0沿正实轴剪开的w平面下岸83映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的n倍.)??如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数.例184解)因此所求映射为:850个映射.0??例2860解0实现此步的映射是分式线性函数:870088.0089009000.0因此所求映射为:91.分析:关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧跟x轴之间的夹角展平.00??例392解

如图所示:0.0.0.0.930.0.解

如图所示:940.0.0..0...解

如图所示:95二、指数函数96001)002)970000特殊地:98??映射特点:如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数.解例499解

000??例5100三、儒可夫斯基函数1.定义1012.问题:

儒可夫斯基函数映射为什么区域?102分解为103..2)具有保角性.104...105...沿射线argt=2a剪开的半平面••沿连接点a与-a的圆弧割开的w平面106结论:107说明:108109共焦点的椭圆族方程110椭圆渐扁..上半圆周割痕下岸下半圆周割痕上岸1113.儒可夫斯基截线(机翼截线)......112..且因儒可夫斯基采用它作为机翼的型线.假设机翼型线为此曲线而进行一些流体力学上的理论计算，使对机翼绕流的研究化为对圆柱绕流的研究.机翼截线名称的由来:113......??解例7114四、小结与思考

本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特点,将分式线性映射与初等函数相结合,求一些边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的共形映射问题是本章的难点.115思考题116思考题答案放映结束，按Esc退出.第五节关于共形映射的几个

一般性定理一、单值解析函数共形性逆定理二、黎曼定理三、边界对应原理四、小结与思考118一、单值解析函数共形性逆定理定理1119二、黎曼定理由多于一个点所构成的)是怎样的,并且这样的共形映射是唯一的.定理2也不论这两域120说明121该条件的几何解析：122三、边界对应原理定理3123四、小结与思考了解黎曼定理和边界对应原理的内容.放映结束，按Esc退出.第六节施瓦茨-克里斯托费尔映射

(Schwarz-christoffel)一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念三、应用举例四、小结与思考125一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入问题:边界由直线,线段,或射线组成126..可看作特殊的多角形域例如,127将上例推广:映射可用下列方程来确定:128验证而其它项不变,是w欲沿下一条边移动所必须转过的角129依次下去:当z历经整个x轴时,w沿着多角形的边界移动.(如图示)...........可见:由此方程确定的映射将上半平面映射成内130二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念1.定义对于方程两边积分,解得称为施瓦茨-克里斯托费尔映射施瓦茨克里斯托费尔131施瓦茨-克里斯托费尔映射成为:说明:所以映射在这些点以外的上半平面是共形的.与前式相差一个因子1322.将上半平面映射为已知的多角形区域可分解为:133上式表示把z平面上的上半平面映射成t平的映射.与已知多角形域相似的多角形域因此:上半平面已知多角形域?134补充:在实际问题中,常见的多角形是变态多角形,即它的顶点有一个或几个在无穷远....规定:例如，135三、应用举例解...11361234两区域绕向相同.所求映射为137138139点如图示.解•看作有三个顶点C,A,B的多角形,B,C在无穷远例2140141142因此所求映射为143例3平行板电容器中等位线与电力线的分布情况.分析由于理想平行板电容器无边缘,其电力线和等位线是互相垂直的两族平行线.等位线电力线平行于平行板垂直于平行板边缘中心线平行板电容器实际是有边缘的.电场分布关于中心线对称.144考虑中心线上方的一半带有割痕的半平面．带形区域的映射,若能求出w平面中带割痕的上半平面与z平面中欲求平行板电容器的等位线和电力线只需将z平面中的两族互相垂直的平行线映射到w平面即可.就可推知电容器的电场分布．145解因此把z平面中带形区域映射到w平面中带割痕的上半平面的映射是146将所求出映射的实部和虚部分离得147电力线等位线

此问题也可看成由两条半直线构成的开口槽中流体的流线与等位线的分布情形,此时图中说明：的等位线变为流线,而电力线变为等位线.148四、小结与思考

施瓦兹-克里斯托费尔公式是反映上半平面到多角形区域的映射公式.它的实际应用比较困难.充分了解本课内容.放映结束，按Esc退出.149施瓦茨资料HermanSchwarzBorn:25Jan1843inHermsdorf,Silesia(nowPoland)

Died:30Nov1921inBerlin,Germany150克里斯托费尔资料ElwinChristoffelBorn:10Nov1829inMontjoieAachen(nowMonschau),Germany

Died:15March1900inStrasbourg,France第七节拉普拉斯方程的边值问题一、问题的提出二、定理三、应用举例四、小结与思考152一、问题的提出问题:调和，并且在区域的边界上满足已知条件.1.对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解.2.对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变为简单区域,再求解.解决方法:求一个二元实变函数，使其在已知区域中153二、定理拉普拉斯154证155以上两式相加,化简得同样可得:156［证毕］157例一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限,上下均绝缘,因此热流严格限制在平面内.如果边界上的温度分布如图示,求金属板上定常的温度分布.三、应用举例158解所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程且满足第一象限边界上的条件.限映射成w平面中的上半平面.w在实轴上4的右边:159当w取实数时,取得边值.160的虚部,可看作是函数

此函数在上半平面处处解析.161即为拉普拉斯方程在w平面中的解.变形后得原问题的解为162四、小结与思考

拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理应用之中.放映结束，按Esc退出.163拉普拉斯资料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,France165一、重点与难点重点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射166二、内容提要共形映射分式线性映射一一对应性保角性保圆性几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性

幂函数指数函数1671.的几何意义正向之间的夹角.168的一条有向光滑曲线之间的夹角.1692)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.3)保角性方向不变的性质,此性质称为保角性.夹角在其大小和方向上都等同于经过170

4）伸缩率方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.1712.共形映射（保角映射）也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射,称为第二类共形映射质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.172称为分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成:

3.分式线性映射173

分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.174

2.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.

分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.1754）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为保对称性.1764.唯一决定分式线性映射的条件交比不变性177判别方法:对确定区域的映射

在分式线性映射下,C的内部不是映射成方法1在分式线性映射下,如果在圆周C内任取

若绕向相反,则C方法2178圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二围成的区域.3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时