二次函数与直角三角形问题-2023年中考数学压轴题复习（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题2二次函数与直角三角形问题

考法综述“

X_________________________/

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并

验根.

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三

角形，这样列比例方程比较简便.

方法揭秘.

我们先看三个问题:

1.已知线段AA,以线段AB为直角边的直角三角形A8C有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3.已知点A(4,0),如果AO4B是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标.

图1

如图1,点C在垂线上，垂足除外.

如图2,点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外.

如图3,以OA为边画两个正方形，除了0、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意

的点B,共6个.

如图4,已知A(3,0),B(l,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标.

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C.

如果作80_Ly轴于。，那么AA0Cs∕∖CQB.

y

34-m

设。C=m，那么一=-----

m1

这个方程有两个解，分别对应图中圆与)，轴的两个交点.

对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.

典例剖析.

【例1】.(2022•滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=7-2χ-3与X轴相交于点A、B(点4在点

B的左侧)，与y轴相交于点C,连接AC、BC.

⑴求线段AC的长；

(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当∕¾=PC时，求点P的坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当48CM为直角三角形时，求点M的坐标.

(2)设出点P的坐标，利用Λ4=PC建立方程求解，即可求出答案；

(3)分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例

式，建立方程求解，即可求出答案.

【解析】(1)针对于抛物线y=/-2χ-3,

令X=0,贝IJy=-3,

ΛC(0,-3)；

令y=0,则X2-2%-3=0,

∙'∙x=3或X=-1,

Y点A在点5的左侧，

ΛA(-1,0),8(3,0),

22

.∙.ΛC=√(-I-Q)+(Q+3)=VlO；

⑵：抛物线y=7-Ir-3的对称轴为直线X=-二2=1,

2

：点P为该抛物线对称轴上，

设P(l,P),

,PA22

∙∙=4(1+1)2+p2=Vp+4-PC=NF+(p+3)2=√p+βp+iQ,

,CPA=PC,

ΛVP2+4=√p2+6p+10'

：・P=-I,

ΛP(1,-1)；

(3)由⑴知,8(3,O),C(0,-3),

：.OB=OC=3,

设M(m,∕n2-2m-3),

CM为直角三角形，

・•・①当N3CW=90°时，

如图1,过点M作MHLy轴于H,则”“=〃?，

VOB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=45o,

ΛZHCM=90o-NOCB=45°,

ΛZWMC=45o=ZHCM,

ZCH=MH,

*：CH=-3-(m1-2m-3)=-∕w2+2w,

・♦-In+2"i=m,

.∙.m=0（不符合题意，舍去）或"?=1,

-4)；

②当NeBM=90°时,

过点M作MTfLx轴，

同①的方法得，Λf(-2,5)；

③当NBMC=90°时，如图2,

I、当点M在第四象限时，

过点M作MOLy轴于O,过点8作8ELZ)M,交OM的延长线于E,

ΛZCDM=Z£=90°,

ΛZDCM+ZDMC=90a,

VZDMC+ZEMB=90Q,

/.NDCM=NEMB,

；.ACDMsAMEB,

■CDMD

"ME"BE'

∖'M(m,m^-Im-3),8(3,0)>C(0>-3)>

：.DM=m,CD=-3-(m2-2w-3)=-m2+2m,AfE=3-tn,BE=-(ιn2-2m-3)=-m2+2m+3,

.-m2+2mm

•∙1=----------------,

3-m-m2+2m+3

.∙.w=0(舍去)或m=3(点B的横坐标,不符合题意，舍去)或Zn=上返(不符合题意，舍去)或W=上返,

22

M(JLtZL,-ʒtɔʃʒ..),

22__

II、当点M在第三象限时，M(上叵，-i∑VL),

22___

5

即满足条件的M的坐标为(1,-4)或(-2,5)或(.1亚.,-.tZ∑),或(上!叵，-±V∑).

2222

M'

y，、

H'A

H

【例2】.(2022•辽宁)如图，抛物线y=αx2-3x+c与X轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于点C(0,4),

点。为X轴上方抛物线上的动点，射线0。交直线AC于点E,将射线0。绕点O逆时针旋转45°得到

射线OP,OP交直线AC于点尸，连接。F.

(1)求抛物线的解析式;

⑵当点。在第二象限且理=3时，求点。的坐标;

EO4

(3)当aODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标.

【分析】⑴将点A(-4,0),C(0,4)代入y=οr2-3x+c,即可求解；

⑵过点。作DGJ交于G,交AC于点/7,设D(〃，-n2-3n+4),“(〃，〃+4),由OH〃OC,可得迈

EO

=m=3,求出D(-1,6)或(-3,4)；

CO4

(3)设2/,什4),当/尸。。=45°时，过点。作MNLy轴交于点M过点F作FMLMN交于点M,证明

∆MDF^∆NOD(AAS),可得。点纵坐标为2,求出D点坐标为(七2)或(士YH，2)；当N

22

DFO=90a时，过点尸作KCX轴交于L点，过点。作DKLKL交于点K,证明aK∕XZ∖LFO(AA5),

得到。点纵坐标为4,求得。(0,4)或(-3,4).

【解析】⑴将点4(-4,0),C(0,4)代入y=α√-3x+c,

.(16a+12+c=0

1c=4

解得[a=]

,c=4

.*.y=-X2-3x+4；

(2)过点。作OG_L4B交于G,交AC于点H,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

.f-4k+b=0

1b=4

解得Ik=1,

lb=4

Λy=x÷4,

设。(〃，-n2-3∕ι+4),H(n,〃+4),

：.DH=-√-4〃，

•：DHHoC、

.DE=DH=3

**E0COT

YOC=4,

：.DH=3,

；・-〃2-4〃=3，

解得〃=-1或〃=-3,

ΛD(-I,6)或(-3,4)；

(3)设尸(f,r+4),

当NFQo=45°时，过点。作MNLy轴交于点M过点尸作歹MLMN交于点M,

VZDOF=45°,

：.DF=DO.

•：NMDF+∕NDO=90°,ZMDF+ZMFD=90o,

：.ZNDO=ZMFD9

：.∕∖MDF^/XNOD(AAS),

IDM=ON,MF=DN,

：.DN+ON=-t,ON=ON+(-L4),

J.DN=-r-2,ON=2,

・・・D点纵坐标为2,

・•・-/-3x+4=2,

解得X=-3+√T7或X=土叵，

22_

.∙.z5点坐标为(土叵，2)或(土叵，2)：

22

当/OFo=90°时，过点F作KLLx轴交于L点，过点。作。KLKZ,交于点K,

♦：NKFD+NLFO=90°,NKFD+NKDF=90°,

：./LFO=NKDF,

YDF=FO,

：.AKDF咨∕∖LFO(AAS),

：・KD=FL,KF=LO,

∙∖KL=f+4-r=4,

・,.£)点纵坐标为4,

.*.-J?-3x+4=4,

解得X=O或X=-3,

ΛD(0,4)或(-3,4)；

综上所述：D点坐标为(-3.2)或(-3,2)或(0,4)或(-3,4).

22

图1

【例3】(2022•广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=αv2+x+zn(aW0)的图象与X轴交于A、C两点,

与y轴交于点8,其中点8坐标为(0,-4),点C坐标为(2,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD,BD,探究是否存在点D,使得aABO的面积最大？

若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得AflAB为直角三角形，请求出点尸的坐标.

【分析】(I)把点8,C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；

(2)存在.如图1中，设OQ,Ir2+r-4),连接0。.构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；

2

(3)如图2中，设抛物线的对称轴交X轴于点N,过点B作BML抛物线的对称轴于点M.则N(-1.0).M(-

I,-4),分三种情形：Z∕¾β=90o,NPBA=90°,NAPB=90°,分别求解可得结论.

【解析】(I)Y抛物线y=0x2+x+m(α≠0)的图象经过点8(0,-4),点C(2,0),

.fm=-4

14a+2+m=0

,ɪɪ

解得《'W,

1m=-4

.∙.抛物线的解析式为y=L2+x-4；

2

(2)存在.

解得力=-4或2,

ΛA(-4,O),C(2,0),

VB(O,-4),

：.OA=OB=A,

2

•：SAABD=SAAOD+SAOBD-SAAOB=LX4X(-工土2-r+4)+AX4X(-z)-A×4×4=-Z-4/=-

2222

(r+2)2+4,

V-1<0,

.∙.f=-2时，ZXABO的面积最大，最大值为4,此时。(-2,-4)；

(3)如图2中，设抛物线的对称轴交X轴于点M过点B作BML抛物线的时称轴于点M.则M-1.0).M(-

1,-4）；

"：OA=OB=A,ZAOB=90o,

：.ZOAB=ZOBA^45°,

当NpAB=90°时，Z∖ANPι是等腰直角三角形，

.∖AN=NP∖=3,

ΛP∣(-1,3),

当NABP2=90°时，是等腰直角三角形，可得「2(7，-5),

当NAPB=90°时，设P(7,”)，设AB的中点为J,连接/V,则4-2,-2),

：.PJ=LAB=2近,,

2

Λl2+(n+2)2=(2√2)2.

解得"=JY-2或-W-2,

；.尸3(-1，W-2),P4(-1>-W-2),

综上所述，满足条件的点尸的坐标为(-1,3)或(-1,-5)或(-1，77-2)或(-1,-√7-2).

【例4】.(2022•柳州)已知抛物线y=-χ2+⅛r+c与X轴交于4(-1，0),B{m,0)两点，与y轴交于点C(0,

5).

⑴求6,c,m的值:

(2)如图1,点。是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点。在第一象限内，过点。作X轴的平行线

交抛物线于点E,作y轴的平行线交X轴于点G,过点E作EFJ_x轴，垂足为点F,当四边形OEFG的

周长最大时，求点。的坐标；

(3)如图2,点M是抛物线的顶点，将AMBC沿BC翻折得到^NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上

找一点P,使得APQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.

【分析】⑴把A(-l,O),C(0,5)代入y=-)+⅛r+c,解二元一次方程组即可得从C的值，令y=0即

可得"，的值；

⑵设。(x,-Λ2+4X+5),则E(4-X,-X2+4X+5),表示出四边形£>£7P的周长，根据二次函数的最值即

可求解；

⑶过点C作C”,对称轴于“，过点N作NKLy轴于K,证明aMC“四ANCK,根据全等三角形的性质

得NK=MH=4,CK=CH=2,则M-4,3),利用待定系数法可得直线BN的解析式为y=-L+"，

33

可得Q(0,ɪ),设P(2,p),利用勾股定理表示出PQ2、B产、BQ2,分两种情况：①当∕8QP=90°时，

3

②当/Q8尸=90°时，利用勾股定理即可求解.

【解析】⑴把A(-l,0),C(0,5)代入y=-⅛x+c,

得(T-b+c=0,

Ic=5

解得［b=4

Ic=5

・・・这个抛物线的解析式为：y=-χ2+4x+5,

令y=0,则-JV2+4X+5=0,解得元］=5,χ2=-1,

.∖B(5,0),

••777=5；

(2)∙.∙抛物线的解析式为：y=-Λ2+4X+5=-(X-2)2+9,

.∙.对称轴为x=2,

设D(x,-Λ2+4X+5),

轴，

.,.E(4-X,-/+4x+5)>

；过点。作X轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交X轴于点G,过点E作4_LX轴,

四边形DEFG是矩形，

四边形DEFG的周长=2(-/+4χ+5)+2(X-4+x)=-2JΓ+12X+2=-2(x-3)2+20,

.∙.当x=3时，四边形OEFG的周长最大，

当四边形OEFG的周长最大时，点。的坐标为(3,8)；

(3)过点C作CHL对称轴于H,过点N作NKLy轴于K,

：./NKC=NMHC=90°,

由翻折得CN=CM,NBCN=NBCM,

∙.,β(5,O),C(0,5).

：.OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=45a,

•.•。〃，对称轴丁”,

・・・C”〃X轴，

：.ZBCH=45°,

：.ZBCH=ZOCB1

：./NCK=/MCH,

：./XMCHmANCK(AAS),

：・NK=MH,CK=CH,

Y抛物线的解析式为：y=-X2+4X+5=-(X-2)2+9,

，对称轴为X=2,M(2,9),

ΛMH=9-5=4,CH=2,

：.NK=MH=4,CK=CH=2,

"(Y,3),

设直线BN的解析式为y=mx^n,

1

.(4m+n=3,解得,

{5m⅛ι=05

n"3^

.∙.直线BN的解析式为J=-匕+且,

33

.∙.(2(0,回),

3

设尸(2,p),

22

ΛPβ=2+(p-旦)2=p2_⅛,+61

Ba=(5-2)2p2=9+p2,

BQ1=52+⅛2=25+空,

39

分两种情况:

①当NBQP=90°时，BP2=PQ2+BQ1,

9+∕=p2,也p+旦l+25+空，解得P=骂,

3993

点P的坐标为(2,23)；

3

②当NQBP=90°时，P'Q1=BP'2+BQ1,

；.p2--lθ-p+Ak=9+p2+25+-^->解得p--9,

399

...点P'的坐标为(2,-9).

综上，所有符合条件的点尸的坐标为(2,年)，(2,-9).

满分训练.

I

1.(2022•公安县模拟)如图，已知二次函数y=-χ2+bx+c经过A,B两点,8C_Lx轴于点C,且点A(-l,

0),C(2,0),AC=BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是抛物线AB之间的一个动点(不与A,B重合)，求SMBE的最大值以及此时E点的坐标；

(3)根据问题(2)的条件，判断是否存在点E使得aABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果

不存在，说明理由.

【分析】(1)先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b.c的方程

组，从而可求得氏c的值；

(2)过点E作EF∕∕y轴交线段AB于点F,设点£(/,-∕2+2∕+3),则F",f+l),则可得到EFliX的函数

关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得aABE的面积；

2

⑶存在，设E(%,-m+2m+3),分三种情况：分别以4,B,E为直角顶点,作出辅助线，构造相似列

出方程，解方程即可.

【解析】⑴：点4-1，0),C(2,0),

."C=3,OC=2,

∖ΛAC=BC=3,

ΛB(2,3),

把A(-1,O)和BQ,3)代入二次函数y=7+fcr+c中得:

(Tf+c=0,解得"b=2,

(-4+2b+c=3IC=3

二次函数的解析式为：y=-W+2x+3;

(2):直线AB经过点A(-1,0),8(2,3),

设直线AB的解析式为y=fcr+∕√,

y

t.∫-k+b=Oi解得：(k=l,

l2k+by=3lby=1

宜线AB的解析式为：y=x+l,

如图，过点E作E/〃y轴交线段A3于点F,

二设点-t2+2t+3),则尸(f,f+l),

.,.EF=-t1+2t+3-(/+1)=-(LA)2+-∣-,

当r=工时，EF的最大值为a,

24

点E的坐标为(工，」立)，

24

此时SAABE最大，SΛABE=-,EF,(Xβ-KA)=-×-×(.2+∖)=—.

2248

(3)在问题(2)的条件下，存在点E使得aABE为直角三角形；

2

设E(∕n,-fn+2m+3),①当点A为直角顶点，过点A作A8的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不

可能存在点E使得aABE为以点A为直角顶点的直角三角形,

②当点8为直角顶点，如下图，此时∕E84=90°,过点E作EG_LC8,交C8延长线于点G,

.∙.ZXABC是等腰直角三角形，∕A8C=45°,

.∖ZEBG=45°,

.'.△8EG是等腰直角三角形，EG=BG,

VEG的长为点E与直线BC的距离，即2-m,且BG=CG-BC=-m1+2m+3-3=-m2+2m,

Λ2-ιn==-m2+2m,解得m=1或∕n=2(舍),

.∙.E(1,4)；

③如下图，此时/AEB=90°,作EM〃x轴，交CB的延长线于点M,过点A作ANLX轴交ME的延长

线于点M

∙NBEM+NAEN=90°,

・・•在RtZVlEN中，NE4N+NAEN=90°,

・・・ZBEM=NEAN,

LAENSABEM,

：.BM：EN=EM:AN,

Λ(-w2+2m):(w+1)=(2-m)：(-w2+2m+3),即-m(2-m)(m+l)(m-3)=(2-m)(m+l),

V2-∕77≠O,∕W+1≠0,

.'.∕n2-3∕π+l=0,

解得"?=生运或",=如叵(舍).

_22

♦F(3-5∙÷V^)

••22__

综上，根据问题(2)的条件，存在点£(1,4)或(Q5,昱近_)使得AABE为直角三角形.

22

2.(2022•高邮市模拟)如图，抛物线y=οx2+bx-3经过A(-1,0),与y轴交于点C,过点C作BC〃x轴,

交抛物线于点8,连接AC、AB,A8交y轴于点£>,若毁

CD2

(1)求点B的坐标；

(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于X轴上方，连接外、PC,若△/¾C是以4C为直角边的直角三角

形，求点P的坐标.

【分析】⑴根据A(-l,0),得到OA=/,对于y=0r2+⅛v-3,令X=O,则y=-3,得到C(0,-3),

OC=3,根据8C〃x轴，得到AAOOSasC。，推出烈M_」，得至I」BC=2,即可得8(2,-3)；

BCCD2

⑵把A(-l,0),BQ,-3)代入y=0x2+fex-3,求得α=l,b=-2,得到抛物线解析式并配方为y=jc2

-2χ-3=(χ-I)2-4,得到抛物线的对称轴是直线x=l,设P(l,in),写出附2=^+22=,/+4,Pd=

(W+3)2+12=(∕M+3)2+1.AC2=12+32=1O.根据ARlC是以AC为直角边的直角三角形，当/孙C=90。

时∙，PA2+AC2=PC2.得到，〃2+4+10=("?+3y+1,求得,*=2；当NPc4=90。时，PC2+AC2=AP1,得到

3

(m+3)2+l+10=m2+4,求出m=-且;即可得点P的坐标.

3

【解析】VA(-1,0),

.".OA=l,

在y=αx2+fcr-3中，令X=0,则y=-3,

ΛC(O,-3),

OC=3,

：8C〃x轴，

：.AAODsABCD,

•.•OA=-O--D-=—1,

BCCD2

:∙BC=2,

ΛB(2,-3)；

⑵把A(-1,O),B(2,-3)代入y=0r2+次-3,

.∙∕a-b-3=0,解得卜=1,

I4a+2b-3=^3Ib=-2

.∙.抛物线解析式为丫=/-微-3=3-1)2-4,

.∙.抛物线的对称轴是直线X=1,

设尸(1,M，

fA2=∕n2+22=m2+4.

PC2=(m+3)2+ɪ2-(5+3)2+1

Aea=I2+32=10.

V^PAC是以AC为直角边的直角三角形，

当N∕¾C=90°时，PA2+AC2=PC2.

.,.m2+4+10=(Mj+3)2+l,解得,”=2；

3

当NPeA=90。时，PC1+AC2^AP1,

(m+3)2+l+10=ffj2+4,解得m=-g(不符合题意,舍去).

3

.∙.P(1,2).

3

3.(2022•碑林区校级模拟)如图，已知抛物线y=-Λ2+6X+C与X轴交于A(-2,0),8(4,0)两点.

⑴求6,C的值；

(2)点E为抛物线y=-/+法+c上一点，且点E在X轴上方，连接BE,以点E为直角顶点，BE为直角

边，作等直角aBEQ,使得点。恰好落在直线y=x上，求出满足条件的所有点E的坐标.

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设0(，”，〃?)，E(n,-n2+2n+8),分两种情况：当点El在点Z)左侧,NDElB=90°,BEi=DiEiW，

0

当点反在点£>2右侧，ZD2E2B=W,BE2=D2E2时,利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等

三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案.

【解析】⑴；抛物线y=-x2+fec+c与X轴交于A(-2,0),8(4,0)两点，

.f-⅛-2b+c=0

1-16+4b+c=0

解得：(b=2,

lc=8

,/7=2,c=S；

(2)；点D在直线y=x上，点E在抛物线解析式为y=-/+2x+8上，

二设。(m，m),E{n,-M+2"+8),

当点El在点。左侧，NDEIB=90°,BEI=DIEl时，如图，过点EI作EiG〃x轴，过点B作3凡LEG

于点F,过点Di作DIGIEIG于点G,

则/8尸Ei=NEiGZ)!=90°,BF=-Λ2+2n+8,EiF=A-n,E∖G=m-n,D∖G=m-(-n2+2w+8)=,j2-

2〃-8+加，

.∖ZE↑BF^ZBE↑F=90a,

；NDIEIG+NBEιF=90°,

.".ZEiBF=ZDiEiG,

在ABEif和aEiOiG中，

,

ZBFE1=ZE1GD1

<ZE1BF=ZD1E1G,

BEl=DIEl

△BEiF^∕XE∖D∖G(AAS),

：.EiF=DiG,BF=EiG,

.4^n=n2-2∏-8+m.

・♦(9

2

「n+2n+8=m-n

解得"m=10,

1n=2

当"=2时，-/+2,+8=-22+2X2+8=8,

ΛE∣(2,8)；

当点E2在点。2右侧，ND2E2B=90°,BE2=Q2E2时，如图，过点E2作反“，X轴于点”，过点。2作

D2KlE2H于点K,

22

则N8HE2=∕E2KC>2=90°,BH=4-”,E2H^-n+2n+8,E2K^-n+2n+8-m,D[K=n-m,

同理可得AE2D2K(AAS),

.∙.E2H=6K,BH=E2K,

f2

.-∏+2n+8=n-m

•∙SO,

-

l4n=~n+2Π÷8~IR

解得」mS-l或卜=√V-1,

ln=l+VVIn=I-VV

Λf(l+√7.2)或(1-√7.2)；

综上所述，满足条件的所有点E的坐标为(2,8)或(l+√7,2)或(l-√7,2).

4.(2022♦雁峰区校级模拟)如图，抛物线y=-/+fev+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,直

线y=∕x+l与X轴交于点E,与)，轴交于点D

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为抛物线上的点，连接。P交直线OE于Q,当Q是OP中点时，求点P的坐标；

(3)M在直线QE上，当ACQM为直角三角形时，求出点”的坐标.

ɔ[-1-b÷c=0

【分析】⑴根据抛物线y=-f+⅛r+c经过A(-1,0),8(3,0)两点，列方程组＜,于是得到

-9÷3b+c=0

答案；

(2)令X=0,贝IJy=JLX+1=1,求得0。=1,作PHj_08,垂足为H,得到/COA=∕P"O=90°,根据

平行线的性质得到∕P=∕OOQ,/PFQ=NOOQ,根据全等三角形的性质得到PF=Oo=1,设。点横

坐标为X,得到方程-Λ2+2X+3-(1b+l)=l,求得为=2,X2—^ɪ,当x=2时，y=3,当X=-工时，y

222

=工，于是得到答案；

4

(3)求得CD=OC-Oo=2,设M(a,‰+l),分两种情况①当NCΛ∕0=9O°时，②当/£)CM=90°时，

根据勾股定理即可得到结论∙

【解析】⑴∙.∙抛物线y=-χ⅛+c经过A(-1,0),8(3,0)两点,

.-l-b+c=0

-9+3b+c=0

解得：(b=2,

lc=3

・・.抛物线的解析式是y=-X2+2X+3;

⑵令x=0,则y=Lr+l=I,

2

.∙.oo=ι,

如图，作P//J_O8,垂足为“，交ED于F,

：.ΛOPF=ADOQ.ZPFQ=ZODQ,

又。是Op中点，

：.PQ=OQ,

：.ΛPFQ^ΛODQ(AAS)f

：.PF=OD=\

设P点横坐标为X,K1J-X2+2X+3-(ɪr+1)=1,

解得：xι=2,Xi="ɪ,

2

当x=2时，y=3,当X=-工时，y—->

24

・•・点P的坐标是(2,3)或(-工，ɪ);

24

(3)令X=0,则y=-X2+2A∙+3=3,

.∙.OC=3,

：.CD=OC-OD=2,

设M。，LZ+1),

2

ΛCM2=Λ2+(3-L-l)2=Sq2_2〃+4,

24

DM2=a2+(-i-<7+l-l)2=-^-r/2,

24

.∖21=La2-2α+4+Sj,

44

解得：αι=A,42=0(舍去)，

5

当”=匡时，1+1=工，

525

.∙.M(A,ɪ);

55

②当Nf)CΛf=90°时,

.∖CD2+CM2=DM2,

22+^-a2-2a+4=-a2,

44

解得：（7=4,

当a=4时，L(+1=3,

2

ΛM(4,3)；

解法二：VZDCΛ√=90o,

CA/〃X轴,

.∙.La+l=3,角率得a—4,

2

.∙.M(4,3)；

综上所述：点M的坐标为(2，工)或(4,3).

55

5.(2022•平南县二模)如图，二次函数y=x2+⅛x+c的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且A(-

1,0),对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)直线/过点A与抛物线交于点P,当N∕¾B=45°时，求点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得ABCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标;

【分析】⑴设y=(χ-2)2+h用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2-4x-5;

(2)过点尸作PMj_x轴于点M,设P(Mw2-4m-5),根据/∕¾B=45°知AM=PM,B[J∣w2-4m-5∣=

m+↑,解得m的值,即可得尸的坐标是(6,7)或P(4,-5)；

(3)由y=f-4χ-5求出B(5,O),C(0,-5),设Q(2,7),有BC2=5O,BQ1=9+i1,CQ2=4+(r+5)2,分

三种情况：当BC为斜边时，9+r2+4+(r+5)2=50,当BQ为斜边时，50+4+(r+5)2=9+Z2,当CQ为斜边时，

2

50+9+z=4+(f+5)2,分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标.

【解析】⑴设y=(χ-2)2+h把A(-l,0)代入得：

(-1-2)2+⅛=0,

解得：k=-9,

；.y=(x-2)2-9=X2-4x-5,

答：抛物线的解析式为y=7-4x-5;

(2)过点P作PM±x轴于点M,如图：

设P(m,m2-4∕π-5),则PM=∖m2-4m-5|1

VA(-1,0),

/.AM=ιn+∖

VZΛ4B=45o

：.AM=PM,

∕∙∣∕w2-4m-5∣=∕n+l,

即m2-4加-5=∕n+l或m2-4nι-5=-(m+l),

当"P-4加-5=机+1时\解得：如=6,m2=-1(不合题意，舍去)，

当m2-4"?-5=-(∕n+l),解得加3=4,W=-1(不合题意，舍去)，

・•・尸的坐标是(6,7)或P(4,-5)；

(3)在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得48CQ是直角三角形，理由如下:

在y=∕-4χ-5中，令X=O得y=-5,令y=0得X=-I或x=5,

ΛB(5,0),C(0,-5),

由抛物线y=∕-4χ-5的对称轴为直线尤=2,设Q(2,/),

.'.BC2=50,8Q2=9+Z2,CQ2=4+(r+5)2,

当BC为斜边时，BQ2+CQ1=BC2,

Λ9+r+4+(∕+5)2=50,

解得f=-6或f=l,

此时0坐标为(2,-6)或⑵1)；

当8。为斜边时，βc2+cρ2=βρ2,

Λ50+4+(∕+5)2=9+Z2,

解得t=-7,

此时。坐标为(2,-7)；

当CQ为斜边时，BC2+BQ1=CQ2,

.∙.50+9+∕2=4+(f+5)2,

解得r—3,

.∙.此时Q坐标为(2,3)；

综上所述，。的坐标为(2,3)或(2,-7)或(2,1)或(2,-6).

6.(2022•太原一模)综合与实践

如图，抛物线y=∕+2r-8与X轴交于A,B两点(点A在点8左侧)，与y轴交于点C.点O在直线AC

下方的抛物线上运动，过点。作y轴的平行线交AC于点E.

(1)求直线AC的函数表达式；

(2)求线段。E的最大值；

(3)当点厂在抛物线的对称轴上运动，以点A,C,F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的

坐标.

【分析】(1)分别令X=O,y=O,求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；

(2)设D(rn,-8),贝!∣E(m,-2m-8),可得DE=-2A71-8-(∕π2÷2w-8)=-nι2-4m=-(w+2)2÷4,

运用二次函数的性质即可求得线段OE的最大值；

⑶设F(-1,〃)，根据两点间距离公式可得：AF2=32+H2=H2+9,AC2=42+82=80,CF2=12+(Π+8)2=

H2+16/7+65,分三种情况：①当NAFC=90°时，②当NC4b=90°时，③当NAeT7=90°时，分别建立

方程求解即可.

【解析】(1)在y=f+21-8中，令］=0,得y=-8,

ΛC(O,-8),

令y=0,得»+2%-8=0,

解得：Xi=-4,X2=2,

ΛA(-4,0),8(2,0),

设直线AC的解析式为严代+%,则j4k+b=O,

lb=-8

解得：”=-2,

Ib=-S

直线AC的解析式为y=-Zr-8；

(2)设D(m,m2+2m-8),则E(m,-Im-8),

；点。在点E的下方，

ɔɔɔ

ΛDE=-Im-8-(m~+2πι-8)=-ιrr-4m=-(AM+2)"+4,

V-1<0,

二当加=-2时,线段Z)E最大值为4；

(3)∙.∙y=∕+2x-8=(Λ-+1)2-9,

•••抛物线的对称轴为直线X=-1,

设厂(-1,"),又4(-4,O),C(0,-8),

.".AF2=32+n2=n1+9,AC2=42+82=80,CF2=l2+(n+8)2=rt2+16«+65,

①当NAFC=90°时，

∖,AF2+CF2=AC2,

.*.n2+9+∣r+16〃+65=80,

解得：nι=-4-√^19.«2=-4+V19.

∙,∙F(-1>^4-719)或(-1,-4+√19);

②当NCAF=90°时，

'JAF1+AC1CF1,

，“2+9+80=M2+16〃+65，

解得：n=—,

2

ΛF(-1,ɪ);

2

③当/4CF=90°时，

'JCF1+AC1=AF1,

Λn2+16n+65+80=∕z2+9,

解得：n=-lL,

2

.r17、

•∙r7l∖1，------）；

2

综上所述，点厂的坐标为（-1,-4或（-1,-4或（-1,3）或（-1,--ɪɪ-）.

22

7.（2022∙桐梓县模拟）在平面直角坐标系XOy中，已知抛物线y=-gχ2耳耳乂十^巧与X轴交于人，B

两点（点3在点A的右侧），与y轴交于点C,它的对称轴与X轴交于点。，直线乙经过C,D两点,连接

（1）求A,B两点的坐标及直线L的函数表达式；

（2）探索直线L上是否存在点E,使CE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理

由.

【分析】（1）令x=0,y=0,可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求。点坐标，利

用待定系数法求直线解析式即可；

⑵设£（/,-√3∕+2√3）,分三种情况讨论：①当∕CAE=90°时，AC2+AE2=CE2,②当NACE=90°

时，AC2+CE1=AE1,③当∕AEC=90°时，AE2+CE2≈4C2,分别利用勾股定理求解即可.

2γ-χ2-t^-χ+2√3=°'

【解析】(1)令y=0,则-

解得X=-2或x=6,

ΛA(-2,0),8(6,0),

令X=0,贝IJy=2我，

ΛC(0,2√3),

“=一容2筲χ+2)?+8«

，抛物线的对称轴为直线》=2,

.∙.O(2,0),

设直线CD的解析式为y=fcx+∕b

.(b=2√3

"12k+b=θ'

解得［k=T^,

lb=2√3

ʌ,v=-+2我：

(2)在点E,使AACE为直角三角形，理由如下:

设£(，，-√3∕+2√3).

.,.AC2=16,AE2=4r-8r+16,CE2=4?,

①当NcAE=90。时，ΛC2ME2=CE2,

Λ16+4?-8r+16=4r2,

.β.r=4,

.∙.E(4,2√3);

②当/4CE=90。时，AC2+CE2=ΛE2,

.∙.16+4∕2=4r2-8什16,

；，=0(舍)；

③当NAEC=90°时，AE1+CE2^AC2,

.".4I2-8f+16+4p=16,

.∙.f=0(舍)或t=∖,

∙,∙E(1,VS):

综上所述：E点坐标为(4,2五)或(1,Λ∕3).

8.(2022•沈阳模拟)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=αγ2+⅛r+c与X轴交于4-1,o),以3,0),

与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式.

⑵若点M是抛物线上B,C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MM当点N恰好

落在y轴上时,求点M,点N的坐标.

(3)如图2,若点E坐标为(2,0),EFLX轴交直线BC于点F,将aBEF沿直线BC平移得到aBEF,在

△BE尸移动过程中，是否存在使AACE为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E'

的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】⑴将4-1,0),8(3,0),C(0,-3)代入J=θr2+fev+c,即可求解；

⑵过点M作HG〃y轴，交X轴于点”，过点N作NGLHG交于点G,证明aAMH丝Z∖MNG(ΛASr),设

Λ∕(r,tλ-2t-3),由HM=NG,可求r=上Mɪl■即可求M、N点的坐标；

2

(3)设48EF沿X轴方向平移，个单位长，则沿y轴方向平移，个单位长，则E(2+r,/),分三种情况讨论：

①当NACE=90°时，过点E■作Ly轴交于点，，可得AACOsMEH,利用相似比可求成-工，

2

-ɪ);当N点与E重合时，也符合题意；②当/CAE'=90°时，过点A作MNLV轴，过