第二章 晶体的宏观对称性课件

第二章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第二章晶体的宏观对称性点阵(格子)晶胞（等效）晶向指数（等效）晶面指数第二章晶体的宏观对称性对称–物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的重复。对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。对称元素（要素）–对称动作所借助的几何元素（点、线、面等）。阶

–物体或图形通过全部对称操作得到的相同部分的数目。第一节对称性基本概念第二章晶体的宏观对称性晶体的平移周期性是晶体对称性的一种，它表现为晶体的结构基元在三维晶体空间的平移复原（对称操作为平移）。结构基元/晶胞中原子排列的几何规律导致晶体的对称性也包含非（完全）平移的对称操作，使得宏观晶体具有不同的外观及形状特征。晶体外形的对称性为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列反映的对称性为微观对称性。前者是有限大小宏观晶体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。两者本质上是统一的，微观对称性是晶体的本征性质，宏观对称性是微观对称性的外在表现。晶体的对称必须满足晶体对称性定律。第二章晶体的宏观对称性第二节晶体的宏观对称元素宏观对称元素(symmetryelement)和对称操作(symmetryoperation)对称动作类型对称元素对称操作

简单反映面对称中心旋转轴

反映反演旋转复合

反轴

旋转反演第二章晶体的宏观对称性反映面(reflection/mirrorplane)：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs第二章晶体的宏观对称性反映面的极射赤面投影反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身存在反映面，该晶体不存在对映体。第二章晶体的宏观对称性立方体中的反映面九个反映面第二章晶体的宏观对称性六个反映面三个反映面第二章晶体的宏观对称性对称中心(centreofsymmetry/inversioncentre)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。相应的对称操作为反演。对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci第二章晶体的宏观对称性对称中心的极射赤面投影第二章晶体的宏观对称性立方体中的对称中心

有无有第二章晶体的宏观对称性旋转轴(rotationaxis)：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。相应的对称操作为旋转。

在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（）。任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/=nn正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。第二章晶体的宏观对称性晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6次旋转轴。m’a=ma+2acos=ma+2acos(2/n)cos(2/n)=(m’-m)/2=M/2M=0,1,2,-1,-2

=0(360),180,120,90,60;n=1,2,3,4,6第二章晶体的宏观对称性惯用符号：L1L2L3L4L6国际符号：12346圣佛里斯符号:C1C2

C3

C4

C6第二章晶体的宏观对称性旋转轴的极射赤面投影第二章晶体的宏观对称性立方体中的旋转轴三个四次轴，四个三次轴，六个二次轴第二章晶体的宏观对称性三个二次轴，四个三次轴第二章晶体的宏观对称性反轴(inversion/rotainversionaxis)：物体或图形中存在一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合对称操作。先旋转后反演先反演后旋转1(2’)4(1’)2(3’)3(4’)1(3’)3(1’)2(4’)4(2’)第二章晶体的宏观对称性三个四次反轴

四个三次轴三个二次轴四个三次轴第二章晶体的宏观对称性反轴类型及其极射赤面投影2=m3=3+i4=4•i6=3+m第二章晶体的宏观对称性复合对称操作和对称元素的组合的区别复合对称操作：两个（以上）的对称操作连续进行，对称图形中不一定具有这些对称操作相应的对称元素，复合对称操作通常用点乘符号表示。如四次轴的旋转和对称中心的反演的连续操作表示为：4

i。对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组合表示为：4i。显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素，它们的连续操作必定为复合对称操作。第二章晶体的宏观对称性镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后，再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动作为旋转和反映的复合操作。一次镜转轴为反映面二次镜转轴为对称中心三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴）四次镜转轴为四次反轴六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴）第二章晶体的宏观对称性宏观对称元素对称元素旋转轴对称中心反映面反轴1234612346惯用符号L1L2L3L4L6CPL3L4L6圣佛里斯符号C1C2

C3

C4

C6

i(Ci)CsC3iS4C3h国际符号123461m346图示

双线或粗线

iii第二章晶体的宏观对称性第三节宏观对称元素组合原理反映面之间的组合反映面与旋转轴的组合旋转轴的组合第二章晶体的宏观对称性定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基转角为反映面交角的二倍。m1m2A1A2A3Ln第二章晶体的宏观对称性推论：基转角为2

的旋转轴可以分解为两个夹角为的反映面的连续操作。P1

•P2=Ln第二章晶体的宏观对称性定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时有n个反映面穿过此旋转轴。Ln+P/=LnnP/PLn=PP1P2=IP2=P2第二章晶体的宏观对称性第二章晶体的宏观对称性定理三：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称中心。L2n+P

=L2n

P

CL2

•P

=C第二章晶体的宏观对称性推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。L2n+C=L2nP

CL2

•C=P

第二章晶体的宏观对称性推论二：反映面和对称中心的组合，必有一垂直反映面的二次轴。P+C=L2P

CP•C=L2第二章晶体的宏观对称性推论三：晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次旋转轴的总数必等于反映面的总数。定理四：如果有一反映面穿过一反轴（或有一条二次旋转轴垂直于反轴）；当反轴轴次n为奇数，必有n个二次轴垂直于该反轴，并有n个反映面穿过该反轴；当反轴轴次为偶数时，必有n/2个二次轴垂直于该反轴，同时有n/2个反映面穿过该反轴，且反映面的法线与相邻二次轴的交角为360o/2n。推论：如果一条二次旋转轴与反映面斜交，反映面的法线与二次轴的交角为，则垂直于反映面法线和二次轴所决定的平面，存在一基转角为2的反轴。第二章晶体的宏观对称性黑色和红色分别为左、右形，实心为投影面上方，空心为投影面下方。n=3L3+C+P=L3C3P3L2L3+C+L2=L3C3P3L2n=4L4+P=L42P2L2L4+L2=L42P2L2iiii第二章晶体的宏观对称性欧拉定理：通过任意两个相交旋转轴的交点，必可产生第三个旋转轴，它的作用等于前两者的连续动作。新旋转轴的轴次及其与二原始旋转轴的交角决定于该二原始旋转轴的轴次及它们的交角。Ln1

•Ln2=Ln3Ln1

•Ln2=P1•P2•P3•P4=P1•I•P4=Ln3A:12B:1323=C第二章晶体的宏观对称性欧拉公式：A，B为两个相交的旋转轴，它们的基转角分别为2

，2，必存在一个旋转轴C，基转角为2，它们之间的关系为：cos(BC)=(cos+coscos)/sinsincos(AC)=(cos+coscos)/sinsincos(AB)=(cos+coscos)/sinsin

由于对称性定律的限制，晶体旋转轴只能为2，3，4，6，它们的组合结果有20种，其中六种实际存在：222，223，224，226，233，234。(其中222，223，224，226，是高次轴垂直于L2所在的平面；233出现在正四面体中；234出现在立方体或正八面体中）第二章晶体的宏观对称性第二章晶体的宏观对称性推论一：两个二次轴相交，交角为

/2，则垂直于这两个二次轴所定平面，必有一基转角为的n次轴。推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基转角的一半。二次轴和四次轴的组合L44L2第二章晶体的宏观对称性总结：反映面的组合旋转轴反映面和旋转轴的组合旋转轴

对称中心

反轴旋转轴的组合旋转轴第二章晶体的宏观对称性第四节晶体的三十二点群晶体点群的推导晶体的分类晶体的定向与点群的符号晶体的晶型六方晶系的四轴定向分子的对称性第二章晶体的宏观对称性

晶体点群的推导宏观对称元素也称为点对称元素。晶体的点对称元素组合产生的宏观对称类型称为点群。晶体的宏观对称元素包括L1，L2，L3，L4，L6，P，C，L4等。反映面的组合会产生旋转轴，旋转轴的组合只产生旋转轴，所以通过对称元素的组合推导点群的一般原则为：1、首先导出旋转轴组合的对称类型。2、旋转轴型分别与反映面、对称中心和反轴组合得到其他对称类型。i第二章晶体的宏观对称性一、旋转轴的组合1、单一旋转轴：2、高次轴与二次轴的组合：L1(C1),L2(C2),L3(C3),L4(C4),L6(C6)。L3

+L2=L33L2(D3)L4+L2=L44L2(D4)L2+L2=L22L2(D2)L6+L2=L66L2(D6)L22L2L33L2L44L2L66L2第二章晶体的宏观对称性3、高次轴的组合：4L33L2(T),4L33L46L2(O)旋转轴型的对称类型共11种。组合原理：欧拉定理及推论第二章晶体的宏观对称性L33L2第二章晶体的宏观对称性3L24L3第二章晶体的宏观对称性二、旋转轴型与反映面的组合旋转轴型与反映面组合的基本原则是，对称类型不能在新的方向上产生旋转轴，否则组合结果将与欧拉定理矛盾，或产生重复的对称类型。因此，反映面应与旋转轴垂直、或穿过旋转轴、或平分两个相同旋转轴的夹角。

对于具有多个旋转轴的对称类型，反映面垂直或穿过的旋转轴，一般选取与两个（以上）相同旋转轴垂直的旋转轴。1、垂直4次轴，穿过2次轴。2、穿过4次轴，垂直2次轴，穿过2次轴。3、穿过4次轴，平分2次轴间夹角。1、垂直2次轴，穿过4次轴，穿过2次轴。2、穿过2次轴，垂直4次轴。第二章晶体的宏观对称性1、旋转轴与反映面垂直L1+P

=P(Cs)L2+P

=L2PC(C2h)L3+P

=L3P(C3h)L4+P

=L4PC(C4h)L6+P

=L6PC(C6h)3L2+P2=3L23PC(D2h)L33L2+P3=L33L24P(D3h)L44L2+P4=L44L25PC(D4h)L66L2+P6=L66L27PC(D6h)3L24L3+P2=3L24L33PC(Th)4L33L46L2+P4=4L33L46L29PC(Oh)组合原理：定理三及推论（C2h,C4h,C6h,D2h,D4h,D6h,Th,Oh）

定理四或定理二（D3h）第二章晶体的宏观对称性L6PCL33L24P3L24L33PC3L44L36L29PC第二章晶体的宏观对称性L33L24P第二章晶体的宏观对称性3L24L33PC第二章晶体的宏观对称性2、反映面穿过旋转轴1）单一轴型L2+P/=L22P(C2v)L3+P/

=L33P(C3v)L4+P/=L44P(C4v)L6+P/=L66P(C6v)2）反映面平分相邻二次轴夹角L22L2+Pd=L42L22P(D2d)（定理四）iL33L2+Pd=L33L23PC(D3d)（定理三及推论）

3L24L3+Pd=3L44L36P(Td)（定理四）i3L44L36L2+Pd=3L44L36L29PC(Oh)（定理三及推论）组合原理：定理二第二章晶体的宏观对称性L66PL42L22PiL33L23PC3L44L36Pi第二章晶体的宏观对称性L42L22Pi第二章晶体的宏观对称性L33L23PC第二章晶体的宏观对称性3）反映面垂直或穿过二次轴L22L2+P=3L23PC(D2h)L44L2+P=L44L25PC(D4h)L66L2+P=L66L27PC(D6h)3L24L3+P=3L24L33PC(Th)3L44L36L2+P=3L44L36L29PC(Oh)L33L2+P1=L33L23PC(D3d)L33L2+P2=L33L24P(D3h)旋转轴和反映面的组合的对称类型有18种。第二章晶体的宏观对称性三、旋转轴与对称中心的组合L1+C=C(Ci)L3+C=L3C=L3(C3i)i四、四次反轴与其他对称元素的组合L4+P

=L4PC(C4h)iL4+P/=L42L22P(D2d)iiL4+C=L4PC(C4h)i旋转轴与对称中心组合的对称类型有2种。四次反轴(S4)为新的对称类型。L4+L2=L42L22P(D2d)iiL4+L3=3L44L36P(Td)iiL4+L3=3L44L36L29PC(Oh)ii第二章晶体的宏观对称性轴的组合：11种垂直于主轴加反映面：11种穿过主轴加反映面：7种加对称中心：2种4次反轴：1种晶体共有32种宏观对称类型，即32点群。晶体的宏观对称类型共计第二章晶体的宏观对称性晶体32点群的极射赤面投影第二章晶体的宏观对称性

晶体的分类一、根据32点群对称特征，晶体分为七个晶系（crystalsystem）：立方晶系有四个3次轴四方晶系唯一的高次轴为4次轴或4次反轴六方晶系唯一的高次轴为6次轴或6次反轴三方晶系唯一的高次轴为3次轴和3次反轴正交晶系二次轴或反映面大于1单斜晶系二次轴或反映面等于1三斜晶系只有1次轴第二章晶体的宏观对称性4L33L46L29PC(Oh)全对称类型4L33L46P(Td)i4L33L23PC(Th)4L33L46L2(O)4L33L2(T)第二章晶体的宏观对称性二、晶体的32点群反映了晶体的宏观对称特征，又称为32种对称型。具有同一对称型的晶体称为一个晶类。与点群相对应，晶体分为32晶类（crystalclass）。三、Acrystalfamilyisthesmallestsetofspacegroupscontaining,foranyofitsmembers,allspacegroupsoftheBravaisflockandallspacegroupsofthegeometriccrystalclasstowhichthismemberbelongs.(Vol.Ap729)晶族是最小的一组空间群，属于同一晶类的空间群和具有相同点阵对称性的空间群都属于同一晶族。(吴国庆，大学化学15(1),(2000)15.)晶体分为六个晶族：立方晶族，四方晶族，六方晶族（六方和三方晶系），正交晶族，单斜晶族和三斜晶族。第二章晶体的宏观对称性六方点群六次轴对称性的点阵三方点群三次轴对称性的点阵三方点群六次轴对称性的点阵六方晶族第二章晶体的宏观对称性晶体的定向对晶体按晶系选用适当的坐标系第二章晶体的宏观对称性银晶体在不同生长条件下的部分形态第二章晶体的宏观对称性立方晶系a=b=c,===90o四方晶系a=bc,===90o六方晶系a=bc,==90o,=120o三方晶系a=b=c,==90o

a=bc,==90o,=120o正交晶系abc,===90o单斜晶系abc,==90o,90o三斜晶系abc,

晶系的划分依据的是晶体的对称性，而不是根据晶胞形状划分。七个晶系的晶胞形状第二章晶体的宏观对称性点群的国际符号a=b=c,===90oa=bc,==90o,=120oa=bc,==90o,=120oa=bc,===90oabc,===90oabc,==90o,90oabc,第二章晶体的宏观对称性a/<100>方向：有平行的4次轴和垂直的反映面。a+b+c/<111>方向：有平行的3次轴。a+b/<110>方向：有平行的2次轴和垂直的反映面。以Oh（3L44L36L29PC）为例说明点群的国际符号。简写国际符号表示的一般原则：决定晶系的特征对称元素所属方向上的对称元素全部保留，其他方向如同时存在旋转轴和反映面，只保留反映面。Oh点群的简写国际符号表示为：m3m或m3mOh点群的全写国际符号为：第二章晶体的宏观对称性第二章晶体的宏观对称性续表第二章晶体的宏观对称性

对于点群，给定一个晶面，通过点群的全部对称操作，得到的一组面，称为单形，记为{hkl}。其中的每一个晶面为等效晶面。由若干组单形构成的晶体外形为聚形。

如晶面在一般位置，对称操作得到的单形为普形。如晶面在特殊位置，得到的单形为特形。

闭形为封闭的等面多面体单形，不能形成闭合多面体的单形为开形。•晶体的晶形第二章晶体的宏观对称性对于m3m点群，{111}晶形的等效晶面为：(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111)晶形为正八面体（特形、闭形）。{100}晶形的等效晶面为：

(100)，(010)，(001)，(100)，(010)，(001)晶形为立方体（特形、闭形）。对于4/m点群，{111}晶形的等效晶面为：(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111)晶形为四方双锥普形（普形、闭形）。{100}晶形的等效晶面为：

(100)，(010)，(100)，(010)，晶形为四方棱柱（特形、开形）。第二章晶体的宏观对称性（a）普形，闭形（b）特形，开形（c）特形，开形（d）聚形，闭形C4h（4/m）的一些晶形第二章晶体的宏观对称性六方晶系的四轴定向三轴定向四轴定向Miller-Bravais指数：(hkil)i=-(h+k)第二章晶体的宏观对称性47种单形的分类

单形分类的依据是晶体的外形而不是它的微观结构。由于单形分类只考虑外形不考虑内部结构，所以不同对称类型、甚至不同晶系推得的同样单形也只算1种，这就减少了单形的数目。例如在D4h

，D6h

两种类型中，当出发面垂直于主轴时，就只得到板形，显然他们在晶体中形状上、内部结构上都不相同，单这两种和所有的对称类型推得的板形只算1种。这样一来，大大减少了单形数目，单形共有47种。在对称中心、反映面的对称类型中，单形有左右形，这里只算一种，否则单形还不止47种，将有58种。第二章晶体的宏观对称性低级晶系单形斜方四面体：是由两个不等边三角形所组成，该单形仅见于3L2对称型中，单形的每个棱中点均有L2对称型中，单形的每个棱中点均有L2显露。斜方单锥：由4个不等边的三角形组成。仅见于L22P对称型中斜方双锥：由8个不等边的三角形组成，相邻的4个临位面聚于一点，横切面为菱形，仅见于3L23PC对称型中

从以上各单形的形态可以看出，该晶系单形简单，以开形为主，这是由于对称要素所决定的。单面：单形为一个晶面，无任何对称要素同另一个晶面重合。平行双面：单形是由两个彼此平行的晶面组成双面：由两个相交的晶面组成。两者可通过L2或对称面使之重合斜方柱：由4个晶面组成，晶面两两互相平行，它的横切面为菱形，这点可与其他柱状单体相区别第二章晶体的宏观对称性中级晶系按单形特征归纳为如下几种类型：柱类：这类单形晶棱相互平行，而且与晶体的高次对称轴平行，根据晶面数目和单形横截面的形状，再细分如下：三方柱、四方柱、六方柱、复三方柱、复四方柱、复六方柱单锥类：该类单形：三方单锥、四方单锥、六方单锥、复三方单锥、复四方单锥和复六方单锥。这些顶点相交于高次对称轴，其横切面和晶面数目与相应的柱体相同。中级晶系第二章晶体的宏观对称性中级晶系单形单锥类：该类单形：三方双锥、四方双锥、六方双锥、复三方双锥、复四方双锥和复六方双锥,它们的形状犹如两个单锥以底相结合而成，双锥的尖端相连为高次对称轴方向，上下晶面恰好两两相对。偏方面体类：该单形包括3个类型：三方偏方体、四方偏方体、六方偏方体。由于该单形是由偏四方形的面所组成，而且该四边形只有两个边是相等的，另外的两个边则为一长一短，偏方面体是左右对称型，它可分为右形偏方面体或左型偏方面体。

(a)四方四面体和复四方三角面体

(b)菱面体和复三方偏三角面体中级