（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 3.4 函数的应用(一)【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)3．4函数的应用(一)【考点梳理】考点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.考点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．考点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．【题型归纳】题型一：二次函数模型1．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）某体育用品商场经营一批每件进价为40元的运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：销售单价x（元）6062646668…销售量y（件）600580560540520…根据表中数据，解答下列问题：（1）建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；（2）试求销售利润z（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（销售利润＝总销售收入－总进价成本）；（3）在（1）（2）条件下，当销售单价为多少元时，能获得最大利润？并求出此最大利润.2．（2023·湖南省邵东市第三中学高一月考）邵东市某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若一天要保证利润不低于10800元，则提高的价格应该是多少？；（3）在（2）情况下订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？题型二：分段函数模型3．（2020·黔西南州同源中学高一期中）某城市出租车，乘客上车后，行驶内收费都是10元，之后每行驶加收2元，超过，每行驶加收为3元（假设途中一路顺利，没有停车等候），若乘客需要行驶.（1）求付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；（2）当出租车行驶了后，乘客是中途换乘一辆出租车还是继续乘坐这辆出租车行驶完余下的路程，哪一种方式更便宜？4．（2023·内蒙古赤峰市·高一期末（文））甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本），销售收入，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？题型三：幂函数模型5．（2023·河南平顶山市·高一期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？6．（2020·全国高一课时练习）某公司研发芯片耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入（平万元）与投入的资金x（千万元）成正比，已知每投入1千万元，获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金）【双基达标】一、单选题7．（2023·全国高一课时练习）一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（）A． B．C． D．8．（2023·全国高一课时练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（）m．A．400 B．12 C．20 D．309．（2023·全国）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A．135 B．149C．165 D．19510．（2023·全国高一课时练习）某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（）A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元11．（2023·全国高一课时练习）下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）①这几年生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．412．（2023·全国高一课时练习）已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（）A．480 B．120 C．441 D．14113．（2023·全国高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【高分突破】一：单选题14．（2023·全国高一课时练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（）A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米15．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．56016．（2020·南昌市八一中学）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．二、多选题17．（2023·全国高一课时练习）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（）A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变18．（2023·全国高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为19．（2023·全国高一专题练习）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值C．最小值为万元 D．最小值为万元20．（2020·全国）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用三、填空题21．（2023·全国高一课时练习）某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米元.李明家的使用面积为平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过_______平方米.22．（2023·全国高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.23．（2023·全国高一专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．24．（2023·全国高一课时练习）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买.若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.四、解答题25．（2023·全国高一课时练习）重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.（1）求函数的解析式；（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？26．（2023·全国）创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神.小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，在年产量不足8万件时，(万元)；在年产量不小于8万件时，(万元).每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？27．（2023·全国）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：（1）将利润（单位：元）表示成月产量x的函数（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）28．（2020·福建省南安市柳城中学高一月考）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？29．（2023·全国高一专题练习）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．30．（2020·全国高一课时练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.31．（2023·全国高一课时练习）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案详解】1．（1）；（2）；（3）当销售单价为时，能获得最大利润，最大利润元．.【详解】（1）由数据知，点，在一条直线上，设函数为，则解得：，解析式为：；（2）由已知条件可得；（3），时，能获得最大利润，最大利润元．2．（1）（其中且为的整数倍）；（2）价格为；（3）一天订住34个房间时，最大利润是元．【详解】（1）由题意，宾馆有50个房间供游客住宿，房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可得与的函数关系式为（其中且为的整数倍）.（2）由（1）可得订住的房间数为，所以宾馆的利润为，要使得一天要保证利润不低于10800元，令，即，整理得，解得，又由且为的整数倍，所以提高的价格应元.（3）由（2）知，宾馆的利润为，可得抛物线的对称轴为，且开口向下，因为，可得当时，函数单调递增，所以当时，此时房间的价格为元，利润取得最大值，最大值元，此时订出的房间数为间.3．（1）；（2）换乘一辆出租车便宜．【详解】（1）所求函数的关系式为；（2）当继续行驶下去时，，当换乘一辆出租车时，，因此，换乘一辆出租车便宜．4．（1）；（2）当甲厂生产百台时，可使盈利最多.（1）当时，，当时，，故；（2）当时，，此时（万元），当时，函数单调递减，则.综上所述，当甲厂生产百台时，可使盈利最多.5．（1）；（2）年.【详解】解：设今年碳排放量为.（1）由题意得，所以，得.（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，将代入得，即，得.故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.6．(1),；(2)见解析；(3)见解析.【详解】（1）由题易得生产A芯片的毛收入为；将，，代入，得，所以，所以，生产B芯片的毛收入为.（2）由，得；由，得；由，得.所以，当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大.（3）设投入x千万元生产B芯片，则投入千万元资金生产A芯片.公司所获利润.故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.7．D【详解】依题意得，所以，由三边形三边关系可得，即，解得.因此，函数解析式为.故选：D.8．C【详解】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，0<<40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400．故选：C.9．B【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B10．A【详解】由第③种方案可知，，，，，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张：(元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)，所以共需要(元).故选：A.11．C【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．故选：C.12．C【详解】记旅游日收益为，当时，,，所以，所以所以，取等号时；当时，，，所以，显然在上单调递减，所以，由上可知：旅游日收益的最小值为万元，故选：C.13．A【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.14．B【详解】该女生训练前立定跳远距离为（米），训练后立定跳远距离为（米），则该女生训练后，立定跳远距离增加了（米）.故选：B．15．C【详解】解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，不超过3000的部分税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元．故选：．16．A【详解】当点在上时：当点在上时：当点在上时：由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数故选：A17．AC【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.故选：AC18．ABCD由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，代入点，可得，解得，所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；设当时，设与之间的函数关系式为代入点，可得，解得，所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.故选：ABCD.19．BD【详解】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，故选：BD20．ABCD【详解】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的费用与证书数量x满足的函数关系为，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；易知当时，与x之间的函数关系式为，故D正确当时，，因为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故E不正确.故选ABCD21．【详解】解：设李明家建筑面积为平方米，按方案（1），李明家需缴元，按方案（2），李明家需缴元，因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，则，解得，所以它的建筑面积最多不超过80平方米.故答案为：80.22．【详解】设红豆有粒，白豆有粒，由第一轮结果可知：，整理可得：；由第二轮结果可知：，整理可得：；当时，由得：（舍）；当时，由得：（舍）；当时，由得：，，即红豆和白豆共有粒.故答案为：.23．7【详解】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.故答案为：724．700【详解】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，设实际付款元对应的原价为元，所以，解得，所以两次付款的原价之和为：元，若按方案二付款，则实际付款为：元，所以节省的钱为：元，故答案为：.25．（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.（1）因为，所以，由题意得：，解得：，所以函数的解析式为：，（2）由题意知：利润为，因为，所以当时，取得最大值，最大值是.所以利润与销售单价之间的关系式为，销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.26．（1）；（2）当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.【详解】解：（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元.依题意得，当0<x<8时，P(x)=10x--5=+6x-5；当x≥8时，P(x)=10x--5=28-.所以P(x)=；（2）当0