2024届常州市高三数学上学期期末学业水平监测试卷附答案解析

届常州市高三数学上学期期末学业水平监测试卷2024.01注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（

）A．1 B． C． D．3．已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（

）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．34．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件5．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（

）A． B． C． D．6．已知正三棱锥的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点到平面的距离是（

）A． B． C．3 D．7．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（

）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（

）A．B．当天下午3：00温度最高C．温度为是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于11．在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（

）A．存在点，使得平面B．不存在点，使得直线与平面所成的角为C．的最小值为D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是12．关于函数，下列说法正确的有（

）A．函数的图象关于点对称B．函数在上单调递增，在上单调递减C．若方程恰有一个实数根，则D．若，都有，则三、填空题：本题共4小题．13．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是．14．已知函数若，则实数的值为．15．如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式．18．某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.997419．记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．(1)若，求的值；(2)若，求的值．20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，是的中点，是线段上一点，且//平面，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值．21．已知函数，曲线在点处切线方程为．(1)讨论函数在上的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．22．已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，．(1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围；(2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围．1．A【分析】解集合中的方程和不等式，得到这两个集合，再由并集的定义求解.【详解】方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故选：A．2．A【分析】根据复数的几何意义判断即可.【详解】由题意得，，，则对应复数1.故选：A．3．C【分析】结合对数的运算，以及对数函数的性质，一一判断①、②、③，即可得答案.【详解】当时，，③可能成立．，时，，，，，，，即，此时，①可能成立．当，时,，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故选：C．4．B【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，一一判断各选项中两条件之间的推理关系，即可判断出答案.【详解】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错．对于B，，“”是“”的必要条件，B对，对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立，故“”不是“”的充分条件，D错误，故选：B．5．B【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案.【详解】令，则，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故选：B．6．C【分析】根据正棱锥的性质得到，然后根据导数分析单调性得到时三棱锥的体积最大，最后求距离即可.【详解】设底面边长为，为的中心，则底面面积，，，，令，，，则时，，单调递增，时，，单调递减，，即时，，到面距离，则，.故选：C．7．A【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.【详解】构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.8．D【分析】方法一，由题意找到点满足的关系式，，由韦达定理可解；方法二：由题意可知点，在抛物线上运动，利用抛物线定义可解.【详解】方法一：如图建系，，圆，，，，，同理，，是的两根，，．方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，设，，在上的射影分别为，，，，，在抛物线上运动，两根为，，.故选：D．【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出点所在曲线的方程，进而结合韦达定理求解.9．BC【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，不妨设，则样本数据，，，的极差为，样本数据、、、的极差为，因为，则，故A错误；对于B选项，设样本数据，，，的平均数为，即，所以，样本数据、、、的平均数为，由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确；对于C选项，当时，设样本数据，，，的中位数为，样本数据、、、的中位数为，同理可知当时，中位数相等，当时，设样本数据，，，的中位数为，样本数据、、、的中位数为，同理可知当时，两组数据的中位数相等，故C正确；对于D选项，设样本数据，，，的标准差为，样本数据、、、的标准差为，则，，因为，则，故，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误.故选：BC.10．ABD【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断.【详解】时，，，第二天凌晨3：00最低为，此时，∴，∴，A对．，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．，或10，上午11：00或下午7：00，C错．时，，D对.故选：ABD．11．BCD【分析】方法一：AB选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将的长度转化为与，距离之和，然后根据几何性质判断；D选项，利用函数的性质得到时最小，然后根据球的性质求弧长即可；方法二：A选项，根据三垂线定理判断；B选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将转化为平面上的长度，然后根据两点之间线段最短求最小值即可；D选项，根据题意得到球半径最小值为到的距离，然后根据球的性质求弧长.【详解】方法一：如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，,，则，对于A，因为为正方体，所以，由三垂线定理得，，因为，平面，所以平面，是平面一个法向量，假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错．对于B，若存在，与所成角为，则或，或，，不满足条件，假设不成立，B对．对于C，．表示与，距离之和，，，C对．对于D，，时最小，，，设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，，因为，所以球与面为圆心，为半径的圆弧，因为，所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确；方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确；对于B，同法一，B正确；对于C，可将面与面摊平，，C正确．对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为，截面圆半径，过作分别交，于，，，球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确，故选：BCD．12．BD【分析】计算是否得0可判断A；利用导数判断出单调性可判断B；结合单调性、值域可判断C；转化为求最小值可判断D.【详解】对于A，，不是关于对称，故A错误；对于B，，时，，单调递减，时，，单调递增，故B正确；对于C，时，，时，，且在上单调递增，如时，只有一个根，故C错误；对于D，由时，单调递减，时，单调递增，所以，，即求最小值，当时，，且，所以，．故D正确.故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用导数判断出单调性再解题.13．2【分析】由双曲线方程可得.【详解】由双曲线方程可知，所以，，．故答案为：214．【分析】利用分段函数求解即可.【详解】，，．故答案为：15．8【分析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，由此可得第一空答案；分析可得每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，所以是以为首项，为等边的等比数列，利用等比数列求和公式即可得出答案.【详解】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，所以，，即；，，以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，所以是以为首项，为等边的等比数列，则圆弧总长．故答案为：8；.16．【分析】分类讨论作出二面角的平面角，然后根据余弦定理求角.【详解】如图，过上一点作交于点，交于点设，，，如图，设，，，，，，，故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的与之间的关系，可得时，结合，求出c的值，即可得答案；（2）由题意可得不等式，求出n的范围，结合的含义，即可得答案.【详解】（1），时，因为为等差数列，故也符合上式，，，．（2）由题意知为在区间中项的个数，令，，，，，.18．(1)(2)根【分析】（1）求出，进而求出即可求解；（2）根据题意求出即可求解.【详解】（1），，，，，；（2），不合格的金属棒有：根．19．(1)或2(2)【分析】（1）由余弦定理和面积公式，结合条件即可得出答案；（2）由面积公式和正弦定理化简求出A，即可得出答案.【详解】（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，，，，，，，，．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作交于点，连接，结合线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，向量法求二面角的平面角.【详解】（1）过作交于点，连接平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，，分别为，的中点，，，又，为的中点，，平面，平面，，又，平面，平面．（2）如图建系，，，．，，，，，，，设平面与平面的一个法向量分别为，它们所成二面角为，，所以，，，．21．(1)单调递增(2)【分析】（1）根据条件，得到，再根据导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（2）构造函数，将问题转化成对恒成立，即，再对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，由题有，即，解得所以，，当时，，所以，又当时，，所以，即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增．（2）由对恒成立，即对恒成立，令，所以对恒成立，则，令，则，当时，由于，，，所以，当且仅当时取等号，当时，，所以，所以在区间上单调递增，故，当时，，所以在区间上单调递增，又，所以符合题意，当时，因为，则存在，使得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则时，，不合题意，综上：的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．(1)(2)【分析】（1）设，，，，可得，，可解；（2）设，，，分别写出直