（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第27练 立体几何中的计算问题 理

第27练立体几何中的计算问题题型一立体几何中的表面积、体积计算例1已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则三棱锥S—ABC的体积为________．破题切入点作出图形，可知三棱锥S－ABC的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求．答案eq\r(3)解析如图，过A作AD垂直SC于D，连结BD.由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝2eq\r(3)，由于AD＝eq\f(SA·CA,SC)＝eq\r(3).同理在Rt△BSC中也有BD＝eq\f(SB·CB,SC)＝eq\r(3).又AB＝eq\r(3)，所以△ABD为正三角形，所以VS—ABC＝eq\f(1,3)S△ABD·SC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2·sin60°×4＝eq\r(3).题型二立体几何中的长度、距离的计算例2已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．破题切入点作出图形，关键是找到球心的位置．答案eq\f(\r(3),3)解析如图，作PM⊥面ABC，设PA＝a，则AB＝eq\r(2)a，CM＝eq\f(\r(6),3)a，PM＝eq\f(\r(3),3)a.设球的半径为R，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))2＝R2，将R＝eq\r(3)代入上式，解得a＝2，所以d＝eq\r(3)－eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).题型三立体几何中有关角度的计算例3(2013·山东改编)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．破题切入点如何找到线面角是该题的关键．答案eq\f(π,3)解析如图所示，过P作PO垂直于平面ABC，则O为△ABC的中心，连结AO，则∠OAP是PA与平面ABC所成的角．SABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4).∴＝S△ABC×OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，又0<∠OAP<eq\f(π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π,3).总结提高(1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等．(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到，有时利用等体积的方法．(3)立体几何中有关角度的范围关键把握角的范围和如何找到，然后就是求角的什么三角函数值，注意审题．1．(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案eq\f(81π,4)解析如图，设球心为O，半径为r，则Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，所以，该球的表面积为4πr2＝4π×(eq\f(9,4))2＝eq\f(81,4)π.2．(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________．答案2π解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.3．(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O答案eq\f(13,2)解析因为AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝eq\r(32＋42＋122)＝2R，R＝eq\f(13,2).4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD答案60°解析取BC中点E，连结AE，则AE⊥平面BCC1B1，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连结EF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.6．已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2答案(6－3eq\r(3))π解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝eq\r(3)，而O1A＝eq\r(3)r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝eq\r(3)r2，∵eq\r(3)r1＋r1＋r2＋eq\r(3)r2＝eq\r(3).∴r1＋r2＝eq\f(3－\r(3),2)，从而S1＋S2＝4πreq\o\al(2,1)＋4πreq\o\al(2,2)＝4π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))≥4π·eq\f(r1＋r22,2)＝(6－3eq\r(3))π.7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段答案eq\r(2)解析在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC∴F为DC的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).8．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).9.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P)，则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为________．答案eq\f(2,3)解析折成的正四面体如图所示，连结HE，取HE的中点K，连结GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝eq\r(3)，GK＝eq\f(\r(3),2)，PK＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)，故cos∠PGK＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2,2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3).即异面直线PG与DH所成角的余弦值为eq\f(2,3).10.(2013·安徽)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S①当0<CQ<eq\f(1,2)时，S为四边形；②当CQ＝eq\f(1,2)时，S为等腰梯形；③当CQ＝eq\f(3,4)时，S与C1D1的交点R满足C1R＝eq\f(1,3)；④当eq\f(3,4)<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为eq\f(\r(6),2).答案①②③⑤解析①当0<CQ<eq\f(1,2)时，如图(1)．在平面AA1D1D内，作AE∥PQ，显然E在棱DD1上，连结EQ，则S是四边形APQE.②当CQ＝eq\f(1,2)时，如图(2)．显然PQ∥BC1∥AD1，连结D1Q，则S是等腰梯形．③当CQ＝eq\f(3,4)时，如图(3)．作BF∥PQ交CC1的延长线于点F，则C1F＝eq\f(1,2).作AE∥BF，交DD1的延长线于点E，D1E＝eq\f(1,2)，AE∥PQ，连结EQ交C1D1于点R，∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2，∴C1R＝eq\f(1,3).④当eq\f(3,4)<CQ<1时，如图(3)，连结RM(点M为AE与A1D1交点)，显然S为五边形APQRM.⑤当CQ＝1时，如图(4)．同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，∴S为菱形APQM，其面积为eq\f(1,2)MP×AQ＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2).11．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设内接圆柱的半径为r.因为eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H)．(2)因为－eq\f(2πR,H)<0，所以当x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)时，S圆柱侧最大．故当x＝eq\f(H,2)，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．12．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE(3)求三棱锥E－ABC的体积．(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1，又因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A