（江苏专用）高三数学一轮总复习 第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

课时跟踪检测（四十四）直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是____________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P­ABC中共有直角三角形个数为________．解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P­ABC中共有4个直角三角形．答案：43．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．解析：①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．答案：②③④4.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，则直线AA1到平面BB1D1D解析：连结AC交BD于点O，则AO⊥BD.因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以BB1⊥AO.又BB1∩BD＝B，所以AO⊥平面BB1D1D.又AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，所以AA1∥平面BB1D1D，所以线段AO的长就是直线AA1到平面BB1D1D的距离．因为AB＝AD＝3cm，AB⊥AD，AO⊥BD，所以AO＝eq\f(3\r(2),2)，即直线AA1到平面BB1D1D的距离为eq\f(3\r(2),2).答案：eq\f(3\r(2),2)二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，边长为2eq\r(2)的正方形ABCD在平面α上的射影为四边形EFCD，且AB到平面α的距离为eq\r(2)，则AD与平面α所成的角为________．解析：易知∠ADE为AD与平面α所成的角．在Rt△AED中，AE＝eq\r(2)，AD＝2eq\r(2)，所以sin∠ADE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,2)，所以∠ADE＝30°.答案：30°2．如图，BC是Rt△BAC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连结PB，PC，过A作AD⊥BC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是________．解析：由线面垂直的判定与性质，可知直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAB，△PAD，△PAC，△PDB，△PDC，共8个．答案：83.(2016·启东中学检测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是________(填序号)．①线段A1M与B1②对角线BD1⊥平面AB1C③平面AMC⊥平面AB1C④直线A1M∥平面AB1解析：由异面直线的定义，可知①正确；易证明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正确；连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OM∥BD1，所以OM⊥平面AB1C，进而可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正确；由题意，得直线A1M与平面AB答案：①②③4．如图，已知三棱锥P­ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.解析：由BC∥DF，得BC∥平面PDF，故①正确；由BC⊥AE，BC⊥PE，得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC，故②④都正确．易知③不正确．答案：①②④5．(2016·上饶质检)已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：①若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；⑤若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n.其中正确说法的序号为________．解析：对于①，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此①不正确；对于②，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α，β平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n⊥β，因此②正确；对于③，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，③正确；对于④，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此④不正确；对于⑤，m与n有可能平行，因此⑤不正确．综上所述，其中正确的说法有②③.答案：②③6．(2016·常州期末)给出下列四个命题：①“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α”的充要条件是“l垂直于平面α内的无数条直线”；③“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；④“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l垂直于β”．上述命题中，所有真命题的序号为________．解析：①是既不充分也不必要条件；②是充分不必要条件，即“直线l⊥平面α”可得“l垂直于平面α内的无数条直线”，反之不成立；③④正确．答案：③④7.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连结AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面积相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).即线段B1F的长为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9.如图，几何体EF­ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.(1)求证：AC⊥FB；(2)求几何体EF­ABCD的体积．解：(1)证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC，∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC.又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∴AC＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，则有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB.(2)连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.∵VEF­ABCD＝VE­ABCD＋VB­EFC＝eq\f(1,3)S梯形ABCD·DE＋eq\f(1,3)S△EFC·BN＝eq\f(16,3)，∴几何体EF­ABCD的体积为eq\f(16,3).10．(2015·陕西高考)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．解：(1)证明：在图1中，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，所以BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由图1知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝eq\f(1,3)S·A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.解析：由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连结NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．答案：①②④2.如图所示，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点．(1)求证：AB1∥平面A1O1D.(2)若AB＝eq\f(2,3)AA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1C⊥AE？若存在，求出eq\f(BE,BB1)；若不存在，说明理由．解：(1)证明：如图(1)所示，连结AD1交A1D于点G，∴G为AD1的中点．连结O1G.在△AB1D1∵O1为B1D1的中点，∴O1G∥AB1∵O1G⊂平面A1O1D，且AB1⊄平面A1O1D∴AB1∥平面A1O1D.(2)若在线段BB1上存在点E使得A1C⊥AE，连结A1B交AE于