苏教数学电子题库 第章知能优化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．若向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝4，则｜a＋b｜的取值范围是________．解析：|｜a｜－|b｜|≤|a＋b|≤|a｜＋|b|。答案：[1,7］2．当a与b共线且方向相反时，若|a｜＝|b|，则|a＋b|＝________。解析：a与b反向⇔|a＋b|＝|｜a|－|b||.答案：03.根据图示填空．(1)a＋d＝________;（2）c＋b＝________;（3)e＋c＋b＝________；（4）c＋f＋b＝________。答案：(1）eq\o(DA,\s\up6（→）)（2）eq\o（CB，\s\up6（→)）(3)eq\o(DB，\s\up6(→）)（4)eq\o（CA,\s\up6（→））4．设a＝(eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→）））＋（eq\o（BC，\s\up6（→））＋eq\o（DA，\s\up6（→))）,b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．①a∥b;②a＋b＝a；③a＋b＝b；④｜a＋b|＜|a｜＋|b|；⑤|a＋b|＝｜a|＋｜b｜.解析:a＝0,则①③⑤正确．答案：①③⑤一、填空题1．下列命题正确的是________．①如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a,b之一的方向相同；②若eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CA，\s\up6(→))＝0，则A，B,C为三角形的三个顶点;③设a≠0,若a∥(a＋b),则a∥b；④若|a｜－｜b|＝|a＋b|，则b＝0。解析：a＋b＝0时,①不正确；若eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→)）＋eq\o（CA，\s\up6（→）)＝0时，则A、B、C三点共线或A、B、C为三角形的三个顶点，故②不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线,故③正确;若|a|－｜b｜＝|a＋b|,则b＝0或b≠0(a与b反向共线且｜a|＞|b｜)，故④不正确．答案:③2．当非零不共线向量a，b满足________时,a＋b平分a与b的夹角．解析：若|a｜＝|b｜，则以a，b为邻边作的平行四边形为菱形，故a＋b平分a与b的夹角．答案：｜a|＝｜b|3.如图，在△AOM中，eq\o(OM,\s\up6(→)）＝________,在△MOB中,eq\o(OM,\s\up6(→))＝________，在△AOB中,eq\o（OB,\s\up6(→））＝________。答案：eq\o(OA，\s\up6(→）)＋eq\o(AM，\s\up6(→)）eq\o(OB，\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6（→）)eq\o(OA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6（→）)4．在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是________．①eq\o（AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)；②eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o（AC,\s\up6(→）)；③eq\o(AB,\s\up6(→）)＝eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o(BD,\s\up6(→)）；④eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\o(CB，\s\up6（→））＝0。解析:对于①,∵AB綊DC，∴eq\o（AB,\s\up6（→））＝eq\o(DC，\s\up6（→）)，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵eq\o(AD，\s\up6（→))与eq\o（CB,\s\up6（→)）方向相反,且模相等，∴eq\o（AD,\s\up6(→））＋eq\o(CB,\s\up6(→）)＝0，即④正确；对于③，eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→）)，即③不正确．答案:③5．已知O是△ABC内的一点，且eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6（→）)＝0，则O是△ABC的________．解析:eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OB,\s\up6（→))＋eq\o（OC,\s\up6（→))＝0，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→）)是以eq\o(OA，\s\up6（→)）、eq\o(OB，\s\up6(→))为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设为D，则eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\o(OB,\s\up6（→)）＝2eq\o（OD，\s\up6(→）)，∴2eq\o(OD,\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6(→))＝0,∵D为AB的中点,同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线交点，故为重心．答案：重心6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量｜eq\o(AB,\s\up6（→)）|＝1，则｜eq\o（BC,\s\up6（→））＋eq\o（CD,\s\up6（→））|＝________.解析：eq\o(BC，\s\up6（→)）＋eq\o（CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6（→）），在△ABD中,AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，∴BD＝1。答案:17．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．①｜eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→）)|＝|eq\o（BC,\s\up6（→）)｜;②|eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→))|＝｜eq\o（CA,\s\up6（→)）|；③|eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(CA，\s\up6（→))|＝|eq\o（BC，\s\up6(→)）｜；④｜eq\o(AB,\s\up6（→））｜2＋|eq\o(AC，\s\up6(→)）｜2＝｜eq\o（BC,\s\up6(→)）|2.解析：∵∠A＝90°，由勾股定理可知｜eq\o(AB,\s\up6（→))｜2＋｜eq\o(AC，\s\up6（→）)｜2＝｜eq\o（BC，\s\up6（→）)|2，∴④正确．以eq\o（AB，\s\up6（→））和eq\o(AC,\s\up6（→）)的邻边作▱ABDC，可知eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(AC,\s\up6（→））＝eq\o(AD，\s\up6(→）），｜eq\o(AD,\s\up6(→))|＝｜eq\o（BC，\s\up6（→)）|，∴|eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→)）|＝｜eq\o(BC，\s\up6（→））｜，∴①正确．∵|eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6（→）)｜＝|eq\o（AC,\s\up6(→））|，eq\o(AC,\s\up6（→)）与eq\o(CA,\s\up6(→））为相反向量，模相等，∴②正确．同理，③正确．答案:①②③④8.如图，四边形ABCD是平行四边形,E、F、G、H分别是所在边的中点,点O是对角线的交点,则下列各式中正确的为________．①eq\o（AE,\s\up6（→））＋eq\o（AH，\s\up6（→)）＝eq\o(OC,\s\up6（→)）；②eq\o（AH，\s\up6(→））＋eq\o(OF,\s\up6（→））＝eq\o(CG，\s\up6(→）)＋eq\o(FB,\s\up6(→)）；③eq\o(BE，\s\up6（→)）＋eq\o(FC,\s\up6（→)）＝eq\o（HD，\s\up6(→))＋eq\o（OH,\s\up6(→))；④eq\o(OG,\s\up6（→))＋eq\o(BE,\s\up6(→））＝eq\o（DO,\s\up6（→）)。解析：①由向量加法的平行四边形法则,知eq\o（AE,\s\up6(→）)＋eq\o（AH,\s\up6(→)）＝eq\o（AO,\s\up6（→)）。又因为eq\o(AO，\s\up6（→））＝eq\o(OC,\s\up6(→）),所以eq\o（AE，\s\up6(→）)＋eq\o(AH，\s\up6（→））＝eq\o(OC，\s\up6(→））正确；②因为eq\o（OF，\s\up6（→））＝eq\o(HO，\s\up6(→))，所以eq\o（AH,\s\up6（→)）＋eq\o(OF，\s\up6（→)）＝eq\o(AH,\s\up6(→））＋eq\o（HO，\s\up6(→))＝eq\o(AO，\s\up6（→)）.又因为eq\o(FB,\s\up6（→）)＝eq\o(CF,\s\up6（→)）,所以eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6（→)）＋eq\o（CF，\s\up6（→）)＝eq\o(CO,\s\up6(→)）。而eq\o（AO，\s\up6(→）)≠eq\o(CO,\s\up6（→)）,所以eq\o(AH,\s\up6（→))＋eq\o(OF,\s\up6(→）)＝eq\o(CG，\s\up6（→）)＋eq\o(FB，\s\up6(→））不正确．③因为eq\o（FC，\s\up6（→)）＝eq\o(BF，\s\up6（→）），所以eq\o（BE,\s\up6(→））＋eq\o（FC,\s\up6（→）)＝eq\o(BE，\s\up6（→）)＋eq\o(BF,\s\up6(→)）＝eq\o(BO，\s\up6（→）).又因为eq\o(HD，\s\up6(→）)＝eq\o（OG，\s\up6(→)），所以eq\o（HD,\s\up6（→))＋eq\o（OH，\s\up6（→))＝eq\o(OG,\s\up6（→))＋eq\o(OH，\s\up6(→）)＝eq\o（OD,\s\up6（→)).而eq\o（BO，\s\up6（→)）＝eq\o(OD,\s\up6（→）),所以eq\o(BE,\s\up6(→)）＋eq\o(FC，\s\up6(→）)＝eq\o(HD,\s\up6（→)）＋eq\o（OH，\s\up6（→)）正确．④因为eq\o(BE,\s\up6（→))＝eq\o（FO,\s\up6（→）），所以eq\o(OG,\s\up6(→）)＋eq\o(BE，\s\up6（→）)＝eq\o（OG，\s\up6(→)）＋eq\o(FO，\s\up6（→)）＝eq\o(FG,\s\up6(→))，而eq\o(FG,\s\up6(→））＝eq\o(OD,\s\up6（→）)≠eq\o(DO,\s\up6(→))，所以eq\o（OG,\s\up6（→)）＋eq\o(BE,\s\up6（→））＝eq\o（DO,\s\up6(→))不正确．答案：①③二、解答题9.如图所示,已知向量a，b，c，试用三角形法则作a＋b＋c.解：如图所示，作eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AB，\s\up6（→）)＝b,则eq\o（OB，\s\up6（→）)＝a＋b.作eq\o(BC,\s\up6（→)）＝c，则eq\o(OC，\s\up6（→))＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c，即eq\o(OC，\s\up6（→))为所作．10.如图所示，平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O点，P为平面任意一点．求证：eq\o(PA,\s\up6(→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o（PC，\s\up6(→））＋eq\o(PD,\s\up6(→）)＝4eq\o(PO,\s\up6(→）).证明：eq\o(PO,\s\up6（→)）＝eq\o（PA,\s\up6（→)）＋eq\o（AO,\s\up6(→）），①eq\o(PO，\s\up6(→）)＝eq\o(PD，\s\up6(→）)＋eq\o（DO,\s\up6(→）)，②eq\o（PO,\s\up6（→）)＝eq\o(PB,\s\up6(→））＋eq\o(BO，\s\up6(→))，③eq\o(PO，\s\up6（→））＝eq\o(PC,\s\up6（→))＋eq\o（CO，\s\up6(→))，④因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以eq\o（AO，\s\up6（→）)＝eq\o(OC,\s\up6（→））＝－eq\o（CO,\s\up6(→)),eq\o（BO,\s\up6（→))＝eq\o(OD，\s\up6(→)）＝－eq\o(DO,\s\up6(→）)，所以①＋②＋③＋④,得4eq\o（PO,\s\up6（→)）＝eq\o（PA,\s\up6（→）)＋eq\o（PB,