苏教数学电子题库 第章3知能优化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题:①m（a－b)＝ma－mb;②(m－n）a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n。其中正确的命题是__________．解析：若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等,故③不正确．答案：①②④2．在△ABC中,eq\o（AB，\s\up6(→）)＝c，eq\o(AC,\s\up6（→))＝b，若点D满足eq\o（BD，\s\up6（→）)＝2eq\o(DC,\s\up6（→））,则eq\o（AD,\s\up6（→））＝__________.解析:由eq\o（BD,\s\up6(→)）＝2eq\o(DC,\s\up6(→）)知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f（2,3)eq\o（BC,\s\up6（→)).又∵eq\o（BC，\s\up6(→))＝b－c,∴eq\o（BD，\s\up6(→))＝eq\f（2,3）(b－c），∴eq\o（AD，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BD,\s\up6(→））＝c＋eq\f（2，3）(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3）c.答案：eq\f(2,3)b＋eq\f(1，3)c3．若｜a｜＝3,b与a的方向相反,且|b｜＝5，则a＝________b.解析：b与a方向相反,设a＝λb（λ＜0)，所以λ＝－eq\f(|a|，｜b｜）＝－eq\f（3，5)，所以a＝－eq\f（3,5)b。答案:－eq\f（3，5）4．若2(y－eq\f（1,3)a）－eq\f(1，2）（c＋b－3y)＋b＝0,其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________。答案：eq\f（4，21）a－eq\f(1，7)b＋eq\f(1，7)c一、填空题1．若O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，eq\o(AB,\s\up6（→）)＝2e1，eq\o（BC，\s\up6（→）)＝3e2，则eq\o(BO,\s\up6(→）)＝__________。解析：结合题目画出图形如图eq\o(BO，\s\up6（→））＝eq\f（1,2)eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)(eq\o（AD,\s\up6（→））－eq\o(AB，\s\up6（→)））＝eq\f(1，2)（3e2－2e1)＝eq\f(3,2)e2－e1.答案：eq\f(3，2）e2－e12．点C在线段AB上，且eq\f(AC，CB）＝eq\f（3，2)，则eq\o（AC,\s\up6（→）)＝__________eq\o(AB，\s\up6（→）),eq\o（BC，\s\up6（→）)＝__________eq\o（AB，\s\up6（→)).解析：∵eq\f(AC，CB）＝eq\f(3，2)，∴点C为线段AB的5等分点，∴eq\o（AC，\s\up6(→)）＝eq\f(3，5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)）＝－eq\f(2,5)eq\o（AB,\s\up6(→)).答案：eq\f(3，5）－eq\f(2,5）3．已知向量a,b不共线，实数x，y满足（3x－4y）a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．解析：由原式可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－4y＝6，，2x－3y＝3,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝6，，y＝3。））∴x－y＝3。答案：34．若G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则eq\o（GD,\s\up6（→)）＋eq\o（GE，\s\up6（→))＋eq\o（GF，\s\up6（→))＝__________.解析：如图所示，令GB的中点为P,连结DP、PE,得▱GDPE.eq\o(GP,\s\up6(→)）＝eq\o（GD，\s\up6(→））＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f（1，2）eq\o(GB，\s\up6（→）)＝－eq\o（GF，\s\up6(→)）,则eq\o(GD，\s\up6（→））＋eq\o(GE，\s\up6(→）)＋eq\o(GE，\s\up6(→))＝0.答案:05．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD，\s\up6（→)）＝2eq\o(DB，\s\up6(→）），eq\o（CD,\s\up6(→）)＝eq\f(1,3)eq\o（CA,\s\up6(→)）＋λeq\o(CB，\s\up6(→））,则λ＝__________。解析：由于eq\o（AD，\s\up6（→）)＝2eq\o（DB，\s\up6(→）），得eq\o(CD,\s\up6(→））＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6（→))＋eq\f(2,3）eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o(CA，\s\up6(→））＋eq\f（2，3）（eq\o(CB，\s\up6(→）)－eq\o（CA,\s\up6（→))）＝eq\f(1，3）eq\o(CA，\s\up6(→）)＋eq\f(2，3)eq\o（CB，\s\up6(→)），结合eq\o(CD，\s\up6（→））＝eq\f(1，3）eq\o(CA,\s\up6（→）)＋λeq\o（CB,\s\up6(→))，知λ＝eq\f(2，3）.答案：eq\f（2,3）6．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o（BA，\s\up6(→））＝2eq\o（BP，\s\up6(→)），则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o（PC,\s\up6(→))＝__________。解析：∵eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o（BA,\s\up6(→)）＝2eq\o(BP,\s\up6(→)），∴P为线段AC的中点，∴eq\o（PA,\s\up6(→))＝－eq\o（PC,\s\up6（→）)，∴eq\o（PA,\s\up6（→))＋eq\o（PC，\s\up6(→））＝0.答案:07．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若eq\o（CB,\s\up6（→)）＝a，eq\o（CA,\s\up6（→））＝b，|a|＝1,｜b|＝2，则eq\o(CD,\s\up6（→))等于__________．解析:如图所示,∠1＝∠2，∴eq\f(|\o(CB，\s\up6（→）)|,｜\o(CA,\s\up6（→))|）＝eq\f（｜\o（BD，\s\up6(→）)｜,｜\o（DA,\s\up6（→））|）＝eq\f(1，2），∴eq\o(BD，\s\up6(→))＝eq\f（1,3)eq\o（BA，\s\up6（→)）＝eq\f(1,3）（eq\o（CA，\s\up6（→))－eq\o（CB,\s\up6(→）））＝eq\f（1,3）(b－a），∴eq\o(CD，\s\up6(→)）＝eq\o（CB，\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→））＝a＋eq\f(1，3)（b－a）＝eq\f(2，3)a＋eq\f(1，3)b.答案：eq\f(2,3)a＋eq\f(1，3)b8．已知向量a，b,若eq\o(AB,\s\up6(→）)＝a＋2b，eq\o(BC，\s\up6(→））＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6（→）)＝7a－2b，则一定共线的三点是________．解析：通过观察,eq\o（BD,\s\up6（→))＝eq\o（BC，\s\up6(→））＋eq\o（CD，\s\up6(→））＝2a＋4b,与a＋2b有2倍关系，即2eq\o(AB，\s\up6（→)）＝eq\o（BD,\s\up6（→））.符合向量共线定理，∴A,B，D三点共线．故填A，B，D。答案:A，B，D二、解答题9．设两个向量a与b不共线．(1）试证：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在同一条直线上（a≠b)；（2)求实数k，使得ka＋b与2a＋kb共线．解:（1)证明：设eq\o（OA,\s\up6（→)）＝a,eq\o（OB，\s\up6（→))＝b，eq\o（OC，\s\up6(→）)＝3a－2b。因为eq\o(AC,\s\up6（→)）＝eq\o(OC,\s\up6（→))－eq\o(OA，\s\up6（→））＝(3a－2b)－a＝2(a－b）,eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o(OB，\s\up6（→））－eq\o（OA,\s\up6（→))＝b－a，所以eq\o(AC,\s\up6(→）)＝－2eq\o（AB,\s\up6(→))，故eq\o（AC，\s\up6(→）)，eq\o(AB,\s\up6(→））共线．又eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o（AB，\s\up6(→））有公共起点A，所以A，B,C在同一直线上．（2)因为ka＋b与2a＋kb共线，所以设ka＋b＝λ（2a＋kb），λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb，又a与b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2λ，，1＝kλ,)）所以k＝±eq\r(2）.10．如图所示,E，F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，已知eq\o(AB，\s\up6(→))＝a，eq\o（BC,\s\up6(→））＝b，eq\o（CD,\s\up6(→）)＝c,eq\o(DA，\s\up6（→)）＝d,求向量eq\o(EF，\s\up6（→））.解：法一:连结AF.∵eq\o(AC，\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC，\s\up6（→))＝a＋b，E是AC的中点,∴eq\o(AE,\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）eq\o（AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2）(a＋b）．又∵eq\o(BD，\s\up6（→)）＝eq\o(BC,\s\up6（→)）＋eq\o（CD，\s\up6（→)）＝b＋c,F是BD的中点,∴eq\o(BF，\s\up6(→))＝eq\f（1,2)eq\o(BD，\s\up6（→))＝eq\f（1,2）（b＋c)．∴eq\o(AF，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f（1，2)（b＋c)，∴eq\o(EF，\s\up6（→）)＝eq\o（AF,\s\up6（→))－eq\o（AE，\s\up6(→））＝a＋eq\f(1,2)（b＋c)－eq\f（1，2)（a＋b）＝eq\f（1，2）(a＋c）．法二：连结AF.∵eq\o(AC，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6（→））＝a＋b，E是AC的中点，∴eq\o（AE，\s\up6（→))＝eq\f(1，2)eq\o(AC，\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）(a＋b）．∵eq\o(DB，\s\up6（→)）＝eq\o（DA,\s\up6（→))＋eq\o（AB，\s\up6（→））＝d＋a,F是DB的中点，∴eq\o(DF，\s\up6(→））＝eq\f（1，2）eq\o（DB，\s\up6(→））＝eq\f(1,2）（d＋a）．∴eq\o(AF,\s\up6（→）)＝eq\o（DF,\s\up6（→))－eq\o（DA，\s\up6（→）)＝eq\f(1,2)(d＋a）－d＝eq\f(1，2)（a－d)，∴eq\o(EF，\s\up6（→))＝eq\o（AF，\s\up6（→）)－eq\o(AE，\s\up6（→）)＝eq\f（1，2）（a－d）－eq\f（1,2)(a＋b）＝－eq\f(1,2