数学-专项16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）-【】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【人教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样a+2b=(例如：3+22（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如23+1样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（1）化简“和谐二次根式”：①11+228=7+2；②7−43（2）已知m=15+26，n=【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．【解答】（1）解：①11+228②7−43=7−2故答案为：7+2；2−（2）解：∵m=15+26=∴m﹣n=3−2−（m+n=3−2+（∴m−nm+n2．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a2−2a+1

小芳：解：原式＝a+(a−1)2=a小亮：解：原式＝a+(a−1)2=a（1）小亮的解法是错误的；（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝4【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，∴(a−1)2=∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4−5∴a﹣3＝4−5−3＝1∴(a−3)2=则a+2a＝a+2(a−3＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝4−5时，原式＝6﹣（4−5）＝23．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．材料：已知x=5+212分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现x=5+212=−(−5)+(−5)2−4×1×12×1

+1＝0的根，所以x2＝5x﹣1，x2+1＝5x，所以原式=5x−1（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0；（2）已知x=−6+（3）求代数式(1+【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；（2）x是方程x2+6（3）设x=1+1−4a2，知x是方程x2﹣x+a＝0的根，可得x2﹣x【解答】解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0，故答案为：2（x﹣2）（x+3）＝0，（2）∵x=−∴x=−∴x是方程x2∴x2∴−=−x(x=−x⋅(−1)−x−6=−6（3）设x=1+∴(1+∵x=1+∴x是方程x2﹣x+a＝0的根，∴x2﹣x＝﹣a，∴x3﹣x2+ax﹣2＝x（x2﹣x）+ax﹣2

＝﹣ax+ax﹣2＝﹣2．4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a﹣2=−3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：35（2）若a=12+1，求2a2【分析】（1）把分子分母都乘以（5+（2）先分母有理化得到a=2−1，再移项平方得到a2+2a＝1，接着把2a2+4a﹣1变形为2（a2+2【解答】解：（1）35（2）∵a=1∴a+1=2∴（a+1）2＝2，即a2+2a+1＝2，∴a2+2a＝1，∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．5．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2（2）写出根分式x−1x−2中x的取值范围x≥1且x≠2

（3）已知两个根分式M=x2−6x+7①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值：1．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①aa②3x+1③a2故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范围是：x≥1且x≠2；故答案为：x≥1且x≠2；（3）当M=x2−6x+7①M2﹣N2＝1，（x2−6x+7x−2）2﹣（2x−1x2x2解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（x2−6x+7x−2）2+（=x

=x=(x−2＝1+2∵M2+N2是一个整数，且x为整数，∴2(x−2∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，经检验，x＝1符合题意，故答案为：1．6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：（2+1）（2−1）＝1，（3+2）（3−2）＝1，（4+（1）根据上面的规律：①16+5=②3−23+（2）计算：（12+1+（3）若a=12+1，则求a3﹣4a2【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可；②先分母有理化，再求出答案即可；（2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算即可；（3）求出a的值，再求出a2的值，再代入多项式a3﹣4a2﹣2a+1，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）①16故答案为：6−

②3=(=3−2＝5﹣26，故答案为：5﹣26；（2）（12+1+＝（2−1+3−2+＝（2022−1）×（2022＝（2022）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a=1∴a2＝（2−1）2＝2﹣22+1＝3﹣2∴a3﹣4a2﹣2a+1＝（3﹣22）×（2−1）﹣4×（3﹣22）﹣2×（2＝32−3﹣4+22−12+82−＝112−7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

（1）计算：13（2）m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−（3）已知15+x2−【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根据已知可得a2+b2＝98，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）1=3−1(=3−12=12×（3−1=2023（2）∵a=m+1−m∴a=(m+1−m)b=(m+1+m)∴a+b＝（m+1−m）2+（m+1+m）2＝2（2ab＝（m+1−m）2（m+1+m）2＝[（m+1−m）（m+1+m）]∵2a2+1823ab+2b2＝2019，∴2a2+1823+2b2＝2019，∴2a2+2b2＝196，∴a2+b2＝98，∴（a+b）2﹣2ab＝98，∴（4m+2）2﹣2＝98，∴（4m+2）2＝100，∴4m+2＝±10，∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，

∴m1＝2，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为2；（3）∵15+x∴（15+x2−∴15+x2﹣215+x226−x∴15+x∴（15+x2＝（15+x2−26−＝12+4×20＝1+80＝81，∵15+x2≥∴15+x8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3=2−3(2+∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）12+1=（2）化简12（3）若a=126−5，求a4﹣10a3+a2【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【解答】解：（1）12故答案为：2−

（2）12−1+=144＝12﹣1＝11；（3）∵a=1∴a﹣5=26∴（a﹣5）2＝26，即a2﹣10a+25＝26．∴a2﹣10a＝1，∴a4﹣10a3+a2﹣20a+5＝a2（a2﹣10a+1）﹣20a+5＝a2×（1+1）﹣20a+5＝2（a2﹣10a）+5＝2+5＝7．答：a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值为7．9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2∵a=12+3=2−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简12（2）比较6−5＞（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝B题：若a=13−1，则4a2﹣43a【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将16−5和17−（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2B题：由a=13−1，可得a=3+12

【解答】解：（1）1=2=50=52（2）1617∵6+∴6−故答案为：＞；（3）A题：∵a=2∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a=1∴a=3∴2a−3∴(2a−3即4a∴4a∴4a2﹣43a+7＝5，故答案为：5．10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2−3）＝1，（

5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：13=1×解决问题：（1）4−7的有理化因式可以是4+7，232分母有理化得（2）计算：①11+2+12+3+13+4+⋯11999【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4−7的有理化因式，把232（2）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用分母有理化得到x＝2−3，y＝2+3，再计算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2【解答】解：（1）4−7有理化因式可以是4+23故答案为：4+7，2（2）①原式=2−1+=2000＝205−②∵x=3−13+1=(3−1∴x+y＝4，xy＝1，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：已知a=1小明同学是这样解答的：a=1

请你参考小明的化简方法，解决如下问题：（1）计算：12（2）计算：12（3）若a=12−5，求2a2【分析】（1）直接分母有理化即可；（2）把分式变形，然后裂项相消即可；（3）先对a进行分母有理化，然后化简2a2+8a+1，代入求值即可．【解答】解：（1）12（2）1=2−1+（3−2）+（＝﹣1+2022（3）a=2+5(2−2a2+8a+1＝2（a2+4a+4）﹣7＝2（a+2）2﹣7，将a＝﹣（2+5）代入得，2×(−12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+3(513=1×像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+7的一个有理化因式是4−7（2）已知x=3+23−2（3）利用上面所提供的解法，请化简11+【分析】（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；

（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．【解答】解：（1）∵（4+7）（4−∴4+7的一个有理化因式是4−故答案为：4−7（2）∵x=3∴1x=3−23+同理，1y=5+2∴1x+1y=故答案为：10；（3）原式=2−＝10﹣1＝9．13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：a2比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当（1）仿照上面的例子，请你尝试化简m2（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求a+1−2a+甲的答案：原式=a+(1−a)乙的答案：原式=a+(1−a)（3）化简并求值：|x−1|+4−4x+x2【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；（2）根据a＝9，得1﹣a＜0，即可判断出答案；（3）根据x=5，得x﹣1＞0，2﹣x【解答】解：（1）m

=(m−＝|m−1∴当m−12≥0即m≥1当m−12＜0即m＜1（2）∵a＝9，∴1﹣a＜0，∴原式=a+(1−a)∴乙的答案正确．（3）∵x=5∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，∴|x−1|+＝x﹣1+＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＝25−14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2−2ab＝x2−2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1）计算：13（2）m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−（3）已知15+x2−【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数1

，继而两两相消，进一步计算即可；（2）先求出a+b＝2（2m+1），ab＝1，再将所求代数式化简为（a+b）2﹣2ab＝98，然后代入计算即可；（3）利用完全平方公式求出15+x2•26−x2=20，那么（15+x2+26−x2）2【解答】解：（1）原式==12（3−=12（=2019（2）∵a=m+1−mm+1+m=（m+1−m）∴a+b＝（m+1−m）2+（m+1+m）2＝2（2∵2a2+1823ab+2b2＝2019，∴2（a2+b2）+1823＝2019，∴a2+b2＝98，∴（a+b）2﹣2ab＝98，∴4（2m+1）2﹣2＝98，∴m＝2或﹣3，∵m是正整数，∴m＝2；（3）∵15+x∴（15+x2−∴15+x2﹣215+x2•26−x2∴15+x2•∴（15+x2+26−x2）2＝（15+x2−∵15+x2≥∴15+x15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：3+22=3+2×1×解决问题：（1）在括号内填上适当的数：14+65=(①)+2×3×5+(②)=(③)2+2×3×5+(④)2=(3+5)2=⑤，①：9（2）根据上述思路，试将28−103【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．【解答】解：（1）14+6=9+2×3×=3=(3+＝3+5故答案为：①：9，②：5，③：3，④：5，⑤：3+5（2）原式==5=(5−＝5−316．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．121312+…（1）观察上式并填空：111+10=（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时1n+1+n=n+1（3）请利用（2）的结论计算：(1

【分析】（1）仿照阅读材料，分母有理化即可；（2）仿照阅读材料，分母有理化即可；（3）先将各二次根式分母有理化，算出括号内的，再用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）111故答案为：11−（2）1n+1故答案为：n+1−（3）原式＝（2−1+3−2+＝（361−1）×（361＝361﹣1＝360．17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23（1）请你写出3+11的有理化因式：3−11（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且（3）已知a=13−2，b=【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=(a+b【解答】解：（1）∵（3+11）（3−∴3−11是3+故答案为：3−11

（2）1−b=(1−b)(1+=(1−b)(1+＝1+b（3）∵a=13−2=−3−∴a+b＝﹣23，ab＝﹣1，∴a=(a+b=(−2=16＝4．18．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：18−（2）已知x=2−3，求代数式(7+4（3）先化简，再求值：(3−2x+1)÷【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；（2）先根据完全平方公式求出x2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝32−32=2（2）∵x＝2−3∴x2＝（2−3）2＝4﹣43+3＝7﹣4则原式＝（7+43）（7﹣43）+（2+3）（2−3＝49﹣48+4﹣3+＝2+3（3）原式＝（3x+3x+1−=3x+1x+1•

=1当x=3+1时，原式19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（5+1）（5（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：已知x=2，求x+1−原式=(x+1)(x−1)−=x=−1把x=2原式=−1=−1＝﹣1…第六步任务一：填空：①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．②第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘（2+1）任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．【分析】（1）根据平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）任务一：①根据题目中的解答过程可以解答本题；②根据题目中的解答过程可以发现哪一步出错了，并写出错因即可；任务二：根据分式的计算方法和二次根式分母有理化的方法可以解答本题．【解答】解：（1）6+（5+1）（5＝6+5﹣1＝10；（2）任务一：填空：①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．故答案为：一；

②第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘（2+故答案为：五，分子没有乘（2+任务二：﹣1−2计算过程为：原式==x=−1当x=2时，原式=−1220．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：①11+②13③15试求：（1）下列各数中，与2−3的积是有理数的是AA．2+B．2C．3D．2−（2）7+6的倒数为7（3）若x=12−1，求x2【分析】（1）观察已知等式确定出2−3（2）求出7+（3）原式利用完全平方公式化简后，把x分母有理化代入计算即可求出值．【解答】解：（1）与2−3的积是有理数的是2+故选：A；（2）7+6的倒数为故答案为：7−

（3）∵x=1∴原式＝（x﹣1）2﹣1＝（2+1﹣1）221．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：2+12−1除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简2+3解：设x=2+3−2−3由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3解得x=2，即根据以上方法，化简：3−22【分析】根据题目提供的方法先计算3−5−3+【解答】解：设x=3−5−3+5由于x2＝（3−5−3+5）2＝3−5所以x=−2，即3−所以原式=＝17﹣122＝17﹣132．22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+b2=m2+2mn2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小马找到了把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：13+43=（1+23）2（3）设x=3+2，试用含有x

【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）先把已知条件变形得到x−2=3，再两边平方得到x2﹣22x+2＝3，然后用x【解答】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+2mn3+3n2而a+b3=（m+n3）2∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为m2+3n2，2mn；（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，∴13+43=（1+23）2故答案为13，4，1，2；（3）∵x=3∴x−2∴（x−2）2∴x2﹣22x+2＝3，∴2=23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．∵（a+b）（a−b）＝∴a﹣b＝（a+b）（特别地．（12+11）×（∴112当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法解答下列问题：（1）计算：13−（2）计算：54−【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；

（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=＝3+8−（8+7）+7＝3﹣2＝1；（2）原式=＝4+11−（11+＝4+11−＝1．24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：因为7+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较15−14和（2）求y=x+1【分析】（1）先将两数变形为115+14、114+（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x−1有最小值2，从而得到

的最大值．【解答】解：（1）15−14−而15＞∴15+∴15−（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y=x+1当x＝1时，分母x+1+x−1有最小值∴y=2x+1+25．（2020秋•吴江区期中）像2⋅2=2；(（1）12（2）2+1勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：3+5解：设x=3+5−3−5由：x2＝3+5+3−5−2即3+5请你解决下列问题：（1）23−35的有理化因式是23+3（2）化简：33（3）化简：6−33【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；

（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；（3）设x=6−33−6+33【解答】解：（1）23−35的有理化因式是23+3故答案为：23+35（2）原式=3+=2（3）设x=6−33−6+33由题意得：x2＝6﹣33+6+33−2解得：x=−6则原式=−626．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求（3）化简：7−21+【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，

∴a＝13或7；（3）21+80=20+4则7−=7−2=6−2=(=527．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式a−2有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：1+1n2+1所以1+1n2+1（1）根据二次根式的性质，要使a+23−a=a+2（2）利用①中的提示，请解答：如果b=a−2+2−a+1，求（3）利用②中的结论，计算：1+1【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，a+2≥03−a＞∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，a−2≥02−a≥0∴a＝2，

∴b=2−2∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11−12＝1×2020+1−＝20202020202128．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：因为7+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以解决下述问题：（1）比较32−4和23（2）求y=1+x【分析】（1）利用分母有理化得到32−4=232+4，23−10=2（2）根据二次根式有意义