2022-2023学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知z=2-i,则z（W+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

2.运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,则下列关于

这组数据说法不正确的是（）

A.众数为7和9B.平均数为7C.中位数为7D.方差为s?=4.8

3.目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲

型HINI亚型病毒为主,假如该市某小区共有IoO名感染者,其中有10名年轻人,60名老年人，

30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为（）

A.6B.10C.12D.16

4.已知某圆锥的母线长为4,高为2门，则圆锥的全面积为（）

A.10πB.12πC.14πD.16π

5.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：Crn）从小到大排序

下：158,165,165,167,168,169,x,172,173,175.若样本数据的第60百分位数是170,

则x=（）

A.169B.170C.171D.172

6.已知向量区B满足I百|=2,商|=3,ab=l,则方在五上的投影向量为（）

A.-⅛B.-⅛C.⅛D.⅛

4949

7.张益唐是当代著名华人数学家.他在数论研究方面取得了巨大成就，曾

经在微学年刊》发表糠数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数

间隙都小于7000万.2013年张益唐证明了挛生素数猜想的一个弱化形式.

李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：

存在无穷多个素数P，使得p+2是素数，素数对（p,p+2）称为挛生素数.在

不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成季生素数的概率是（)

A∙5BAc∙⅛D-20

8.三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,AB1BC,SA=AB=BC.

过点4分别作AEISB,AFISC交SB、SC于点E、F,记三棱锥

B

S-R4E的外接球表面积为S「三棱锥S-ABC的外接球表面积为S2，则£=（）

c.C

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知复数z=3-4i（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）

A.∖z∖=5B.z的虚部是4

C.z-3是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

χ

10.有一组样本数据χ2>∙∙∙>n>由这组数据得到新样本数据y2>•••>为，其中yt=

%+c（i=l,2,∙∙∙,n）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

11.设m,H为不同的直线，α,6为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m〃a,n∕∕a,则m〃n

B.若Tnj.α,n1a,则m〃n

C.若m〃a,muβ,则《7/£

D.若mlα,nLβ,Tnln,则αJ.0

12.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件A="第一次为

偶数"，B="第二次为偶数”,C="两次点数之和为偶数”，则（）

A.P（A）=1—P（B）B.A与B对立

C.B与C相互独立D.P（AUB）=,

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图所示，在正方体中，异面直线AB与C。所成的角为.

14.已知向量五=(m,l)1=(2,m-I)，若五〃石，则实数m=.

15.甲、乙两名乒乓球运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局

甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,如果比赛采用“三局两胜”制(先胜两局者获胜).若第

一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为.

16.在△力BC中，NA=60。，AB=6,AC=4,。为AABC的外心，则4。=.若而=

λAB+μAC>则，+〃的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知复数Z=2+bi(b>0,i为虚数单位)，且z2为纯虚数.

(1)求实数b的值；

(2)若复数3=击，求3的模.

18.(本小题12.0分)

已知向量五了满足Ial=2,∖b∖=1,五与石的夹角为60。,，=2五+3RZ=3有+kB,当实数k为

何值时，

(l)cld；

(2)∣dI=2√-13∙

19.(本小题12.0分)

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选

拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第

一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人

合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.

(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；

(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.

20.(本小题12.0分)

随着互联网的发展，移动支付(又称手机支付)越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支

付在大众中的熟知度，对15〜65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付

吗？”其中，回答“会”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组［15,25),第2组

［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),然后绘制成如图所示的频率分布直方

图，其中第一组的频数为20.

(1)求n和X的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数,

(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数,

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

21.(本小题12.0分)

如图，在矩形ZBCD中，AB=C,BC=1，沿对角线2。把△BCD折起，使C移到C',且C'在

面ABC内的射影。恰好落在AB上.

(1)求证：AD1CBi

(2)求AB与平面CBD所成的角的正弦值.

22.(本小题12。分)

在△"BC中，内角4B,C的对边分别为α,b,c,⅛⅛+短=焉•

(1)求学的值；

QZ

(2)记44BC的面积为S,点P是4ABC内一点，S.ΛPAB=LPBC=∆PCA=θ,证明:

®tanA=

（2）tanA=2tanθ.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

把Z=2-i代入Z(W+i),再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】

解：∙.∙z=2-i,

Z(Z+i)=(2—i)(2+i+i)

=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.

故选：C.

2.【答案】C

【解析】解：由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9,

A正确；

计算平均数为7+8+9+7+4+8+9+9+7+2

7,故B正确;

将10次射击成绩从小到大排列为：2,4,7,7,7,8,8,9,9,9,则中位数为竽=7.5,故C

错误；

-I

方差为s2=三X[(7-7)2X3+(8—7)2X2+(9—7)2X3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8,故D

正确，

故选：C.

根据众数的含义可判断4计算出平均数判断B,算出中位数判断C；计算出方差判断D.

本题考查了求平均数与方差和众数、中位数的问题，记住平均数与方差、中位数的公式是解题的

关键.

3.【答案】C

【解析】解：老年人做检测的人数为20X谓=12.

故选：C.

利用分层抽样比例求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意可知，该圆锥的底面半径为r=J42.(20=2,

则圆锥的全面积为Tr×22+∣×(2π×2)×4=12τr.

故选:B.

根据题意，由勾股定理得出r,进而由面积公式得出全面积.

本题考查圆锥的面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为60%Xlo=6,

则第60百分位数为蟹≡=170,解得X=171,

故选：C.

根据百分位数的定义建立方程即可求解.

本题考查了百分位数的定义的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设向量方，石的夹角为。，

因为|回=2,∖b∖=3,ab=l^

所以口∙b=∖a∖∖b∖cosθ=2×3×cosθ=1，

所以CoSe=ɪ,

o

所以方在五上的投影向量为：IBlCOSe-=3cosθʒ=3×7,7=∑2∙

故选：C.

先求出向量五，方夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个，其中任取两个数的基本事件为:

(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10个,

其中是挛生素数为(3,5),(5,7),共2个,

故在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成挛生素数的概率是看=g∙

故选：B.

根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及列举法，即可求解.

本题主要考查古典概型的概率公式，以及列举法，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：取SA的中点。1，SC的中点。2,连0m,O1F,O2A,O2B,

因为SA平面力BC,AB,BC,4CU平面ABC,所以SA_L4B,S41BC,

SAlAC,

因为AB1BC,SA∏AB^A,SA,ABU平面SAB,所以BC1平面SAB,

因为SBU平面54B,所以BC1SB,

在直角三角形S4C中，。2是斜边SC的中点，所以。2人=QS=。2。

在直角三角形SBC中，O?是斜边SC的中点，所以O2B="S=QC,

所以。2是三棱锥S-ABC的外接球的球心，SC为该球的直径.

因为AEJ.SB,Oi是斜边S4的中点，所以OlE=OI4=O/,

因为AF1SC,%是斜边S4的中点，所以OIF=O1A=O1S,

所以Oi是三棱锥S-FAE的外接球的球心，S4为该球的直径.

设Sa=AB=BC=a,则SC=√SA2+AB2+BC2=√-3α.

2222

则SI=4兀∙(γ)=aπ,S2=4π∙(y)=4π∙=3αττ>

所喝=a2π_1

3α2τr3

故选：B.

取S4的中点01，SC的中点。2，连。［E,01F,O2A,O2B,证明5是三棱锥S-ABC的外接球的球

心，SC为该球的直径；Oi是三棱锥S-FAE的外接球的球心，S4为该球的直径，设Syl=AB=BC=

α,求出SC,根据球的表面积公式可求出结果.

本题考查球的表面积相关知识，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：因为Z=3—43

所以IZl=5,A正确；

Z的虚部为—4,B错误：

Z-3=3-4i—3=-4i为纯虚数，C正确；

Z=3-4对应的点(3,-4)在第四象限,。正确.

故选：ACD.

由已知结合复数的运算及复数的概念检验各选项即可判断.

本题主要考查了复数的基本概念的应用，属于基础题.

10.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题.

利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可.

【解答】

解：对于4两组数据的平均数的差为c,故A错误；

对于8,两组样本数据的样本中位数的差是c,故B错误；

对于C,设原样本数据的样本方差和标准差分别为A，”,新数据的样本方差和标准差分别为。2,

。2，

因为%=/+c(i=1,2,…,九)，・•・DL=D2，••・JDi=y]D?，即

・•・两组样本数据的样本标准差相同，故。正确；

对于yi=勺+c(i=1,2,C为非零常数,

x

原数据组的样本极差为%mα%-min^新数据组的样本极差为(XnaX+C)-(/nin+0=Xmax一

Xmin,

两组样本数据的样本极差相同，故。正确.

故选：CD.

11.【答案】BD

【解析】解：对4：若π√∕α,n∕∕a,则m〃n或nι与n相交或πι与n异面，故选项4错误;

对B：若?n1a,n1a,则7n〃n,故选项B正确；

对C：若n√∕α,muβ,则a〃夕或a与夕相交，故选项C错误；

对D：若mJ.a,mln,贝Un〃a或nua,又n10,则a_L0,故选项。正确.

故选：BD.

根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

本题考查了线线、线面、面面的位置关系，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由题意可得P(A)=怖=：,P(B)U

bZoZ

所以P(4)=1-P(B),故A正确；

因为事件Z,B可以同时发生，故两事件不是对立事件，故8错误；

因为事件4,B互不影响，所以4B为相互独立事件，

11111

×+X-

则P(C)=P(AB)+P(AB)2-2-2-2-2-

111

-X-=-

因为事件Bn。表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以P(BC)224

又P(B)P(C)=；=P(B)P(C),所以B与C相互独立，故C正确;

事件AUB表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，

1-10

所以P(4UB)=1--X-=-,故。正确.

故选：ACD.

利用古典概型求出PQ4)，P(B),即可判断4根据对立事件的定义即可判断B；根据相互独立事件

的定义即可判断C;根据事件4UB表示第一次或第二次为偶数，求出此事件的对立事件的概率即

可求出P(4U8),即可判断D.

本题主要考查互斥事件与对立事件，属于基础题.

13.【答案】I

【解析】解:连接BE、AE,

由CD〃BE,

则异面直线AB与CD所成的角的平面角为N4BE(或其补角),

又AABE为正三角形，

则乙4BE=≡

故答案为：≡

连接BE、AE,由CD〃BE,则异面直线力B与C。所成的角的平面角为乙4BE(或其补角)，然后求解

即可.

本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

14.【答案】2或一1

【解析】解：因为五=(m,1),b=(2,zn—1)，且口〃b，

所以m(m—1)=1X2,即m?—巾―2=0,

解得Zn=2或??1=—1.

故答案为：2或一1.

根据向量平行的坐标表示可得.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

15.【答案】0.84

【解析】解：本次比赛甲获胜的概率为0.6+0.6X0.4=0.84.

故答案为：0.84.

直接利用互斥事件和概率的关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：互斥事件和概率的关系式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

16.【答案】2yΓ2l11

318

【解析】解：在AABC中，因为乙4=60。，AB=6,AC=4,

o

由余弦定理得SC?=AB2+AC2_2AB∙½Ccos60=36+16-2×6×4×ɪ=28,

所以BC=

设AHBC的外接圆的半径为R,可得2R=餐r=守，所以a。=R=*1,

SinA33

^(AO-AB=∖AM∖-∖AB∖=18

如图所示,因为外心是三边中垂线的交点,Λ

'"说.正=IÆVI∙∣ΛC∣=8

f(λAB+μAC)-AB=18„ʌ,.„,.„“———>―>

即rπ—.—.—.,又因为乙λ4=60。，AB=6,AC=4,r可zr得j48∙AC=12,

{QλAB+μAC)-AC=8

所以配沈:解得。/所以”奈

故答案为：守；⅛

3ɪo

由余弦定理求得BC=2「，利用正弦定理求得外接圆的半径为R,结合4。=R,再由外心是三

边中垂线的交点，结合向量数量积的几何意义，列出方程组，求得/1=：,〃=:，即可求解.

VO

本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题.

22

17.【答案】解：(1)由Z=2+bi,得=(2+hi)=4—b+Abi9

•・・Z?为纯虚数,

(4-b2=0

=b=±2;

,,(4h≠0

又b>0,

・•・b=2；

2+2i_(2+2i)(l+i)_4i

(2)3口="ιτΓ=(i-0(i+0=72i,

【解析】(1)由复数的四则运算结合纯虚数的定义求解即可;

(2)由复数的四则运算结合模长公式求解即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解:(1)解由题意得:α∙h=∣α∣∙∣h∣∙CoS60。=1，

当下IZ时，"2=0,则(2l+3〉)∙(3五+>方)=0,

.∙.6a2+3kb2+(9+2∕c)α∙K=0>即6X4+3kX1+(9+2k)x1=0，解得k=-「；

(2)∣dI=∖3a+kb∖=I(3a+kb)2=J9a2+k2b2+6ka-b=√∕c2+6fc+36=2ΛΛ13)

：.∕c2+6∕c-16=0,解得k=2或—8.

【解析】(1)由口结合数量积运算求解即可；

(2)由模长公式结合数量积运算得出k.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

19.【答案】解：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件B1,

设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，

则P(E)=P(Al∙Bl)=0.5X0.4=0.2：

(2)分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件4B,C,事件尸表示经过前后两次选拔后,

恰有一人合格，

则P(A)=0.5X0.6=0.3,P(B)=0.6X0.5=0.3,P(C)=0.4X0.5=0.2,

所以P(F)≈P(A∙B∙C)+P(A∙B∙C')+P(AB∙C)

=0.3X0.7X0.8+0.7X0.3X0.8+0.7X0.7X0.2

217

=。434=能

【解析】(1)根据相互独立事件概率乘法公式可得；

(2)由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.

本题主要考查了互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得第1组□5,25)的频率为0.020X10=0.2,

・•,第一组的频数为20,

1

∙*∙0.020+0.036+%+0.010+0.004=—,

解得％=0.030.

众数为：至尹=30.

(2)由频率分布直方图得第1组的人数为0.020×10×100=20,

第3组的人数为0.030×10×100=30,

第4组的人数为0.010×10×IOO=10,

从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，

则第1组抽取6X--ɪ-=2人，

⅛UIOViJLU

第3组抽取6X扁熹=3人，

第4组抽取6X扁%=1人.

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，

基本事件总数TI=盘=15,

所抽取的2人来自同一个组包含的基本事件m=废+废=4,

所抽取的2人来自同一个组的概率P曙=卷

【解析】(1)由频率分布直方图求出第1组［15,25)的频率为0.2,再由第一组的频数为20,能求出n,

由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,能求出X的值，并能求出众数.

(2)由频率分布直方图得第1组的人数为20,第3组的人数为30,第4组的人数为10,从第1,3,4组

中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出第1,3,4组抽取的人数.

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，基本事件总数n=叱=15,所抽取的2人来自同一个组包

含的基本事件m=废+或=4,由此能求出所抽取的2人来自同一个组的概率.

本题考查频率分布直方图的应用、考查众数、分层抽样、概率的求法，是基础题，解题时要认真

审题，注意频率分布直方图的合理运用.

21.【答案】解：(1)证明：由已知易得：C'。_L平面48。，∙∙∙C'。J.40,

5L-：ABLAD,C'OC∖AB=O,CO,力BU平面C'AB,

.∙.AD_L平面CZB,•••CBU平面CZB,

.∙.AD1CB；

(2)由(1)知：AD1CB,

,

又∙∙∙C'D1C'B,ADdCD=DfADfC'Du平面C'4D,

ʌC,B1平面CzD,

,,

又C'/U平面CZDΛCB1CAf

在Rt△4C，B中，C'0=c'b^'a=ɪjɪ=ɪ`

设点a到平面c'80的距离为d,

1I

由

得

匕%d=-

3-αBD3

11

新

即1d√6

-X-XX√63

323,

.∙∙力B与平面OBD所成的角的正弦值为焉=

【解析】(1)根据已知，先证AC平面CzB,然后由线面垂直的性质可证；

(2)先证C'B1C'4然后由等体积法求点2到平面CBD的距离，即可求得所求.

本题考查线面垂直的判定定理与性质，线面角的求解，属中档题.

22∙【答案】解：⑴由熹+熹=高，即篝+暮=黑,

CosBsinC+sinBcosCsin2∕l

得:cosA=SinA•