新高考数学基础复习讲义 08 正、余弦定理（教师版含解析）

考点08正、余弦定理

知识理解

正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2÷c2-2bccosA；

q=-^=q=2R

内容b2=c2÷a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2÷b2-2abcosC

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

Aa.Cb._cb2+c2-a2

sinAOR,sinB—.R,sinɑ—2R;“SA=2bc:

a：b：c=sinA：SinB：sinC；c2÷a2^-b2

变形“SB=2ac；

asinB=bsinA,

a2+b2-c2

bsinC=csinB,CoSC=--

asinC=csinA

L两角一边求角1三.边求角

使用条件

2.两边对应角2.两边一角求边

二,三角形常用面积公式

(I)S=Ta∙ha(ha表示边a上的高)；

(2)S=JabsinC=TaCSinB=IbCSinA；

(3)S=∣r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).

考向分析

考向一正余弦的选择

【例11（1）（2020•陕西省商丹高新学校）已知在AABC中，8C=15,AC=10,A=60。，则CoSB=

（2）（2020•全国高三专题练习）44%7的内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知白60°,ZP√6.53,

则A=.

【答案】⑴无⑵75

3

【解析】（1）由于BC=15,AC=10,A=60o,

所以由正弦定理可得：匹=/£,即：解得：sin6=走，

sinASinBsin60°sinB3

由于在ΔA8C中，BC>AC,A=60o,根据大边对大角可知：A>B>0°,则CoSB>0,

由sin?B+cos?3=1，解得：COSB=YS，故答案为"

33

>rτΛ∕3

5/6x

（2）由正弦定理^一~-=」一,得.n⅛sinCV√2,结合Z?<c可得5=45，则

SinBsinCSlnB=---------=--ɪ=--

C32

A=180o-B-C=75o.

【举一反三】

1.（2020•吉林高三其他模拟）在.ABC中，角A，8，C所对的边分别为α”,。，已知3=30°,α=2,

sinA=,，则匕=.

5-

【答案】5

【解析】因为3=30°,a=2,SinA=

L2b

（1h—=--------------

所以由正弦定理——=——,可得1sin300,解得匕=5.故答案为：5

sinAsinB-

2.（2020•海南华侨中学高三月考）在AA5C中，己知α=J5,b=2,8=45。，则角A的度数为.

【答案】30。

【解析】由正弦定理，得SinA=^sinB='ZSin45°=L,

sinASinBh22

又因为人>α,故A=30°.故答案为：30°.

式

3.（2020•肥东县综合高中高三月考（文））在一ASC中，角A，B,。所对的边分别为J若C=耳，

h=y∕β»C=3,则A=.

5;T

【答案】—

12

bc®_3FT

【解析】由正弦定理知，—-=^-,所以万一一V，解得SinB=当，

sinBSinCsin—2

3

则8=色或8=3工，又因为h<c,所以B为锐角，即6=色，所以A=1—8—C=",

44412

5万

故答案为：—.

12

4.（2020•上海市罗店中学）在AABC中，已知α=J5∕=1,B=5,贝UC=_____

6

【答案】1或2.

【解析】在ΔABC中，因为α=JJ,b=l,B=m,

6

ɪɪ

由正弦定理得a=b,即SinA一.万一1所以SinA=《3，所以A=±g或A=；

sinASinBsin——233

62

当A=-ɪ时，得到C=〃一A-B=C,所以B=C,故c=b=l;

36

TTJT,

当A=W时，得到C=1一A-8=5,所以C=Ja2+/=2.

ɔ乙

故答案为：1或2∙

5.（2020•湖北高三月考）在4A3C中，NB=∕C=75，BC=2,则AB=.

【答案】√6+√2

【解析】因为NB=NC=75，所以NA=I80-75-75=30，

2AB

所以sin30—娓+垃,解得AB=#+及.故答案为：√6+^

4

考向二边角互换

【例2】（1）（2020•上海高三其他模拟）在锐角AABC中，角AB,C所对应的边分别为。力,J若

O=2αsinB,则角A等于.

（2）（2020•上海格致中学高三月考）在三角形ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,若

（a+b+c）（b+c-a）-bc,则角A=

【答案】⑴工⑵4

63

【解析】（1）利用正弦定理化简6=2αsinB,得SinB=2sinAsinB,因为SinBH0,所以SinA='，

2

TT

因为A为锐角，所以A=—.

6

22122

⑵由（α+1+C）S+c-α）=IC得:（,b+c）-a=bc,BPb+c-a=-be，

.∙.cosA=+C———ɪ-ɪ»A是三角形的内角A=2^故答案为：与.

Ibc233

【举一反三】

1.（2020•全国高三专题练习）在锐角，ABC中，角AB所对的边分别为a,b,若24sinB=®,则角A=

【答案】I

【解析】,∙,IasinB=y∕3b»•**根据正弦定理边角互化得：2sinAsinB=有SinB,

又8e（0,,）,SinBHO,SinA=^，

♦....480为锐角三角形，...4€（0,1ŋ.∙.A=。故答案为：I

2.（2020•全国高三专题练习）在AABC中，角AB,C所对应的边分别为4,h,c.已知

bcosC÷CCosB=2b则2=.

a

【答案】⅛

2

【解析】将ZTCOSC+c∞s3=2⅛,利用正弦定理可得：SinBcosC+SinCcosB=2sinB,

即Sin（B+C）=2sinB,∙.∙sin（8+C）=sinA,.∙.sinA=2sinB,利用正弦定理可得：a=2b,

则2=!∙故答案为

a22

3.（2020•广东中山纪念中学高三月考）AABC的内角A,5,C的对边分别为α,Ac若αcosB=√3∕?sinA,

则B=.

【答案】ɪ

6

【解析】已知"cos6=J%sinA,由正弦定理可得，sinAcosfi=^sinfisinA.

由SinA>0,化简可得tanB=且，∙..（）<8<»，故B=/.故答案为：W

366

4.（2020•西安市第六十六中学高三期末（文））在,.ABC中，内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,

且bsinA=acos（8-g],则角8=.

【答案】B=y

【解析】由正弦定理及bsinA=acos（8-£）

可得：SinBSinA=SinACoS（B-在&AeC中，SinAR0,

sinB=cosB—二，即sinB=cosBcos—+sinBsin-.β.tanB=»又B为三角形内角，,8二工

k6j663

故答案为：?π.

5.（2020•拉孜县中学高三月考）在，ABC中，角A,B,C的对边分别为α1,c,且

2ccosA=acosB+⅛cosA.贝IJA=

【答案】y

【解析】由正弦定理可知，2ccosA=αcos5+hcosA化简得，

2sinCcosA=SinAcos8+sin5cosA=sin（A+B）=sinC,

!Jrττ

又由A∈（0,乃），SinA≠0,得出COSA=—，A=—故答案为：一.

233

考向三三角形的面积公式

【例3】（1）（2020•天津耀华中学高三期中）在.ABC中.AC=JKBC=2,B=60。.则,ABC的面积

等于.

（2）（2020•北京铁路二中高三期中）若.A6C的面积为子（/+¢2-6）,则NB=.

【答案】（1）之叵（2）二

23

【解析】⑴由余弦定理得AC?=Aβ2+BC2-2AB∙BCcosNA8C,即7=AB?+4-4A8cos60。，解

得ΛB=3（AB=T舍去），所以S/、WJC=JA5∙BCsinNABC=Lχ3x2xsin60。=更.故答案为：地.

δasc2222

〃222

⑵因为COSB=---------------，所以〃=2accosB，

2ac

又因为S=1αcsinB,所以LaCSinB=2〃CCoS5,解得tan8=6，

224

TTTT

因为8e（0,万），所以8=勺，故答案为：ʌ

33

【举一反三】

1.（2020•陕西高三三模）已知“，b,C分别为..A6C内角A，B,C的对边，a=ESinA=走，

3

%=指，则；.ABC的面积为.

【答案】√2

【解析】由于α=J∑,sinA=>b=y∕β>

•a<b,；•A<B，cos√4=也

3

由余弦定理得理="+c-"-,解得c=2,

32hc

∙'∙,.ABC的面积S=LX2χJ^^χ∙^^=5/2.

23

故答案为：√2∙

2.（2020•江西省信丰中学高三月考（文））在AABC中，BC=2,3=60。，若A43C的面积等于巫，则

2

边长AC为.

【答案】√3

【解析】因为，故所以又。=所以故

SΔABC=*gαcsinN=*,αc=2.2,C=1,

⅛2=22+l2-2×2×l×∣=3,从而AC=h=填√J∙

3.(2020•黑龙江鹤岗一中高三月考(文)).A5C的内角A,B,。的对边分别为〃，b,J已知

∕?SinC+csin8=2j∑asinBsinC，b1+c2-a2=6，则,ABC的面积为_______・

3

【答案】-

2

【解析】由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=2>∕∑sinAsinBsinC，

易知sin3sinCw(),所以SinA=也\

2

序42_2o

X/?2+c2-a2=6，所以CoSA=---------------='，

2bcbe

所以CoSA>0,所以COSA=S-Sin2A=走,即2=也，be=3近，

2be2

所以一ABC的面积S=L历SinA=^x3√∑χ也=』.

2222

3

故答案为：一.

2

4.(2020•河南焦作・高三一模)在二A3C中，角A，8,C的对边分别为。，b,c,已知一ABC的面

积为而,c-α=2,CosB=-,则b的值为_______.

4

【答案】4

【解析】因为38=('所以SEB

因为已知，.ABC的面积为√15，

所以S&Be=；QCSin8==，整理得QC=8,

由余弦定理得从="+/21

-2。CCOS8=(C-Q)"+20c-]Qc=16,所以b=4.故答案为：4

考向四正余弦综合运用

3

【例4】（2020•江苏宿迁中学高三期中）在①S=2立，②〃+c=6,③sinBsinC=瓦这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求8的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

9

问题：是否存在A6C,它的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且α=2",A=-π,

3

?

【答案】选择见解析；三角形存在，匕=2或4.

【解析】方案一：选条件①.

在，ABC中，由余弦定理得cr=b1+c1-2bccosA，

^ib2+c2+bc=2S.

2ɪ

由①S=2岔和A=—万可得一Z?CSinA=26，从而机∙=8.

32

由此可得/一20b?+64=0，解得b=2或4.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时b=2或4.

方案二：选条件②.

在..AfiC中，由余弦定理得a2=∕72+c2-2⅛ccosA,

故"+/+加=28.

由②匕+c=6可得〃一6Z?+8=0，解得匕=2或4.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时b=2或4.

方案三：选条件③.

在.ABC中，由余弦定理得er=b2+c2-2bccosA，

i^b2+c2+bc=28.

zɔ1Λ

由正弦定理和。=2近，A=—万得二一=--=-42Λ,

3sinBSiΓnC3

112

从而。C=----sinSsinC=8，

3

由此可得∕√-20必+64=0，解得b=2或4.

因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时匕=2或4.

【举一反三】

1.(2020•江苏高三期中)在①。2+0"="+¢2,(2)«cosB=Z?sinA,③Sin屏COSJ9=0这三个条件

中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知的内角4B,C的对边分别为a,b,c,,A=—,Z^√2∙

(1)求角B；

(2)求△/比■的面积.

【答案】条件选择见解析；⑴B=J(2)亘史.

44

【解析】(1)若选①，b2+y∕2ac=a2+c2＞则由余弦定理得

a~+/-h~5/2

CoSB=

2ac2ac2

TT

因为3£(0,%)，所以B=—

4

若选②，QCOSjB=Z?sinA,由正弦定理-〃=〃=―J=2R得

sinAsinBsinC

sinAcosB=sinBsinA,

又A∈(O,τr),所以SinA>0,所以CoSB=SinB

TF

又3∈(0,"),tan5=1,B=-

4f

若选③，由SinJB+cosB=∖∣2得V2sin(B+∙^)=JΣ,

TT

所以Sin(B+—)=1,又36(0,万)，

4

.八冗,冗5πŋ7iπ,.π

所rr以κ84—∈(—,—)x,BH—=—，r所r以oB=--

444424

ab

⑵由正弦定理得，又A=I,b=V∑'

sinAsinB

√2×^

力SinA

所以Q=

SinBJ2

T

5π

C=TC-A—B

12

匚uj、I.-,.57Γ,TCTC、.TC7C兀.TC16+yj2

加以SmCz=SIn——=sιnz（-+—）=sin—cos—+cos—sm—=-----------

124646464

所以s.C=348sinc=gχj5χj∑χ^j^=∖,

2.（2020•江苏高三期中）在①a=6；②a=8；③a=12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问

题中的三角形存在，求sin6的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在448C,它的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,面积为S,且才十斤一∕=4S,c=5y∣2»

?

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】由题意可知在△四C中，因为才+毋一02=4S,

且S=La人SinC,所以=sinC,

22ab

〃2I2_2

由余弦定理可知-------—=SinC=cosC,

2ah

因为C∈（θ,乃），⅛cosC≠0,tanC=l,所以。=?,

若选①a=6,由正弦定理可得一3—=—^,解得SinA=^sinC=—黑•也=3,

sinAsinCC5√225

在△力比■中，因为c>a,所以。4又因为C=?,则1只有一解，且A∈[θ,'J,所以

cosA-Vl-sin*2*A=Jl-^=E，

所以sin8=sin(A+C)=SinAcosC+sinCsinA=—∙—+—∙—^∙_7√2

v75252-ɪ,

8√2_4

若选②a=8,由正弦定理可得一--=—--,解得SinA=^sinC=

=

sinAsinCc?72"T5

Tt

在△?!阿中，因为c<a,所以又因为C=—,则/1有两解，

4

所以SinB=Sin(A+C)=SinAcosC+sinCsinA=—∙±—∙=【近或：

v,52521010

若选③a=12,由正弦定理可得——=——

sinAsinC

解得SinA=^sinC=∙⅛∙也=9>1,

C5√225

JlI

Z?=4,/B=—,sinA=—,则。=.

63

Q

【答案】-

3

JlJ

【解析】∙.∙三个内角AB,C所对的边分别是α,b,c,若b=4,NB=R,SinA=-

63

a4O8

.∙.根据正弦定理得——=——即［.π•••a=］故答案为W

SinAsinBsin—ɔJ

36

2.（2020•海南华侨中学高三月考）AABC中，己知α=、历,。=2,3=45。，则A为一

【答案】30°

【解析】在AABC中，由正弦定理得」一=上αsinB√2×sin45°

所以SinA=

sinAsinBb2

=!，又a<b,因此A<45°,所以A=30°∙答案：30°.

2

3.(2020•山东高三月考)在；ABC中，B=-,AB=6，BC=3,则SinA=.

4

3√io

【答案】

10

【解析】由题意得AC?=AB2+3C2-2ABBC∙cos8=2+9-6√Σ∙变=5，

2

3__

即AC=J则二一~~—>sinAy∣2,得SinA=

SinAsɪnB—10

2

4.（2020•肇东市第四中学校高三期中）在447C中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且a=",

71

b=2,A=-则△/回的面积为

39

【答案】史

2

/?Sin/X

【解析】由正弦定理得SinB=--------

a

VKa,.∙.β<A,ΛcosB=^JΣ,ΛsinC=sin(A+β)=,

714

...△月8C的面积为gaAinC=垣.故答案为：幽

222

TT

5.（2020•云南高三期末（理））在一ABC中，角A、B、。所对的边分别是。、b、若c=l,B=-,

4

3

cosA=-,则Z?=,

【答案】I

【解析】因为在ABC中，B=-,CosA=-,

45

所以SinB=COSB=，sin4=Jl-(g)=1，

√23√247√2

因止匕SinC=Sin(B+A)=sin5cosA+cosBsinA-------X-H---------X—=------------，

252510

又c=l,

√2

所以由正弦定理可得——c=——b，则。1=十CSi天n3=二号ɔ=三5.故答案为：5

smCSinBSlnC7√277

ɪ

6.（2020咛夏银川一中高三月考（文））在△钻。中,角4、3、。所对的边分别为。、力、。.若1211。=近，

5∕?

CoSA=半，⅛=3√2B⅛.则,，.A3C的面积为

2

【解析】tan。=XJ=J7,且si∏2C+cos2C=l,

COSC

解得SinC=^COSC=，又COS4=§近,所以，sinA=,

4488

sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB=------，

工=工力=30

sinAsinB

故SΛ∣ic=-×ahs∖nC=-×2×3y/2×=12∕Z

abc2242

故答案为：迎

2

TTTT

7.（2020•四川石室中学高三其他模拟）/.ABC的内角46,C的对边分别为a,b,c,若B=C=

a=2,则.ABC的面积为.

【答案】3-y∕3

【解析】由题可知，在.ABC中,

.πππ.π百JΣ1y∣25/6+5/2

SinA=Sin(8+C)=sin--∖--=Sin-Cos一~Fcos—sin—=——X——÷-×——=-----------,

、34y343422224

ab

由正弦定理可得——二——,

SinASinB

,6Z.2^=3√2-√6

/.b=------×smB=—ʒ=——尸X-

SinA√6+√2

4

.∙.S=^absinC=；x2x(30-=3一班.故答案:3--∖∕3.

8.（2020•山东高三期中）若，ABC的面积S=:伊+。2—。2）,则A=

π

【答案】一

4

【解析】依题意S=U^+c2—即LCSinA=，伍2+/一〃），即SinA=Zr+02一?

cosA，

4v,24v,2bc

TTIT

所以tanA=l,由于0<4<不，所以A=一.故答案为：一

44

9.（2020•全国高三专题练习）在AABC中，角A，B,C的对边分别为。，b,J若/,=J∑,C=4,

且αcosB=3∕?COSA,则AABC的面积为.

【答案】2

“2*2—序122_2

【解析】由余弦定理得α∙=3从匕二——

2ac2bc

即/+16-2=3（2+16-/）,解得4=加,

;2_2+16-10√2

.∙.cθsA=电/心

Ibc2y∕2×4~2'

，sinA=Jl-COS2A=也^，

2

故SA八44AcsinA=k>∕Σx4x二■=2.

mbc222

故答案为：2

10.（2020•上海高三二模）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若

a2+h2+c2-2∖∣3bcsinA<则A=.

【答案】J.

222222

【解析】a+b+c=（/+c-2bccosA^+b+c=2GACSinAn

c,.（万）,22..「，乃、b^+c22bc,

26csinAλ+—∖=b^+c^,而SlnlA+—I=---------≥——=1,

V6√\6√Ifbc2bc

=>sinA+—≥1=sin∣A+—∣=lnA=-.

I6)I6)3

故答案为：∙y

11.(2019•广西高三月考)ΔA3C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若α=2,贝∣J〃cosC+c∙cosB

的值为______.

【答案】2

〃2A2_22,2_»2

【解析】由根据余弦定理，可得bcosC+ccosB=里X+cx=a=2.

2ab2ac

故答案为2.

B+c

12.（2020•广东广州•高三月考）在条件①COSACoS3+cosC=2sinAcos5,②力Sin-------=QSin8,

2

③αsi∏24空+csin?"C=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

224

在，.ABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,β=2√5.b=2c,,求.ABC的面积.

5√15

【答案】选①'SABC=4；选②'S.=邛；选③'SΛBC

4

【解析】选择①

∞sAcosB+∞sC=2sinAcosB,

cosAcosB-cos(A+3)=2sinAcosB,

即cosAcosB-CosAcosB+sinAsinB=2sinAcosB，

化简得：2sinAcosB=sinAsinB,

又∙.sinA≠0,

.∙.tanθ=2,

即COSJS=@，SinB=2

55

/.a=2∖∣5,b=2c,

由余弦定理得：(2c)2=。2+仅-2χcχ26X半,

解得：c=2,b=4,

一ABC的面积为S=-acsinB=4;

2

选择②

^sin-------=αsinB,

2

由正弦定理可得SinBSinOtG=SinASin3,

2

又sinB≠0,

.B+C..

sin-------=sinA,

2

由A+B+C=180。，

.B+CA

sin-------=cos—

22

即cos—=2sin-cos—,

222

AC

cos—≠O,

2

Δ1

即Sin彳=彳，A=60°,

22

由余弦定理得(2扃=c2+(2c)2-2χcχ2cχg,

2√15,4√L5

解得：C=——,b=——,

33

.∖ΛABC的面积为S=-besinA=ɪɪ；

23

选择③

.2A+B,B+C5,p,Cc

由asm-------+csm^2-------=-b及A+B+C=兀,

224

2CA5,

得：acos-+ccos2—=—/?,

224

,1+cosC1+cosA

a即ra-----------Fe----------=-b

224

由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=-sinB,

.∙.sinA+sinC=-sinB,即a+C=Jb

22

由a=2∙∖∕^,得：a-b—2>∕5>c=2小,

√15

sinC=

ABC的面积为S=LαbsinC=8叵

13.(2020•昆明呈贡新区中学(云南大学附属中学呈贡校区)高三月考(理))已知AA6C的内角4B,C的

对边分别为ab,α且4+〃+，=2("cosC+αccos3+hccosA).(1)求6的值；

(2)若满足QCoSA=Z?cos3,c=3,求Abe的面积.

【答案】(Db=2；⑵地或逐.

【解析】⑴由余弦定理可得26⅛cosC+24ccosB+2Z7ccosA

=a2+b2-C2++c2-b1+b1+c2-a2=a2+b1÷c2,

又4+/+<?=2^abcosC+accosBbecosA）,

所以可得6=4.

由于b>0,

所以6=2.

（2）已知。COSA=hcos5,

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,

由正弦二倍角公式可得sin2A=sin2B,

・.・2A∈（0,2兀）,23∈（0,2兀）,

4+8∈（0,兀），2A+2B∈（0,2π）,

所以2A=25或者2A+28=π,

当2A=28时，

A=3,

a=b=2,

coseq—=」

2ab8

Sine=4

8

5ΔABC=gαbsinC=;

当2A+2B=π时,

A+B=-C=-,

2f2

a=>∕c2-b2=6，

SMBC=IQb=石,

综上：..ABC的面积为硬或JK

群S秋育中Cr字蚪共享赛②

辞号734924357

14.(2020•广西北海•高三一)已知在4ABe中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,且

(α+))SinA=CsinC+(2a—b)sinB.

(1)求角C的大小；

(2)若c=J5,求一ABC面积的最大值.

【答案】⑴工；⑵叵

32

【解析】(l)∙.∙(α+6)SinA=CSinC+(2α-0)SinB,.∙.(α+h)α=c2+(2α-6)。,

222-,Cl^+b^—C~Clb1—Z-∙/AX~,n

a^+b^—c~=ab，.".cosCz=---------------=---=K又C∈(0,τr),..Cr——

2ab2ab23

(2)据(1)求解知，a°+b2—c?=ab.又∙c=立，.∙.a1+b2=2+ab∙

又ct2+b2≥2ab,当且仅当α=b时等号成立，.∙."≤2,

∙∙∙(SABC)max=g("z7)maxSinC=gχ2xsin?=*,此时α=b=6∙

15.(2020•安徽高三月考)如图，平面四边形/6(力是由钝角二4%与锐角—45拼接而成，且

π

AC∙cosABAC=BC∙sinZABC，/BAA—.

2

(1)求/。〃的大小;

⑵若水＞4,CAM,求△如»的面积.

π

【答案】(1)：；(2)6.

4

【解析】⑴在中,

YA。CoSNBAeBC∙sin/ABC,

.∙.由正弦定理得，SiR/A3。CoSNBA废sin/胡。SinNABa

VsinZ^6≠0,

：.IanZBAC=I9又NBACG(0,π),

π

：・/BAU-

4

π

9：ZBAD=-

29

π

"CAW一

4

(2)在中，/CM,CD=J↑O,ZCAD=-

4

由余弦定理得，Cff=Ae+AI^-1AC∙AD-cosΛCAD,

即10=16+4∕-2X4X4‰弓，解得49=应或49=3&

,L,2+10-16

当仍应时‘cos"屐亚区而〈n°'

此时J切为钝角三角形，不满足题意，舍去.

当49=3&时，

-的面积S=-AC∙AD-SinZCAD=G

2

16.(2020•江苏常州•高三期中)在①力c=4,②αcosB=l,③SinA=2sin3这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在,.ABC,它的内角A，B,C的对边分别为。，Z?,c,且bcosC=l,CSinA=2sinC,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案不唯一，见解析.

【解析】若选①，A=4,由于CSin4=2Sina利用正弦定理可得ac=2c,可得a=2,因为AcosC=I,

[2j22

可得CoSC=+2,整理可得2a=4+4-常解得6=c=2,所以C=工.

bIab3

若选②，acosB=1,因为CSin力=2SinC,由正弦定理可得ca=2c,解得a=2,

1π

所以COSQ—,由8£(0,π),可得B=—,又⅛cosCτ=l,可得acosE=⅛cosC,

23

“2I2_r22.r2_24

由余弦定理可得a∙~ɪ-~~幺二J,整理可得，=α所以C=QT7.

2ac2ab3

若选③，sinJ=2sinZ?,由正弦定理可得a=2b,又CSin力=2sinC,由正弦定理可得ca=2c,可得a=2,

所以b=L又因为ACoSo=1,可得COSo=1,又C∈(0,π),

所以这样的C不存在，即问题中的三角形不存在.

17.(2020•河北张家口•高三月考)在「ABC中，内角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,且

sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC∙

(1)求角3的大小；

(2)若b=3,求一ABC面积的最大值.

【答案】(Dj⑵坦

34

【解析】(1)sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC

由正弦定理得

b2-cr+c2-ac(*)

由余弦定理：b^=a2+c2-IaccosB

：.cosB=ɪ,且5∈(O,Æ)

：.B=三

3

(2)当b=3时，由(*)得：9=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac