数学人教A版必修2学案1-1-1第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征

第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1．1.1柱、锥、台、球的结构特征第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征[目标]1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．[重点]棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点]棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．[答一答]1．多面体与旋转体的主要区别是什么？提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征[填一填]有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的？提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如右图所示．知识点三棱锥的结构特征[填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．[答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．[答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．类型一棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)棱柱的结构特征：1两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.[变式训练1]如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1­DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．类型二棱锥、棱台的结构特征[例2](1)如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)由题意知，在三棱台A′B′C′中，截去三棱锥A′­ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C.故选B.(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面PAC截成的两部分都是棱锥．[答案](1)B(2)②③④判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[变式训练2]如图，下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义．类型三空间几何体的展开图问题[例3](1)请画出如图所示的几何体的表面展开图；(2)如图是两个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？[解](1)展开图如图所示．(答案不唯一)(2)根据表面展开图还原成几何体，如图③和④所示，可知①为五棱柱，②为三棱台．1解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.2若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.3若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.[变式训练3]某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？解：(1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20m.1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(D)A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(B)A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(C)A．①③B．②④C．③④D．①②解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．4．下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号)．解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.——本课须掌握的四大问题1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面：(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．学习至此，请完成课时作业1学科素养培优精品微课堂柱、锥、台结构特征判断中的误区开讲啦(1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[典例]如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一