2023年山东省聊城市中考数学一模试卷（附答案详解）

2023年山东省聊城市中考数学一模试卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共22小题，共88.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中，正确的是（）

A.Q^=±4B.（-√^）2=4C.√（-5）2=-5D.√≡27=-3

2.下列由若干个完全相同的正方体搭成的几何体中，主视图和左视图相同的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.a3+3α3=5a6B.7a2∙a3=7α6C.（―2α3）2=4αsD.as÷a2=a6

4.某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：61,75,70,56,81,91,

92,91,75,81.该组数据的中位数是（）

A.77.3B.91C.81D.78

5.一个64位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机

的150000000000倍淇中数据150000000000用科学记数法表示为（）

A.0.15XIO12B.1.5×IO11C.15×IO10D.1.5XIO10

6.如图，在平行四边形4BC0中，对角线AC与BD相交于。,

若AC=6,BD=10,则边力B的长的取值范围是（）

A.6<AB<10

B.4<AB<16

C.2<AB<8

D.3<AB<5

7.小张和小王同时从学校出发去距离15千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行1

千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走X千米，则（）

.1515115151,15151.1515_1

-d=r=r-

ʌ'Tx+1~2ŋ,~^X→2ɛ'x^l~~2ʊx+i~~~2

8.若一元二次方程卜》2-3%-?=0有实数根，则实数k的取值范围是()

A.k=—1B.fc≥—1且々≠0C.k>—1且k≠0D.k<—1且k≠0

9.如图，在48、AC上各取一点E、D,使AE=40,连接B。、CE相交

于点0,再连接4。、BC,若Nl=42,则图中全等三角形共有（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

10.若Wi+n=4,则2J∏2+4mn+2污一5的值为()

A.27B.11C.3D.0

11.二次函数丫=一2。+1）2+5的顶点坐标是（）

A.-1B.5C.(1,5)D.(-1,5)

12.如图，在等边三角形力BC中，48=3,点P为BC边上一动点，

连接4P,在4P左侧构造三角形04P,使得440P=120o,OA=OP.当

点P由点B运动到点C的过程中，点。的运动路径长为（）

A±C≡

-3

B.√^3

C-y-π

D.√~3τr

13.的绝对值等于（）

1

-D

A.2B.2C.—ɪ2-

14.下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）

ʌQftP-#D

C舟@

15.下列运算中，正确的是()

A.2√^^3+3√7=5√^5B.-α8÷α4=-a2

C.(3α2)3=27α6D.(a2-b)2=a4-b2

16.如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、4C的中点,

如果EF=2,那么菱形ABCD的周长是（）

A.4

B.8

C.12

D.16

17.如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（）

下列结论中正确的是（）

A.甲组数据比乙组数据的波动大B.乙组数据的比甲组数据的波动大

C.甲组数据与乙组数据的波动一样大D.甲组数据与乙组数据的波动不能比较

19.两圆的半径分别是3和5,圆心距为8,那么两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.相交D.相离

20.用等腰直角三角板画44OB=45。，并将三角板沿OB方A

向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22。，则

三角板的斜边与射线。4的夹角ɑ为度（）

B∙22OMB

C.67

D.30

21.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛.如图所示：

①②③

按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）

A.2+6nB.8+6nC.4+4nD.8n

22.已知。。的半径为2,点P是。。内一点,且OP=门,过P作互相垂直的两条弦4C、BD,

则四边形4BCD面积的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

23.因式分解：3α2-3=.

24.如果α<0,那么不等式组的解集为.

25.如图，点C,E分别在线段4B,AC上，且NABC=乙4ED.若DE=2,A

一Λ

AE=3,BC=4,则AB的长为____

BC

26.如图，在RtMBC中，4C=9（1°,乙4=30。，分别以点A,8为圆心，大于线段AB长度

一半的长为半径画弧交于M,N两点,连结MN分别交AB,HC于点E,D,若40=8,贝∣J4B的

长为______.

B

27.如图，在平面直角坐标系中，OB在X轴上，∆AB0=90°,点4在第一象限，将△4。B绕

点4逆时针旋转90。，点。的对应点C恰好落在双曲线y=-j(x>0)上,若点4的横坐标为2,

则点。的坐标为

28.如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部

分面积分别为S1，52,$3,若Sl=1,则$2=,S3=

29.据黔南州旅游局统计，“五•一”黄金周我州旅游出入境的人数为820000人，用科学记

数法表示为人.

30.分解因式：a2—3a=.

31.已知反比例函数y=5的图象经过点(一2,1),则k的值为

32.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的

一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树

的高是,米.

33.如图，正方形ABDC和正方形OEFG中.点C和点F的坐标分别

为(-3,2),(1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是

34.如图，在矩形ABCO中，AD=5,4B=4,点E、G、H、

F分别在4B、BC、CD、ADh,且4F=CG=2,BE=DH=1,

点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF,PG、PH,则

ΔPEF和^PGH的面积和等于.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

35.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，

共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元.”王老师算了一

下，说：“你肯定搞错了。”

(1)王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；

(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本。但笔记本的单价

已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？

四、解答题(本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

36.(本小题8.0分)

计算：

(1)(一2)2Xɪ+∣V≡8∣+>f3×(-1)2016

(2)√^81+Vz27+J(-2)2+-2|

37.(本小题8.0分)

如图，在四边形ABCD中，BD1CD,EF1CD,且Nl=42.

(1)求证：AD//BC；

(2)若BD平分N4BC,乙4=130°,求NC的度数.

38.(本小题8.0分)

某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜

爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调查结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题.

A:演讲比赛

(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为，在扇形统计图中，m的值为

(2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？

(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请

用树状图或列表法求出a同学参加的概率.

39.(本小题8.0分)

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地4和人工智能科技馆C参观

学习.如图，学校在点B处，4位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30。方向，C在4的南

偏西15。方向(30+3Oq)km处.学生分成两组，第一组前往4地，第二组前往C地，两组同

学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km",第二组乘公交车，速度是35kπι"∙

(1)求学校到红色文化基地A的距离？

(2)哪组同学先到达目的地？请说明理由(结果保留根号).

40.(本小题8.0分)

如图，D为。。上一点，点C在直径Ba的延长线上且NC∕M=4CBD.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若NC=30o,AC=5,求O。的半径.

41.(本小题8.0分)

如图，在正方形ABCD中，点E,F分另IJ在边4B,BC上,4F与DE相交于点M,且NBAF=∆ADE.

(1)如图1,求证：AF1DE；

(2)如图2,AC与BD相交于点。，AC交DE于点G,BD交AF于点H,连接GH,试探究直线GH与

4B的位置关系，并说明理由：

(3)在(1)(2)的基础上,若AF平分NBAC,月一△BDE的面积为4+2y∕~2,求正方形4BCD的面积.

图1图2

42.(本小题8.0分)

如图，抛物线y=-合+bx+c经过4(一1,0),8(3,0)两点，且与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)抛物线上是否存在点P,使得ABCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符

合条件的点P的坐标：若不存在，说明理由：

(3)点M为。C的中点，若有一动点P自点M处出发，沿直线运动至X轴上的某点(设为点E),再

沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点尸)，最后又沿直线运动至点C,则点P运动的

总路程最短为.(请直接写出答案)

43.(本小题8.0分)

(1)计算：(C)O-Sin30。+|2--G)-2；

(2)请从以下不等式中选取两个不等式组成不等式组，并解这个不等式组

5x+7>3(x+l);X+5>2(x-1)；3x+5>x—3.

44.(本小题8.0分)

如图，E,F是平行四边形ABCD的对角线4:上的点，CE=AF.请你猜想：BE与DF有怎样的

位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.

45.(本小题8.0分)

如图，请在由32个边长都为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作一个直角三角形,

且直角三角形的三个顶点都在网格顶点上.

(1)在图①中画出斜边为2的直角三角形；

(2)在图②中画出斜边为2√~5的直角三角形；

(3)在图③中画出斜边为E的直角三角形.

46.(本小题8.0分)

如图，有A、B、C、。四张卡片，其正面分别写有“寸、又、日”四个偏旁部首，有的能独

立成字，有的能组合成字.现四张卡片背面朝上.

(1)任意翻过一张卡片，能独立成字的概率为;

(2)先任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合，请用列表或画树状图的方

法求翻过的两张卡片恰好能组合成字的概率.

回团©回

□0SH

47.(本小题8.0分)

某校学生会准备调查初中2009级同学每天(除课间操外)的课外锻炼时间.

人数

图1

(1)确定调查方式时，甲同学说：“我到班去调查全体同学”：乙同学说：“我到体育场上去

询问参加锻炼的同学”：丙同学说：“我到初中2009级每个班去随机调查一定数量的同学”，

请你指出哪位同学的调查方式最为合理；

(2)他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图,

请将其补充完整；

(3)若该校初中2009级共有240名同学，请你估计其中每天(除课间操外)课外锻炼时间不大于

20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议.(注：图中相邻两虚线形成的圆心角

为

30°)

48.(本小题8.0分)

如图，圆。是AABC的外接圆，AB=AC,过点4作4P〃BC,交B。的延长线于点P.

(1)求证：4P是圆O的切线；

(2)若圆。的半径R=5,BC=8,求线段AP的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：τV16=4≠+4,故选项A错误；

(-S)2=2≠4,故选项B错误；

J(-5)2=5≠-5，故选项C错误；

V≡27=-3,故选项D正确.

故选：D.

先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论.

本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：4、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2,1,1；左视图从左往右3列正方形的

个数依次为2,1,1,符合题意；

B、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2,2,1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2,

1,不符合题意；

C、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2,2,1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2,

2,不符合题意；

D、主视图从左往右2列正方形的个数依次为1,2；左视图2列正方形的个数依次为2,1,不符合

题意；

故选:A.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视

图和俯视图是全等图形的选项即可.

此题考查的是简单组合体的三视图，解决本题的关键是找到几何体的三视图，掌握全等的定义.

3.【答案】D

【解析】解：a3+3α3=4α3,

故A不符合题意；

7a2-a3=7a5,

故B不符合题意；

(-2α3)2=4α6,

故C不符合题意；

a8÷a2=a6,

故。符合题意，

故选：D.

根据合并同类项，同底数暴的乘法，积的乘方，同底数幕的除法法则分别判断即可.

本题考查了合并同类项，同底数嘉的乘法，积的乘方，同底数基的除法，熟练掌握这些知识是解

题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：将这组数据重新排列为：56、61、70、75、75、81、81、91、91、92,

则其中位数为誓=78,

故选：D.

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.

此题考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据

奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找

中间两位数的平均数.

5.【答案】B

【解析】解：150000000000=1.5×IO11.

故选：B.

科学记数法的表示形式为aXion的形式，其中ι≤∣α∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为αXIO"的形式，其中l≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及n的值.

6.【答案】C

【解析】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

.∙.A0=*C,Bo=WBD,

"AC=6,BD=10,

∙∙∙AO=3,BO=5.

在△?!BO中，48的取值范围是：5—3<48<5+3,即2<48<8.

故选：C.

直接利用平行四边形形对角线互相平分得出A。，8。的长，再利用三角形三边关系得出答案.

本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，得出AO,BO的长是解题关键.

7.【答案】A

【解析】解：设小王每小时走X千米，则小张每小时走(x+l)千米，

根据题意得，---⅛=J∙

Xx+12

故选:A.

设小王每小时走X千米，分别表示出二人所用时间，根据“小张比小王早到半小时”，列出分式方

程即可.

本题考查了列分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

根据根的判别式及一元二次方程的定义：二次项系数不为0,即可求出答案.

本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础

题型.

【解答】

解：由题意可知：Δ=9+9k≥0,且k≠0,

•••k≥-1且k≠0,

故选：B.

9.【答案】D

【解析】解：①在44E0与4/DO中,

ZE=AD

Zl=Z2，

OA=OA

•••△4E。三UOO(SAS);

②∙.∙∆AEO≡^ADO,

.•・OE—OD,∆AEO=Z.ADO,

：,Z-BEO=Z.CDOi

⅛ΔBEo与^COo中，

NBEo=∆CDO

OE=OD，

Z-BOE=Z-COD

•••△89。三女。。(应4)；

③・・•△BEO=^CDO9

.•・BE=CD,BO=CO,OE=OD,

.•・CE=BD,

⅛ΔBFC⅛∆CDβφ,

BE=CD

CE=BD,

BC=CB

/.△BEC王XCDB(SSSX

0S∆½FC⅛Δi4DBψ,

AE=AD

Z-AEC=Z-ADB，

CE=BD

4"三UDB(SAS);

⑤∙.∙∆AECdADB,

：,AB=AC9

在与△力。C中，

2。=AO

Zl=Z2,

AB=AC

・•・AZ。B三ZMOC(SAS),

综上所述，图中全等三角形共5对，

故选：D.

认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻

找即可.

本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：∙∙∙m+n=4,

.∙.2m2+4mn+2n2-5

=2(m+n)2—5

=2×42-5

=2×16-5

=32-5

=27,

故选:A.

根据Tn+n=4和完全平方公式，将所求式子变形，即可得到所求式子的值.

本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答.

11.【答案】D

【解析】解：•••二次函数y=-2(x+l)2+5,

;该函数的顶点坐标是(-1,5),

故选：D.

根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

12.【答案】B

【解析】解:如图，•••乙4CB=60。，乙4。C=I20。,

.∙.A,0、P、C四点共圆，

VOA=OP,/.AOP=120°,

.∙.∆APO=∆OAP=30°,

"AO=AO^

：.∆ACO=/.APO=30°,

.∙.∆ACO=∖∕-ACB=30°,

•••点。在NaCB的角平分线上运动，

。点的运动轨迹为线段。O',

当P点在B点时，/OPC=90。，

当P点在C点时，∆ACO=30°,

.∙./.OCB=30°,

•••AB=3,

.∙.OP=CB-tαn30o=3X一=√^3-

VOA=0,A,∆A00'=60°,

00'=OB=OP=√-3,

二点。的运动路径长为一口,

故选:B.

由题意，可知。点的运动轨迹为线段。O',当P点在B点时，NoPC=90。，当P点在C点时，NACO=

30。，则AtMO'是等边三角形，求出。0,=OB=。P=C，即可求点。的轨迹长.

本题考查点的运动轨迹，熟练掌握等边三角形的性质，由P点的运动情况确定。点的运动轨迹是解

题的关键.

13.【答案】D

【解析】解：∙.∙∣-g∣=;,

∙∙∙J的绝对值是;.

故选：D.

计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉

这个绝对值的符号.

本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对

值是它的相反数；。的绝对值是0,比较简单.

14.【答案】C

【解析】解：由图形可知4、B、。为轴对称图形，C不是轴对称图形.故选C

根据轴对称图形的概念求解.

轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫做轴对称图形.

15.【答案】C

【解析】解：A、2一百与3，五不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B、-α8÷α4=-α4,故错误；

C、正确；

Dy(α2-b)2=α4-2a2b+b2,故错误；

故选：C.

根据同底数暴的除法，底数不变指数相减；同类二次根式，积的乘方，完全平分公式，即可解答.

本题考查了同底数塞的除法、同类二次根式、积的乘方、完全平分公式，熟记相关法则是解决本

题的关键.

16.【答案】D

【解析】解：由题意可知，EF是AABC的中位线，

WFF=iβc.

ʌ8C=2EF=2X2=4,

那么4BCD的周长是4×4=16.

故选：D.

根据中位线定理求边长，再求ABCC的周长.

本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质.

17.【答案】A

【解析】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形.

故选：A.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

本题考查了儿何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

18.【答案】B

【解析】解:由题意得，方差不=2<S：=告，

A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；

8、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确；

C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；

。、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；

故选:B.

方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;

反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，结合选项进行判断即可.

本题考查了方差的意义，解答本题的关键是理解方差的意义，方差表示的是数据波动性的大小,

方差越大，波动性越大.

19.【答案】A

【解析】解：因为3+5=8,圆心距为8,

由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，

故两圆外切.

故选A.

先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系.

本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和的性质求解.

20.【答案】B

【解析】解：根据题意，得NaOB=45。，

根据三角形的外角的性质，可得

三角板的斜边与射线。4的夹角为：α=22。+45°-45°=22°,

故选：B.

根据旋转角为22。和三角形外角的性质进行计算即可.

此题主要考查了旋转的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解决本

题的关键.

21.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查图形规律问题，列代数式.本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法(归纳法)，先观察

特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第H条小鱼所需要的火柴棒的根数.

【解答】

解：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴

棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为(2+6)根，故第踪条小鱼需要火柴棒的根数为(2+

6n)根.

故选A.

22.【答案】B

【解析】解：如图：尔、

连接。4、OD,作OEJ.AC,OF1BD,垂足分别为E、F,I⅛-Λ1P)

VACLBD,5F~

二四边形OEPF为矩形，

己知。4=OC=2,OP=√^^3,

设OE为X,则OF=EP=√OP2-OE2=√3-x2,

.∙.AC=2AE=2√OA2-OE2=2√4-x2.

BD=2DF=2√OD2-OF2=2√x2+1，

如设。F为y,同理可得：

AC=2√y2+1.BD=2√4-y2.

.∙.AC2+BD2=20,

由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，

又•••任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的;，

当4C=BD时，即Jy2+ι=J4-y2,

√^6

ʃ2

AC=BD=√1θ,

••・四边形ABCD的面积等于5.

故选:B.

这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二

次(根式)方程.

2

此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想.还可用a?+b≥2ab解决，设OE=

a、OF=b.分别用a、b表示4C、Bo的长.

23.【答案】3(a+l)(a-l)

【解析】解：3a2-3

=3(a2-1)

=3(a-l)(a+1),

故答案为:3(Q-I)(a+1).

先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

24.【答案】x>-2«

【解析】解：a<0,

.∙.-2a>O>3a

・•・不等式组｛：；1a的解集为X>-2a,

故答案为：X>—2a.

根据a<0,得出一2a>O>3a,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键.

25.【答案】6

【解析】解：∆ABC=∆AED,NA=44

∙,∙ΔADE^Δ,ACB,

.竺_竺

~AB=~BCJ

.∙.A=2

AB4

・•・AB=6,

故答案为：6.

根据两角相等的两个三角形相似可得^ADE^LACB,然后利用相似三角形的性质进行计算即可解

答.

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

26.【答案】8√^3

【解析】解：由作图可知，MN是线段48的垂直平分线.

：■AE=EB,AD=BD=8,

ʌZ-ABD=Z-A=30°,

.∙.DE=^AD=4,

.∙.AE=EB=√AD2-DE2=4口，

∙∙AB=8>∕-3.

故答案为：8>/~3.

利用基本作图得到MN垂直平分4B,则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到

∆ABD=乙4=30。，AE=BE,AD=BD=8,根据含30度的直角三角形三边的关系求出DE.利用

勾股定理求出4E=BE=4，耳，即可得4B的长.

本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等

知识，解题的关键是利用基本作图得到MN垂直平分4B.

27.【答案】（3,1）

【解析】解：由旋转可知，CD=OB=2,AD=AB,

设AB=m,则AD=m,

・•・C(2+m,—2+m),D(2+m,m),

O

•••点C落在双曲线y=-∣(x>0)±,

(2+m)(-2+m)=-3,解得Tn=1(负值舍去).

.∙.D(3,l).

故答案为：(3,1).

由旋转的性质可知力D=AB,CD=BO=2,△OAB旋转90。，可知AD〃X轴，CDIX轴，根据线

段的长度求C点坐标，根据k=3可求出AB的长，由此可得出点。的坐标.

本题考查了反比例函数关系式的求法，旋转的性质.关键是通过旋转确定双曲线上点的坐标.

28.【答案】号

Oɔ

由正方形的性质可得：正方形ABeC的顶点C是正方形BCFE的中心,

则延长BC必经过点F,延长DC比经过点E,

设正方形ABCo的边长为α,则正方形BOFE的边长为，^∑ɑ,

・•・BF=2BC=2a.

・・・AF=√AB2÷BF2=√-5α.

即正方形AFGH的边长为Ca.

-AD//BF,

ʌSMOB=∙^∆ΛDF•

ʌS2=TS正方形4BCD=#∙

∙*∙SAABM=S>DFM-

•••S3=S正方形BDFE=2。2.

VSl=S正方形AFGH-52=S正方形AFGH~S正方^^DFE，

ʌSa2—2a2=1.

・•・W2=ɜ1.

_1_2

"$c2=%，Sc3=3∙

故答案为:ɪ;

由正方形的性质可得：正方形ABCC的顶点C是正方形BDFE的中心，则延长BC必经过点尸，延长DC

比经过点E,设正方形ABCD的边长为α,则正方形BOFE的边长为，至α,利用勾股定理可得正方

形AFGH的边长：利用40〃BF,可得44B0与△40F为同底等高的三角形，再利用面积割补法可

得53与正方形8。FE的面积相等；利用Sl=S正方形AFGH-Sl=S正方形AFGH-SjE^BDFE>列出方方

程即可求得a?的值，则结论可得.

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及

利用面积割补法解答是解题的关键.

29.【答案】8.2XIO5

【解析】解：820000=8.2×105人.

把一个数M记成a×10n(l≤∣a∣<10,n为整数)的形式，这种记数的方法叫做科学记数法.

把一个数M记成aX10n(l≤∣a∣<10,n为整数)的形式，这种记数的方法叫做科学记数法.规律:

(1)当Ial≥1时，n的值为a的整数位数减1；

(2)当∣a∣<1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0.

30.【答案】a(ɑ-3)

【解析】解：a2-3a=a(a-3).

直接提取公因式a即可.

本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.一般来说，如果可以提取公因

式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解.

31.【答案】一2

【解析】解：•••反比例函数y=5的图象经过点(-2,1),

k

I1=∑2,

解得：k=-2.

故答案为:—2.

把点(一2,1)代入y=g,即可求解.

本题主要考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键.

32.【答案】7.5

【解析】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设树的高度为xm,

W∣J⅛

1.5X

解得X=7.5.

这棵槟榔树的高是7.5米.

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者

构成的两个直角三角形相似.

本题主要考查同一时刻物高和影长成正比.考查利用所学知识解决实际问题的能力.

33.【答案】(一1,0)或(5,-2)

【解析】解：•••四边形ABDC和四边形OEFG是正方形，点C和点尸的坐标分别为(一3,2),(1,-1),

.•.4(-5,2),B(-5,0),E(l,0),G(0,-l),

设直线AF的解析式为：y=k1x+⅛ι(⅛1≠0),

把做一5,2)、F(l,-1)代入y=k1x+fe1(fc1≠0)得,

k--ɪ

-Sk+瓦=21

1,解得：

Λι+=-1b^=~2

二直线4F的解析式为：y=--x

设直线CG的解析式为：y=k2+b2^k2≠0),

把G(O,-1),。(一3,2)代入、=k2x+b2(k2≠0)得,

｛镰二?，解得：(”一；，

直线CG的解析式为：y=-x-l,

①直线AF和直线CG的交点即为位似中心,

y0lx^l,解得:=-1

•••建立方程组得,

.y=-%—1,y=o

•••位似中心的坐标为：(-1,0),

②当位似中心在正方形OGFE右侧，连接CE并延长，连接。F并延长，过点M作MNIX轴,

∙.∙C(-3,2)∖F(LT),

•••位似比为:2：1,

ʌEF=^CD,即EF是AMC。的中线,

；.CE=EM,

又∙.∙/.CED=LMEN,∆CDE=乙MNE=90°,

.∙.ΔCDE34MNE(AAS),

.∙.EN=DE=DO+OE=3+1=4,MN=CD=2,

.∙.ON=OE+EN=1+4=5,

二点M的坐标为：(5,-2)

故答案为：(一1,0)或(5,-2).

根据正方形的性质求得4(一5,2),B(-5,0),E(l,0),G(0,-l),①直线AF和直线CG的交点即为位

似中心，利用待定系数法求得直线4尸和直线CG的解析式，再建立二元一次方程组进行求解，②当

位似中心在正方形OGFE右侧，连接CE并延长，连接DF并延长，过点M作MNJ.x轴，由位似比为

2：1可得EF是AMCD的中线，从而证明△COE三△MNE,进行求解即可.

本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟

练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键.

34.【答案】y

【解析】解：连接FH、EG；

在矩形ABCD中，

"AB=CD=4,BE=DH=1,

ΛAE=CH=4-1=3f

在△AE尸和ACHG中，

MF=CG

∖z.A=乙C=90°,

VAE=CH

/.∆√1EF≡∆CHG(SylS),

1

SAAEF=S>CHG='X2X3=3;

同理可证：△FHD"GEB,S&FHD=SAGEB=15

：.FH=EG,EF=GH,即四边形EF//G是平行四边形;

且S平行四边形=S矩形—2S^AEF—2S>FHD=5x4-2x3-2X1.5=11；

过P作E9、GH的垂线，交EF于M,GH于N：

则如尸+PN)=^EF-MN=

SAEFP+SAGHP=(PMɪS0BFHC=y.

故答案为：ɪ-

连接EG、FH,易证得AAEF三△CHG,∆FWD≤ΔGEB,即可得FH=EG、EF=GH,由此可证

得四边形EFHG是平行四边形，可过P作EF、GH的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际

等于平行四边形EFHG面积的一半，按此思路进行求解即可.

此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求

法，能够判断出四边形EFHG是平行四边形是解答此题的关键所在.

35.【答案】解：(1)设单价为8.0元的课外书为X本，

得:8x+12(105-%)=1500-418,

解得：X=44.5(不符合题意)

•••在此题中X不能是小数，

王老师说他肯定搞错了；

(2)设单价为8.0元的课外书为y本，设笔记本的单价为b元，依题意得:

O<1500-[8y+12(105-y)+418]<10,

解之得：0<4y-178<10,

即：44.5<y<47,

.∙.y应为45本或46本.

当y=45本时，b=1500-[8×45+12(105-45)+418]=2,

当y=46本时，b=1500-[8×46+12(105-46)+418]=6,

即：笔记本的单价可能2元或6元。

【解析】(1)等量关系为：8元的书的总价钱+12元的书的总价钱=1500-418；

(2)关键描述语是笔记本的单价是小于10元的整数，关系式为：0<所用钱数-书的总价<10。

(1)设单价为8.0元的课外书为久本，根据8元的书的总价钱+12元的书的总价钱=1500-418,列

出方程便可解答；

(2)根据这本笔记本是小于10元的整数，即(1)中所得的关系式，列出不等式组求解即可。

解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系。

36.【答案】解：(1)(-2)2×ʃɪ+IVςς8∣+√^2×(-1)2016

1L

=4×2+2+√2

=4+√^2

(2)√^81+V=27+√(-2)2+IC-2|

=9-3+2+2

=10-√3.

【解析】(1)首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少

即可.

(2)首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有

理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算

括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适

用.

37.【答案】解：（1）证明：如图,

VBD1CD,EF1CD（已知），

BD〃EF（垂直于同一直线的两条直线平行），

••・42=43（两直线平行，同位角相等）.

Zl=z2,

••・41=43（等量代换）.

∙∙.40∕∕BC（内错角相等，两直线平行）.

（2）∙.∙AC〃BC（已知），

.∙.∆ABC+乙4=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

•••NA=130。（已知），

.∙.∆ABC=50°.

•••DB平分NABC（已知），

ʌZ3=∣Z½BC=25°.

乙C=90o-Z.3=65°.

【解析】（1）由801CO,EFJ.CC可得BD〃EF,所以42=43,结合Nl=/2得NI=Z3,据此

即可得证；

⑵由4D〃BC、NA=130。知NABC=50。，再根据平分线定义知43=25。，由直角三角形的两个

锐角互余可得答案.

本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性

质、三角形的内角和定理及角平分线的性质.

38.【答案】4030

【解析】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛'的人数为200X20%=40（人），

则选择“书画展览”的人数为200-（40+80+20）=60（A）,

在扇形统计图中，m%=SςX100%=30%,

即?n=30,

故答案为：40,30；

(2)估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有2000X黑=800(人)；

(3)列表如下：

abcd

a(b,a)(c,a)(d,a)

b(α,b)(c,b)(d,b)

c(a,c)(瓦C)(d,c)

d(α,d)(b,d)(c,d)

由表可知，共有12种等可能结果，其中α同学参加的有6种结果，所以α同学参加的概率为今

(1)总人数乘以4对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方

案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出的值；

(2)总人数乘以样本中B方案人数所占比例；

(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可

能的结果是解题的关犍.

39.【答案】解：(1)作BCLAC于D.

北

依题意得,

∆BAE=45o,∆ABC=105o,/.CAE=15°,

・•・Z,BAC=30o,

・•・Z.ACB=45o.

在Rt△BCD中，∆BDC=90o,∆ACB=45o,

・・・Z,CBD=45o,

・∙・Z-CBD=Z-DCB>

：■BD—CD,

设BD=xkm,则CD=xkm,

在Rt△480中，∆BAC=30°,

:∙AB=2BD=2xkmtan30o=丝，

fAD

...虫=工，

3AD

ʌAD=

在RtZkBDC中，Z-BDC=90°,乙DCB=45。,

■■■SinzDCB=器=W，

DCL

：,BC=yΓ2Xf

・・•CD+AD=30-i-30C，

∙,.X+V-3=30÷30√-3»

・•・X—30,

・•・AB=2x=60(fcm);

(2)第二组先到达目的地，

理由：•・∙BD=30fcm,

・•・BC=yΓ-2x—3θV-3/cm，

第一组用时：60÷40=1.5(h)；第二组用时：30/2+35=殍(∕ι)，

6∕^2/U

V-y-<d1.5，

•••第二组先到达目的地，

答：第二组先到达目的地.

【解析】(I)过点B作B。1AC于。，在Rt∆BCD中证得B。=CD,设BD=Xkm,贝IJCD=Xkm,

在Rt△4BD中，∆BAC=30°,利用三角函数定义表示出4。的长，在RtABDC中，利用三角函数

表示出CD的长，由AZ)+CD=4C列出方程问题得解：

(2)根据速度=需求得第一组用时：60÷40=1.5(h)；第二组用时：30√N+35=彳(∕l),于

是得到结论.

本题考查解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角

形解决问题.

40.【答案】(1)证明：连接OD,%≤Γ'

∙∙YB是。。的直径，

CAΓ-⅛-^B

ΛZ.ADB=90°,\/

：,Z-DAB+乙DBA=90°,

VZ-CDA=Z-CBD,

ʌ乙DAB+∆CDA=90°,

VOD=OA,

Z-DAB=/.ADOf

・•・∆CDA+∆ADO=90°,

：•Z-CDO=90°,

V。。是。。的半径，

・・・CD是O。的切线；

(2)解：设OO的半径为r,

在Rt△CDO中，ZC=30°,

。。=goc,

"AC=5,

∙∙∙r=ɪ(r+5),

解得r=5,

.∙.Q。的半径为5.

【解析】(1)连接。。，根据直径所对的圆周角是直角，可得4ZMB+NDBA=90。，再由NCZM=

4CBD可得4CZM+∕ZMO=90。，然后利用OD=OA证出NzMB=4W。，从而得NCDo=90。，

根据切线的判定即可得出结论；

(2)在RtΔC。。中，根据含30度直角三角形的性质列出关于r的方程即可解答.

本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解

决问题的关键∙

41.【答案】(1)证明:如图1中,

图1

「四边形ABC。是正方形，

.∙.Z-DAE=4ABF=90°,

•・•∆ADE=∆BAF,

・•・∆ADE+Z-AED=乙BAF+Z-AED=90°,

Λ∆AME=90°,

・•・AF1DE.

(2)解：如图2中.结论：GH//AB.

理由：连接GH.

图2

o

∙.∙AD=AB,Z.DAE=∆ABF=90,Z.ADE∆BAFf

•••△ADE三ABZF(ASA),

：•AE=BF,

-AE//CD,

AEEG

∙*∙f