中考数学第一轮复习真题分点练习一次函数（解析版）

第九讲一次函数

【命题点1一次函数的图像与性质】

类型一与图像有关的判定

I.（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y=-X+1的图象是（）

V

V

【答案】C

【解答】解：一次函数y=-χ+l中，令X=0,则y=l；令y=0,则X=1,

，一次函数y=-x+1的图象经过点（0,1）和（1,0）,

，一次函数y=-x+l的图象经过一、二、四象限，

故选：C.

2.（2022∙安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与y=∕r+α的图象可能是

()

【解答】解：Ty=Or+/与y=°2χ+”,

.∙.x=l时，两函数的值都是>+”,

.∙.两直线的交点的横坐标为1，

若α>0,则一次函数y=0x+"2与y="2χ+"都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都

经过第一、二、三象限：

若αV0,则一次函数y=αr+J经过第一、二、四象限，>=用+。经过第一、三、四象限，

且两直线的交点的横坐标为1:

故选：D.

类型二一次函数解析式与象限的关系

3.（2022•凉山州）一次函数y=3x+6（⅛>0）的图象一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解答】解：：函数y=3x+b（620）中，—3>0,620,

当匕=0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限;

当b>0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

则一定不经过第四象限.

故选：D.

4.（2022•六盘水）如图是一次函数），=心:+匕的图象，下列说法正确的是（）

A.y随X增大而增大B.图象经过第三象限

C.当x20时，y≤⅛D.当XeO时，y<0

【答案】C

【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k<0,b>0,

当々<0时，y随X的增大而减小，故4、8错误，

由图象得：与y轴的交点为（0,h）,所以当x/0时，从图象看，y≤⅛,故C正确，符

合题意；

当XVo时，y>b>O,故。错误.

故选：C.

5.（2022•包头）在一次函数y=-5αx+6（α≠0）中，y的值随X值的增大而增大，且H>

0,则点A（α,b）在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

【答案】B

【解答】解：：在一次函数y=-5αt+〃中，y随X的增大而增大，

-5α>0,

Λα<0.

∖'ah>O,

.".a,b同号，

.∙.*<o.

，点A（α,b）在第三象限.

故选：B.

类型三与一次函数增减性、最值有关的问题

6.（2022•柳州）如图，直线yι=x+3分别与X轴、y轴交于点A和点C,直线”=-χ+3分

别与X轴、y轴交于点B和点C,点P（〃?，2）是aABC内部（包括边上）的一点，则机

【答案】B

【解答】解：♦.•点PCm,2）是AABC内部（包括边上）的一点,

，点P在直线y=2上，如图所示,

yi

^T^∏∖2^∖

y2=-χ+3

当P为直线y=2与直线"的交点时，，”取最大值，

当P为直线y=2与直线yi的交点时，成取最小值，

∙.∙>2=-x+3中令y—2,贝IJX—1,

yι=x+3中令y—2,贝!∣x—-1,

∙,∙m的最大值为1,m的最小值为-1.

则，”的最大值与最小值之差为：1-（-1）=2.

故选：B.

7.（2022•兰州）若一次函数y=2%+l的图象经过点（-3,yi）,（4,*）,则yi与”的大

小关系是（）

A.y∖<yιB.y1>y2C.yι≤y2D.y1^y2

【答案】A

【解答】解：；一次函数y=2r+l中，k=2>0,

随着X的增大而增大.

；点（-3,yι）和（4,y2）是一次函数y=2x+l图象上的两个点，-3<4,

.,∙yι<y2.

故选:A.

8∙（2022∙宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：”函数值y随自变量X增大

而减小”；乙：“函数图象经过点（0,2）“，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，

其表达式是.

［答案］y=-x+2（答案不唯一）

【解答】解：•••函数值），随自变量X增大而减小，且该函数图象经过点（0,2）,

,该函数为一次函数.

设一次函数的表达式为y=Ax+b（%#0）,则k<0,b=2.

取Z=-1,此时一次函数的表达式为y=-x+2.

故答案为：y--x+2（答案不唯一）.

类型四一次函数图像的交点问题

9.(2022•株洲)在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+l的图象与y轴的交点的坐标为()

A.(0,-1)B.(-ɪ,0)C,(ɪ,0)D.(0,1)

55

【答案】D

【解答】解：'当X=O时，y=l,

.∙.一次函数y=5x+l的图象与y轴的交点的坐标为(0,1),

故选：D.

10.(2022•辽宁)如图，直线＞=2Y+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,点。为。8的中

点，团OCz)E的顶点C在X轴上，顶点E在直线AB上，则团OCZ)E的面积为.

【答案】2

【解答】解：当尸0时，y=2×0+4=4,

，点5的坐标为(0,4),OB=A.

：点。为的中点，

.,.OD=AOB=AX4=2.

22

；四边形OCCE为平行四边形，点C在X轴上,

.".DE∕∕x^.

当y=2时，2x+4=2,

解得：X--\,

点E的坐标为(-1,2),

ΛDE=1,

SOCDE的面积=OC∙OD=1X2=2.

故答案为：2.

11.(2014∙宜宾)如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点8,

C.y=2x-3D.y=-x+3

【答案】D

【解答】解：∙.∙8点在正比例函数y=2λ-的图象上，横坐标为1,

ΛB(1,2),

设一次函数解析式为：y—kx+b,

T一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y=2x的图象相交于点8(1,2),

可得出方程组,

lk+b=2

解得(b=3,

Ik=-I

则这个一次函数的解析式为y=-x+3,

故选：D.

12.(2020♦南通)如图，直线/1：y=x+3与过点A(3,0)的直线/2交于点C(1,m),与

X轴交于点B.

(1)求直线/2的解析式；

(2)点M在直线八上，MN〃y轴，交直线/2于点N,若MN=AB,求点M的坐标.

【答案】(1)y=-2x+6(2)M(3,6)或(-1,2)

【解答】解：(1)把%=1代入y=x+3得y=4,

：.C(1,4),

设直线/2的解析式为y=履+〃，

z(k+b=4,解得(k=-2,

l3k+b=0lb=6

.∙.直线/2的解析式为y=-2Λ-+6;

(2)在y=x+3中，令y=0,得X=-3,

：.B(-3,0),

ΛAB=3-(-3)=6,

设M(α,α+3),由MV〃)，轴，得N(〃，-2a+6),

MN=Ia+3-(-2a+6)I=A8=6,

解得α=3或α=-1,

：.M(3,6)或(-1,2).

【命题点2一次函数图像的平移、旋转与对称】

13.(2022•广安)在平面直角坐标系中，将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度，所

得的函数的解析式是()

A.y=3x+5B.y=3x-5C.y=3x+lD.y=3χ-1

【答案】D

【解答】解：将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式

为y=3x+2-3=3X-1,

故选：D.

14.(2021∙陕西)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+帆-1的图象向左平移3个单

位后，得到一个正比例函数的图象，则根的值为()

A.-5B.5C.-6D.6

【答案】A

【解答】解：将一次函数y=2x+次-1的图象向左平移3个单位后，得到y=2(x+3)+/n

-1,

把(0,0)代入，得到：0=6+m-1,

解得m=-5.

故选：A.

15.（2020•南京）将一次函数y=-2x+4的图象绕原点。逆时针旋转90°,所得到的图象

对应的函数表达式是.

【答案】y=lχ÷2

2—

【解答】解：在一次函数y=-2x+4中，令X=0,则y=4,令y=0,则x=2,

，直线y=-2x+4经过点（0,4）,（2,0）

将一次函数y=-2r+4的图象绕原点。逆时针旋转90°,则点（0,4）的对应点为（-

4,0）,（2,0）的对应点是（0,2）

设对应的函数解析式为：y^kx+b,

ɪ

将点（-4,0）、（0,2）代入得卜4k+b=0,解得kɪ

ɪb=2（b=2

旋转后对应的函数解析式为：y≈Aχ+2,

-2

故答案为y=1+2.

16.（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变

化.下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整.

（1）如图1,将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移

了一个单位长度；

（2）将一次函数y=-2x+4的图象向下平移1个单位长度,相当于将它向（填“左”

或“右”）平移了一个单位长度；

（3）综上，对于一次函数），=丘+匕（A≠0）的图象而言，将它向下平移机（∕n>0）个单

位长度，相当于将它向—（填“左”或“右”）（%>0时）或将它向（填“左”

或“右”）*V0时）平移了〃（〃>0）个单位长度，且机，n,A满足等式.

【解答】解：（1）；将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度得到y=x+2-1=

（x-1）+2,

・・・相当于将它向右平移了1个单位长度，

故答案为：1；

（2）将一次函数y=-2Λ+4的图象向下平移1个单位长度得到y=-2x+4-1=-2（Λ+1）

2

+4,

.∙.相当于将它向左平移了上个单位长度；

2

故答案为：左；ɪ;

2

（3）综上，对于一次函数y=丘+b（Jl≠θ）的图象而言，将它向下平移m（〃?>0）个单

位长度，相当于将它向右（填“左”或“右"）ɑ>o时）或将它向左（填“左”或“右”）

（&<0时）平移了”（∕2>0）个单位长度，且，"，"，Z满足等式ZM=川川.

故答案为：右；左；，"=川川（或：当k>0时，,”=成，当k<0时，成）

【命题点3一次函数与方程、不等式结合】

类型——次函数与方程（组）的关系

17.（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与直线y=-3x+6相交于点A,

则关于X,y的二元一次方程组Iy=2x+b的解是（）

（y=-3x+6

y

x=2x=-lx=3

A.c.D.

y=0y=9y=l

【答案】B

【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1,3）,

鬻;I的解为

•••方程组.x=l

y=3

故选:B.

18.（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=0x+b与y=,nx+"（a<m<0）的

图象如图所示.小星根据图象得到如下结论:

①在一次函数y^mx+n的图象中，y的值随着X值的增大而增大;

②方程组.V-ax=b的解为x=-3

y-mx=ny=2

③方程mx+n=0的解为x=2∙,

④当X=O时，ax+b=-1.

其中结论正确的个数是（）

y=mx-]-n

A.I3D.4

【答案】B

【解答】解：①由函数图象可知，直线），=〃0+〃从左至右呈下降趋势，所以y的值随着

X值的增大而减小，故①错误；

②由函数图象可知，一次函数y=Οr+〃与丁=3+〃（αV"?VO）的图象交点坐标为（-3,

2）,所以方程组[y-ax=b的解为卜=-3,故②正确；

[y-mx=n[y=2

③由函数图象可知，直线y=mr+〃与X轴的交点坐标为（2,0）,所以方程〃?x+〃=0的

解为x=2,故③正确；

④由函数图象可知，直线y=αr+/?过点（0,-2）,所以当X=O时，ax+b=-2,故④错

误；

故选：B.

类型二一次函数与不等式（组）的关系

19.（2022∙南通）根据图象，可得关于X的不等式质＞-χ+3的解集是（）

C.XVlD.x>l

【答案】D

【解答】解:根据图象可知：两函数图象的交点为（1,2）,

所以关于X的一元一次不等式kx＞-χ+3的解集为尤＞I,

故选：D.

20∙（2022∙鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=fcc+8（公

b为常数，且&＜0）的图象与直线y=L都经过点A（3,1）,当日+6＜匕时，根据图

33

象可知，X的取值范围是（）

【答案】A

【解答】解：由图象可得，

当x>3时，直线y=^∣^κ在一次函数y—kx+b的上方，

，当AX+6<」b时，X的取值范围是x>3,

3

故选：A.

21.（2022•徐州）若一次函数），=丘+6的图象如图所示，则关于丘+∙∣⅛>0的不等式的解集

为-

【答案】x>3

【解答】解：♦.•一次函数y=6+〃的图象过点(2,0),

：.2k+b=0,

'.b--2k,

.∙.关于S>>。

2

.,.kx>-3x(-2k)=3k,

2

Vjt>O,

.∙.χ>3.

故答案为：x>3.

22.（2022•扬州）如图，函数y=丘+b（A<0）的图象经过点P,则关于X的不等式履+b>

3的解集为

［答案］x<-l

【解答】解：由图象可得，

当X=-I时，y=3,该函数y随X的增大而减小,

/.不等式kx+b>3的解集为x<-1,

故答案为：XV-1.

23∙（2022∙襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析

图象特征，概括函数性质的过程.结合已有经验，请画出函数>=丁旦丁-用的图象，并

IXI

探究该函数性质.

（1）绘制函数图象

①列表：下列是X与y的几组对应值，其中a=1.

X.......-5-4-3-2-112345

y.......-3.8-2.5-I155a-1-2.5-3.8

②描点：根据表中的数值描点（x,y）,请补充描出点（2,。）；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

y

∣

「一「一r一「一丫方∙-WW1--

II∙II.Iillltllili

--

I—rτττ4-—r-1—I—I—I—I

IIllIlItIIlllla

r-r-r-r-τβ-一t-r-r—I—L-1

IIllIlIlIIlllll

r-ι--t∙-t∙-∙r∙2∙

’-、-r-r--I-f

IllllIlllll

r-f-+-+-+4∙,-T-T-T-T--I--I

IllllIlllll

]11]]]

-6-4-ð-C-!1°123456J

U-U-I--X-4∙T

1I■III

Illllllll

L-L-L-X-X-J>

Illlll

L-L-L-I-∙Lgaɔ«»*

IIIIIIlllll

L-L-L-I-IT

IIIIIrIlllll

L-L-L-L-1-5-Illlll

（2）探究函数性质

请写出函数），二1§丁TXl的―-条性质：__________________________________

IXI

（3）运用函数图象及性质

①写出方程A-∣χ∣=5的解_____________________；

IXI

②写出不等式1旦丁_∣x∣≤］的解集.

IXI

【解答】解：（1）①列表：当x=2时，α=-rlτ-121=1,

∣2I

故答案为：1；

故答案为：丫=1且丁-凶的图象关于丫轴对称（答案不唯一）;

IXI

（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=l或X=-1,

6-国=5的解是X=I或X=-1,

IXI

故答案为：X=I或X=-1；

②观察函数图象可得，当xW-2或xN2时，y≤l,

/.-ɪj--IXlW1的解集是xW-2或x22,

IXI

故答案为：xW-2或x22.

【命题点4一次函数与几何图形结合】

24.(2022•黑龙江)如图，直线MN与X轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两

点作X轴，y轴的垂线相交于8点，且OA,OC(<9A>OC)的长分别是一元二次方程Λ2

-14x+48=0的两个实数根.

(1)求C点坐标；

(2)求直线MN的解析式；

(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直

接写出P点的坐标.

【解答】解：(1)解方程/-14x+48=0得

xι=6,X2=8.

,：OA,OCωA>OC)的长分别是一元二次方程%2-14x+48=0的两个实数根,

.∙.OC=6,OA=8.

：.C(0,6)；

(2)设直线MN的解析式是y=fcv+Z?(⅛≠0).

由(1)知，。4=8,则A(8,0).

；点A、C都在直线MN上，

.(8k+b=0

"lb=6

解得，（k=N,

1b=6

.∙.直线MN的解析式为y=-Λr+6;

(3)VΛ(8,O),C(0,6),

二根据题意知B（8,6）.

∖∙点P在直线MNy=-Λr+6上，

设P（α,--‰+6）

4

当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论:

①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4,3）；

②当PC=BC时，a2+(-驾+6-6)2=64,

4

解得，a=+段，则P2(-32,王生)，Pi(丝，A)；

一55555

③当PB=BC时，(4-8)2+(Λα-6+6)2=64,

4

解得,〃=符则号+6=詈.M罢,嚼）.

综上所述，符合条件的点P有：P∖（4,3）,尸2（-丝，至鱼）尸3（丝，ɪ）,P4（里@,

25.（2022•攀枝花）如图，直线y=∙∣∙x+6分别与X轴、），轴交于点A、8,点C为线段AB

上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作/OC。=/OA8,射线CO交线段08于点

D,将射线OC绕点。顺时针旋转90°交射线C。于点E,连结8E.

（1）证明：型=码；（用图1）

DBDE

（2）当aBOE为直角三角形时，求。E的长度；（用图2）

(3)点A关于射线OC的对称点为F,求8尸的最小值.(用图3)

.∖ZCOE=90a,

ΛZAOB=ZCOE=WO,

V/OCD=/OAB,

：.ZABO=ZCEOf

U:ZBDC=ZEDO,

：・ABDCs/∖ED0,

.CD=OD.

**DBDE,

(2)解：当X=O时，y=6,

：・B(0,6),

・・・OB=6,

当y=0时，当+6=0,

Λχ=-8,

ΛA(-8,0),

.∙.OA=8,

：・NODC=NBDE=9h,

・・•NOCO=NO43,

ΛtanZOCD=tanZOAB,

・PB=0D=6_=3_

"θACD7J'

・•・设OD=3m,CD=4m,

∖tZCDB=ΛAOB=90Q,

.∖CD∕∕OA,

.∖∕∖CDB^AAOBf

・CD-BDpμ4ιπ一BD

,'OA^OB,ʌ'-8^-^Γ,

，BD=3m,

：.OB=BD+OD=3m+3m=6,

•∙~1,

ΛBD=3,CD=4,

由(I)知：生=型，

DBDE

••.4_3,

3DE

.∙.OE=2;

4

(3)解：如图3,由对称得：OA=OR

；动点F在以。为圆心，以OA为半径的半圆4必,匕⅛动,

.∙.当尸在），轴上，且在8的上方时，B尸的值最小，如图4,

此时BF=OF-OB=S-6=2,

即8F的最小值是2.

命题点5一次函数的实际应用

类型一行程问题

26.（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出

发.两人离甲地的距离y（m）与出发时间XCmin）之间的函数关系如图所示.

（1）小丽步行的速度为m∕mini

【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为区空=80（〃?/"而）,

30

故答案为：80；

（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是蛰6=120

20

.∙.出发后需要2400=[2（疝〃）两人相遇，

120+80

相遇时小丽所走的路程为12X80=960（"?）,

即当两人相遇时，他们到甲地的距离是96（）,〃.

27.（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A,B,C三地，甲从B地骑电瓶车到

C地，同时乙从8地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉

头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运

动，如图是两人距B地路程y（米）与时间X（分钟）之间的函数图象.

请解答下列问题:

（1）填空：甲的速度为.米/分钟，乙的速度为.米/分钟;

（2）求图象中线段尸G所在直线表示的y（米）与时间X（分钟）之间的函数解析式，并

写出自变量X的取值范围;

（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案.

【解答】解：（I）根据题意可知力（1,800）,E（2,800）,

•••乙的速度为:800÷1=800（米/分钟）,

乙从B地到C地用时：2400÷800=3（分钟）,

：.G(6,2400).

：.H(8,2400).

.∙.甲的速度为2400÷8=300（米/分钟）,

故答案为：300；800；

（2）设直线尸G的解析式为：y=kx+b*≠0）,且由图象可知尸（3,0）,

由(1)知G(6,2400).

.∫3k+b=0

l6k+b=2400

解得,k=800

b=-2400

直线FG的解析式为：J=800Λ∙-2400(3≤x≤6).

（3）由题意可知，43相距800米，8C相距2400米.

'JO(0,0),H(8,2400),

，直线OH的解析式为：y=300x,

VD(I,800),

.∙.直线OZ)的解析式为：y=800x,

当OWXWl时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从8地骑摩托车到A地，即甲乙朝相

反方向走，

令800X+300Λ=600,解得尸&.

11

•••当x>2时，甲从8继续往C地走，乙从A地往C地走，

Λ3OOΛ-+8OO-800(X-2)=600或800Cx-2)-(3OOx+8OO)=600,

解得XJM∙或X=6.

5

综上，出发&分钟或殁分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米.

115

28.(2022•齐齐哈尔)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地

步行匀速前往B地，到达8地后，立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前

往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动)，甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时

间X(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)A、B两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分；

(2)图中α=,b=,C=；

(3)求线段MN的函数解析式；

(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米？(直接写出答案即可)

【解答】解：(1)由图象知：当X=O时，y=1200,

ΛA,8两地之间的距离是1200米；

由图象知：乙经过20分钟到达A,

.∙.乙的速度为丝叫=60（米/分）.

20

故答案为：1200；60；

（2）由图象知:当X=毁时,y=0,

7

甲乙二人的速度和为：1200÷也=140（米/分），

7

设甲的速度为X米/分，则乙的速度为（140-x）米/分，

140-X==60,

Λx=80.

.∙.甲的速度为80（米/分），

V点M的实际意义是经过C分钟甲到达B地，

Λc=12∞÷80=15（分钟），

.∖α=60X15=900（米）.

；点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，

Λ⅛=900-（80-60）X5=800（米）；

故答案为:900；800；15；

（3）由题意得：M（15,900）,N（20,800）,

设线段MN的解析式为y=kx+n,

.ʃ15k+n=900

^'l20k+n=800,

解得：（k=-20,

ln=1200

线段MN的解析式为y=-20Λ+1200（15≤Λ≤20）;

（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第箜分钟两人相距80米.理由：

7

①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200-80=1120（米），

Λ1120÷140=8（分钟）；

②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程利为1200+80=1280（米），

1280÷140=N（分钟）.

7

综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第竺分钟两人相距80米.

7

29.（2022•新疆）A,B两地相距300h",甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中

甲先出发1爪如图是甲，乙行驶路程y甲（km）,y乙（km）随行驶时间X（Λ）变化的图

象，请结合图象信息，解答下列问题:

(1)填空：甲的速度为km/h；

(2)分别求出y甲，y乙与X之间的函数解析式；

(3)求出点C的坐标，并写出点C的实际意义.

【解答】解：(1)甲的速度为：300÷5=60S

故答案为：60；

(2)由(I)可知，y甲与X之间的函数解析式为y甲=60X(0≤x≤5);

设y乙与X之间的函数解析式为y乙=kx+b,根据题意得：

∫k+b=O

l4k+b=3θθ'

解得(k=100,

Ib=-IOO

Ay4=IOOx-100(l≤x≤4):

(3)根据题意,得60x=100x-100,

解得X=2.5,

60×2.5=150(km),

.∙.点C的坐标为(2.5,150),

故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km.

30∙(2022∙成都)随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一

个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从

绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18口?/〃，乙骑行的路程s(h〃)与骑行的时间f

(力)之间的关系如图所示.

(1)直接写出当0Wf≤0.2和f>0.2时，S与，之间的函数表达式；

(2)何时乙骑行在甲的前面？

【解答】解：(1)当OWfWO.2时，设S=M

把(0.2,3)代入解析式得，0.24=3,

解得：a=15,

•∙s=15/；

当f>0.2时，设,s=kt+b,

把(0.2,3)和(0.5,9)代入解析式，

得[θ.5k+b=9

ʃɪθ.2k+b=3*

解得(k=20,

Ib=-I

.∙.5=20/-1,

.∙.s与f之间的函数表达式为s=[15t(°<f°∙2)；

[20t-l(t>0.2)

(2)由(1)可知OWZWo.2时，乙骑行的速度为15h"∕∕z,而甲的速度为18k”//J,则甲

在乙前面；

当f>0.2时，乙骑行的速度为IOkmIh,甲的速度为ISkm/h,

设/小时后，乙骑行在甲的前面，

则18f<20∕-1,

解得：f>0.5,

答：0.5小时后乙骑行在甲的前面

31∙(2022∙丽水)因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆

轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330h",货车行驶时的速度

是60AM近两车离甲地的路程SCkm)与时间f(⅛)的函数图象如图.

(1)求出a的值；

(2)求轿车离甲地的路程S(km)与时间f(〃)的函数表达式；

(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？

【解答】解：（1）；货车的速度是605M?,

（2）由图象可得点（1.5,0）,（3,150）,

设直线的表达式为s=h+b,把（1.5,0）,（3,150）代入得：

ʃ1.5k+b=0

l3k+b=15θ'

解得『二100,

lb=-150

JS=IOOL150；

（3）由图象可得货车走完全程需要232+0.5=6（〃），

60

货车到达乙地需6/3

;S=IOOf-150,s=330,

解得f=4.8,

两车相差时间为6-4.8=1.2Ch）,

.∙.货车还需要L2/?才能到达，

即轿车比货车早1.2/?到达乙地.

32.（2022•黑龙江）2008年5月12S14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市

接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千

米的灾区.乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始

计时）.图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与

时间X（小时）之间的函数关系对应的图象.请根据图象所提供的信息，解决下列问题:

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了一小时；

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区.请问甲组的汽车在排除故障时，距出

发点的路程是多少千米？

(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25

千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

(2)设直线EF的解析式为y乙=kx+b,

2点E(1.25,0)、点尸(7.25,480)均在直线EF上,

.ʃl.25k+b=0

*l7.25k+b=48θ'

解得Jk=8°...直线EF的解析式是)，乙=80X-100；

Ib=-Ioo

•••点C在直线EF上，且点C的横坐标为6,

.∙.点C的纵坐标为80X6-100=380；

点C的坐标是(6,380)；

设直线BD的解析式为y甲="a+〃：

;点C(6,380)、点。(7,480)在直线8。上，

.f6m+n=380

17m+n=480

解得［m=l°°；...BQ的解析式是y甲=IOOX-220；

ln=-220

；8点在直线BD上且点B的横坐标为4.9,代入1中得B(4.9,270),

.∙.甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米.

(3)符合约定；

由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和。相距最远.

在点8处有y乙-y甲=80X4.9-IOO-（100×4.9-220）=22千米<25千米,

在点。有y>p-y乙=IOOX7-22O-（80X7-100）=20千米V25千米，

.∙.按图象所表示的走法符合约定.

类型二方案问题

考向1方案设计问题

33.（2022∙襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙

两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/依；乙种产品的进货总

金额y（单位：元）与乙种产品进货量X（单位：起）之间的关系如图所示.已知甲、乙

两种产品的售价分别为12元/依和18元/g∙

（1）求出OWXW2000和x>2000时，y与X之间的函数关系式；

（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000仅，并能全部售出.其中乙种产品的进货量

不低于160Okg,且不高于4000双，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为W元（利润=

销售额-成本），请求出VV（单位：元）与乙种产品进货量X（单位：kg）之间的函数关

系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；

（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售.在（2）中获得最大利

润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低4元/总和2α元/依，全部售出后所获总

利润不低于15000元，求〃的最大值.

J阮I

56000---------------^∕<z

o\20004000∖zkg

【解答】解：（1）当OWXW2000时，设y=k'x,根据题意可得，2000k'=30000,

解得/=15,

•»y=15x；

当方＞2000时，设y=Ax+4

根据题意可得，（2000k+b=30000,

l4000k+b=56000

解得『=13,

lb=4000

.∙.y=13x+4000.

.(15x(0<x<2000)

—∣13x+4000(x>2000)∙

(2)根据题意可知,购进甲种产品(6000-%)千克，

V1600≤x≤4000,

当1600WxW2000时，W=(12-8)×(6000-χ)+(18-15)∙x=-χ+24000,

V-1<0,

，当X=1600时,W的最大值为-1×1600+24000=22400(元)；

当2000CxW4000时，W=(12-8)×(6000-ɪ)+18X-(13.v+4000)=x+20000,

Vl>0,

当x=40()0时，W的最大值为4000+200()0=2400()(元)，

3Lf-x+24000(1600<x<2000)

[x+20000(2000<x<4000)

当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元.

(3)根据题意可知,降价后，W=(12-8-α)X(6(X)0-x)+(18-2α)x-(13x+4000)

=(1-a)Λ+20000-6000«,

当x=4()00时，W取得最大值，

(1-<z)×4000+20000-6000«≥15000,解得αW0.9.

34.（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、

乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:

运动鞋甲乙

价格

进价（元/双）mm-20

售价（元/双）240160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.

(1)求，"的值；

(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700

元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动

鞋每双优惠4(50<a<70)元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利

润应如何进货？

【解答】解：(1)依题意得，3θθl=2400-ι

mm-20

整理得,3000(m-20)=2400，"，

解得WI=Io0,

经检验，，”=100是原分式方程的解，

所以，m—100：

(2)设购进甲种运动鞋X双，则乙种运动鞋(200-χ)双，

根据题意得，［(240-100)x+(160-80)(200-χ)>21700①

'"心心I(240-100)x+(160-80)(200-x)(22300②‘

解不等式①得，χ295,

解不等式②得，χ≤105,

所以，不等式组的解集是95WXWlO5,

是正整数，105-95+1=11,

共有11种方案；

(3)设总利润为W,则W=(240-100-ɑ)x+80(200-χ)=(60-α)x+16000(95

WXWlo5),

①当50<“<60时，60-«>0,W随x的增大而增大，

所以，当X=IO5时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；

②当“=60时，60-α=0,W=I6000,(2)中所有方案获利都一样；

③当60<α<70时，60-a<0,W随X的增大而减小，

所以，当x=95时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.

答：冰墩墩购进24个，雪