2023年河南省郑州市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析)

2023年河南省郑州市成考专升本高等数学

二自考模拟考试（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

设〃，y都是可导函数，且v≠0,则（今=

1.VOo

U

A：

uv-uv,

B.d

UV+“/

UVi-UV

D,

设/U)具有任意阶导数.且∕W-[∕U)f∙则∕V)≡()

2A.VwrB.4[∕U)Γc.6(/u)rD」a/(*)r

eɪ十Cos;T为/Cr)的一个原函数，则/(N)等于()

A.ez-sixX

B*exu-sixx

C.e：+CoSʃ

3De'-cosʃ

已知∕Cr)=lr+/,则/'(0)=()

D.4

5.设函数z=χ2+3y2-4x+6y-l,则驻点坐标为()。

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

6.函数曲线y=ln(l+W)的凹区间是

A.A.(-1,1)B.(-∞,-l)C,(l,+∞)D.(-∞,+∞)

7已知/(x)的一个原函数为x2+sinx,则∫∕,(2x)dx=

Aʌ4x+cos2x

C1C

2x+-cosZx

B.2

2x+-cos2x+C

C.2

x+2cos2x+C

JLr.

8.

设/G)的一个原函数为Zln(M+1),则下列等式成立的是().

A.jΛx)dx=*ln(x+1)+CB.∫f(*)ck=[xln(x+l)]f+C

C.ʃ,rɪn(a:+ɪ)d*=f{x)+CD.J[xln<x+I)],(k=/(*)+C

定积分/f∕(V)dr等于()

A.∣∫1ɪf(j)drB.J1ɪf(ʃ)dzCJH(Z)drD.∣j∕(jkZr

y=Sin2，.

曲线.在，ɪ对应的点处,曲线的法线方程为

10.X-COS/

U若点(1,3)是曲线y=g3+63的拐点，则

_3,_9

­=一彳’『

3,9

B15'g-2

α="∣-,⅛=-∣

C.22

3,9

Da=y,6=-T

,sin2(χ-1)”]

----------;----Kl,

X-I

设函数/(ɪ)=Y?]贝IJlim八才)等于

4X-1*z→J

,/-1.»>1.()

A.0

B.1

C.2

12.D∙不存在

,

13.f(xo)=O,Γ(xo)>O,是函数y=f(χ)在点χ=χo处有极值的O。

A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件

设m是常数，则Iim吗B等于

14.LoXOO

A.0

B.1

C.m

1

2

D.zn

∫∖ln(l+2∕)d∕

ɪim----------：--------=

15.zXOo

A.3B.2C.lD.2/3

16.

设z=∕(x,y)在点(1，1)处有/；(1，l)=/；(b1)=0,且/=(1,1)=2,/；(】，1)=0,

/；(1.1)=1.则f(l,1)

A.是极大值B.是极小值

C.不是极大值D.不是极小值

极限存在的是()

A.Iimeʃ

B.ʃɪimɪnʃ

X-^T

C.iιmsiɪiH

了■彳

D.Iimarctanʃ

17.L

IQ当XTo时，ln(l+OX)是2x的等价无穷小量，则α=(、

ɪθ*∖)o

A.-lB.0C.lD.2

19.

函数/(x)=∣2χ-1I在点X=B处的导数是().

a∙0B∙ɪC.2D.不存在

20.

设"(M).T(X)在X=0处可导,H.«(O)=I.U,(O)=l.o(0)=2,t∙,(0)=2.

UmyhU2等于(

X).

B.O

(5jt÷2)dlr=

21」

A.lB.3C.5D.7

sin2z

ɪ≠0♦

设函数/(ɪ)=在z=0处连续，则a

ʃ=0

[]

23.已知事件A和B的P(AB)=0.4,P(A)=O.8,则P(BlA)=

A.A.0.5B,0.6C.0.65D.0.7

若J/(Λ)d.t=.re"+CJ1∣J

A.xlnx+C

C.—InX÷C------InX÷C

24.xX

已知/(X)=叱，则八X)=

X

I-InXl+lnx

ʌ-——B.2

XX

Inx-Ilnx-x

J2-D.

25.XX

1Iɪ.ɪɪɪ■■■■■---h_1

26.已知函数y=f(x)在点处可导,且1。”工。一2人)一/(A)4厕『你)

等于【】

A.-4B.-2C.2D.4

27.从10名理事中选出3名常务理事，共有可能的人选()。

A.120组B.240组C.600组D.720组

设函数z=e",则磊=()

28.A.**B.xe'tc.f'yD-e'

y≡J∙*I∏J(J>o>,∣Ny∙,=,

ɔU・

二、填空题(30题)

I+cos2xJ<O

已知函数/(x)n,在X=O处连续，则α

α+3x2QO

31.

32.

设函数f(2x-D=e，.则/(χ)=

A.yeu^l+CB.2e+"”+C

t

C.-∣-e^'4-CD.2e÷*j+n+C

33.

√3n2+1

Iim

ιr-*∞7n+l

34.

Ldx

T=—>则α=

Ja4+X28

35.设函数/(X)=。■.则/'(O)=

36.

设y=∕(lnx+α*)，则√(e)=.

.二元函数Z=的定义域是__________

37.

.设N=In[j7÷in(zy)j,则削=

38.

设函数y=/,则y"=

40.

下列关于二次积分交换积分次序错误的是

tb

A∙∫(1∙j∕Go)dy=∫,‹∣ζjQ~)&+∫Wj(x∙›)dx

B.ʃdʃʃf(x,y)dy

ι=fd4√(j.›)dr

PΓJ,Jfif14

c

C.JtLrJ2ʃ/(z0)dy=Jdyj./(x∙›)dr

=∫dy∫7-

D∙Ldr∫'篇/(jrd)dyr/(z,y)cLr

J-IJ-VI-y

/(x+Ax)-/(x)

设/(x)≡ln4∙则Iirn

41.I∆x

ʌΓrsin∕2d∕=

42.d3°

43.设事件A与B相互独立，且P(A)=O.4,P(A+B)=0.7,则P(B)=

44.若"1)=0且FYl)=2,则f(l)是值。

45•函数y=χ-l∏(l+^)的驻点为×=•

xdx

47.设y=sin(Inx),则y,⑴=_.

48.

设f(x)=SinL则/山=

4Q,若/(外在工=。处可导,则pg/1+.泮•典=-----

下列做分方程中,其通解为y=Gcoκr+αain∙r的是

50.',∙,'-0&y*+y'=0C,y,+y≡0D.jΓ一,■。

51.曲线'"^ΓJC'7'+∣的拐点坐标(X。，%)=-------曲线y=(l∕3)χ3-χ2=l的拐点坐

标(xo,yo)=.

52.

下列函数在［-1.1］上满足罗尔定理条件的是()

a∙>≡7B∙y≡1÷∣XI

匚y=-r^ʃ*—1)D.y=ln(14-ɪ)

极限Iim也至J

53.ɪ

一曲线y=∕-∙r在点（IQ）处的切点线方程y=

54.

dx=

56.设事件A与B相互独立，且P(A)=O.4,P(A+B)=0.7,则P(B)=

57.已知(COtXy=f(x),贝IJJXF(X)dx=

将二次积分，d»J：7（1,y）dr改变积分次序为

59.

曲线y=击在∙r=ɪ处的切线方程是

A.3>—2x≡5B.-3y+2ι=b3yτ2/=5D.3y+21=—5

60.

设在（α,6）内的曲线弧是上凹的（或凹的，下凸的），则曲线弧必位于其每一点处

的切线方.

三、计算题（30题）

巳知函数z=*'e”.求嘉.

61.

flΓ∕∣-?

62.计算IM√J,+ylAx.

63.设函数y=≡ɔr(ɪ)由方程y=(1∏JΓ)J∙Jhu确定,求y'.

64.

计算二重积分I=g∣∙d∙rdy,其中D为由曲线，=ɪ-ɪ*与V=H’1所围成的区域.

,,求函数Z=/J+工、'的全部二阶偏导数•

o⅛.

设M=e"m"'∙J.求生

66.θʃ,

设D是由曲线》-/(ɪ)与！(线y-0.y—3圈成的区域.其中

x,.x≤2.

∕<x>-Jl

16zu,>2«

67.求D统承“发8形成的箧转体的体枳.

求极限IimzT

一一.一C1

求极限^^^-3

69.6-2

70求ISIn(Iru)CLr.

_求极限Iime—u

7LL<sinɪ-x

72产函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点∙

73.

计算二重积分/=∣y<jr'+_/+3y)d∙rdy.其中D=((x>>)|J:÷yj≤αj.ɪ≥0).

74.在抛物线y=l-x2与X轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,

其一边AB在X轴上(如图所示).设AB=2x,矩形面积为S(x).

①写出S(X)的表达式;

②求S(X)的最大值.

计算定积分COyJrSinzdʃ.

75.Ja

计算定机分ʃlnɪdɪ.

76.J,

77求微分方程2_v'-3y-L.1的通解.

r。计算定积分1√2+2cos2xcLr.

78.Jo

79.已知曲线C为y=2χ2及直线L为y=4x.

①求由曲线C与直线L所围成的平面图形的面积S；

②求曲线C的平行于直线L的切线方程.

1u÷j

求极限lim/l-，)

80.

81.求!呷(1-=?)•

求极限Iim「（一£:）生红+3E3]

XX

82.

83求徵分方程2，"+5>,≡5x,—2χ—1的通解.

84.设函数y=x3cosx,求dy

求不定积分ʃπτ⅛τdx∙

85.

求阿告一$}

86.

计算心'加dy.其中D由双曲线>一/=1及直线N=OI所围成的平面区域.

87.

88求微分方程/、、ɪ/的通ft?.

89求函数V^rarttanʃInvɪi*'的等数、1,

90.

求Q(∙r+/)立.其中D为y=/.y=*+α,y=α和y=3α(α>0)为边的平行四

边形.

四、综合题(10题)

巳知曲线》=α√Γ(α>0)与曲线y-In√7在点(工。.W)处有公切线.试求：

(1)常数α和切点(J⅛,w):

91.(2)两曲线与工轴图成的平面图形的面积S.

i2rttt/(ʃ)βN2∙rctβ∏j.

(1)求函数/(r)的单两区间和极值，

92.，k的…•八一的叫凸！《M和拐3.

设平面图形D是由曲线y=c'.直线y=e及y轴所围成的.求：

(1)平面图形D的面积I

93.(2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

平面图形由抛物线丁=21・与该曲线在点(∙∣∙.1)处的法线所围成,试求I

(1)该平面图形的面积I

94.<2)读平面图形绕ɪ轴旋转所成的旋转体的体积.

95.

一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时,公宜会全部租出去，当月

租金每增加100元时∙就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

CN求函数y=派TK的单Sl区间和极值.

Vo.

97.讨论函数/(∙r)b3Jʃ1的单词性,

.7areɪanɪ

QQ证明：当工》。时∙∣n(l+∙r)2τηry∙

Vo.

99.

求由曲线y=/与直线∙r=1.1=2及y=。困成平面图形的面枳S以及该图形烧

■r轴旋转•周形成的旋转体的体积.

100.求函数八“一"注定义域内的最大值和最小值.

五、解答题(10题)

101.

_⅞IO分)已知函数：="N・y)由方程e'=犷+sin(")确定.试求公

计算？ɪɪ

102.d午

103.

104.（本题满分8分）袋中有6个球，分别标有数字L2,3,4,5,

6.从中一次任取两个球，试求：取出的两个球上的数字之和大于8的

概率.

105.

设某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭至少有一个

男孩的概率.

106.

）

求由方程SinyEte=0确定的曲线在点（（），兀）处的切线方程.

107.

X

求tan2xdx.

[08.设连续函数/（ʃ）横足/（工）=--£/IxXfr,求C/u•也•

109.

求极限Iime'-e-'.

设函数z=χy+M∙(1),其中/(“)是二阶可微的.

X

证明^2⅛+∕⅛=-∕/,(-)∙

ɪɪθoxdyXX

六、单选题(0题)

lll.eft,⅛[z(B1f则呜)等于(>-A.-2B.-lC.l/2D.1

参考答案

1.B

2.C

3.D

4.D

5.A

令生=0与生=0.可得x=2,y=-∖.故选A.

ðr∂y

6.A

2x„_2(1+X2)-4X22(1-%2)

因为y'=,2

ττ√)(i+√)(l÷x2)2

y〃>0的区间为l-d>o,即-l<χ<l所以选A

7.C

根据原函数的定义可知/(x)=(ʌsiru)'=2x+COSx

因为∫∕z(2x)dx=ɪ∫∕,(2x)d(2x)=ɪJdf(2x)=∣∕(2x)÷C

XZ14

所以∫∕*(2Λ)dx=-^[2∙(2x)+cos(2x)]+C=2x+^cos2x+C

22

8.A

答应选A.

分析本题考查的知识点是原函数的概念•

由/(x)的一个原函数为Xln(X+I),可得∫Λx)dx=xln(χ+1)+C,所以选A.

9.A

ʃ・√ɪ-2'ʃ-√J2

10.22

11.A

12.D

13.C

14.A

15.D

2

1.J}ln(l+2r)出洛必达法则Jdn(I+2x)等阶代换「Ix2

Iimτ..............................Iim---------；-----------Iim--="

*→oX3χ→o3χ2*→θ3X23

［解析］根据极值的充分条件：B2-AC=-I,A=2X).

IND所以/(1，D为极小值，选B.

Io.B

17.B

18.D

w.ln(l+0t)..axa,

因m为lIim-----------=Iim一=—=L

Tf2xχ→o2x2

所以a=2

19.D

答应选D∙

分析绝对值求导的关键是去绝对值符号.然后根据分段函数求导数•

2x-∖,XM,

因为/(*)=∣2x-I∣=∙

I-2x.X<—9

所以/-(y)=^2^∙,(y)~2∙

因为所以在X=9处的导数不存在,故选D∙

20.D

答应之D.

分千J之！-.W.二不与去电求限限的方法以及乘积的导致公式.

：丁.一==InnU口门了.“>”*)=UYO)Mo)+u(0),0)

•S»**cJ

ɪl∙2÷l∙2=4β

所以送D.

21.B

22.C

/(ɪ)在I=O处连续，则f(τ)左工=O处既左连续又右连续，所以Iim/(H)=Iimf(τ)=

+

x→0J-*0-

lim/(ʃ)=Iim幽ɪ=2=/(0)=α,故a=2.

j→0z→0X

23.A

rrjtðI八P(AB)0.4

因为1ArιzM')=/万=诵=05'所以选A.

24.C

答应选c.

分析本题考我的知识点是不定积分的概念和换元枳分的方法.

对于不定积分的积分公式如Jcosxdx=sinX+C.考生应该更深一层次地理解为其结构式是

∫eos□d□≡sin□+C式中的方块一口”既可以是变舐*,也可以是X的函数式,例如JCOB回d回=

Sin叵-C.[cOSNad[还=si"®Aj+C.只要符合上述结构式的雨数或变量,均有上面的积

分公式成立.其他的积分公式也有完全类似的结构式.如果将上述式子口内的函数的微分写出

来,则有：卜。8(J)d(∕)=2∣xcoa(x,)d*Sjccβ(Inx)d(Inx)=Jg(W(InH)dx,如果在试

题中将等式右边部分拿出来,这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达式写成能利用公

式的不定积分的结构式,从而得到所需的结果或答案•考生如能这样深层次理解基本积分公式，

则无论是解题能力还是计算能力与水平都会有一个较大层次的提高.

基于上面对积分结构式的理解,本题亦为：

巳知J∕(口)d□=口eR+C,则J%lnw)dx等于().

由于JflnG<k=∫∕(lnx)d(InS),此时□=In%所以∫ɪ/(Inx)dx=Inxe-1**+C≡

Inx•6*>++9=!人*+<：,即选项(：正确.

［解析］利用商的导数公式可知

(lnx)*x-lnx∙x,I-Inx

X2X2

25.A

26.B

_________1_________1=%于是/5)

l⅛ʃ(ɪo—2h)—/(ɪo)=-2.

—2/1)—If(JrQ)-2/'(ZQ)

27.A

28.A

29.B

z=⅛+⅛)=-7-⅛∙

30.6∕x

31.

32.D

33.

√3

34.

+o0

1X1,πaπ

因为=—arctan—=一(--arctan—)x=一

22fl2228

aπ

arctan—=—

24

a

所以-=1,a=2

2

35.

因为/'G)=±⅛，所以/'(0)=∣∙

36.

∕,(l+αe)∙(,+α'lna)

fl(l+α*)∙(>+α∙nα

37.

38.

39.

20/

40.D

41.0

42.xsinx2

43.0.5

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),

即0.7=0,4+P(B)-0∙4P(B)o

得P(B)=O.5。

44.极小极小

45.应填0.本题考查的知识点是驻点的概念及求

根据定义,使广(Z)=O的工称为函数/(工)的驻点，因此有y'=1-4=0,得工=0.

法.故填0∙

∣ln(4+√)+C

［解析］=∖JT∙^τd(4+χ2)=:ln(4+√)+C

46j4+x2J4+X22

47.1

［解析］y'-cos(Inx)(Inx)z--cosIn.r.y,(∣)=ɪeosInxi.=I.

XX,i∙1

48.π2

π2

由f,(x)=cos-∙(一-y)所以f,(-)=一一τ^-cos-J-=π2

XXn(1)21

ππ

49用M)8f'(α)

50.C

51.

叩，；).因为八2χ-230.得x=l.又因为在”1两恻y"异号,且χ=l时,y=；,

所以点(∣,/)为拐点.

52.C

53.

54.2(x-l)

arcsinx-√l-x2+C

［解析］dx

=arcSinX-√l-x2+C

55.

56.0.5

XX

------5-----COtx÷C-------5-----COtX÷C

57.SinXsin*x

58.

drj/(Xty)dy

59.C

60.±±

,/—=2JC4T÷√yeo=(2]+]、)小，

əʃ

-⅛-=/e"+(2∙r+zF)ef∖r=<3√÷.r1>)e^.

∂x∂y

'：—=2JC4V+>ye"=(2x+τ2v)e,'.

əʃ

；・⅛-=+(2x÷√^)e^=(3√÷x1>)ez∖

∂^∂y

62.

根据题意，先做出枳分区域•如图所示,然后在极坐标

系下进行计算.

f'd3-fy'7√xi÷√dx=f'd¢Γr∙rdr

JOJeJOJO

根据题意.先做出枳分区域•如图所示,然后在极坐标

系F进行计算.

∫'ʤj'l7√√+√dx=∫'dtf∫'r•rdr

πn

=T6^∙

[(lru->G,∙Jbu+(lr‰r)∙・(Jkj)

[e,i,]'•产+(lnʃ),∙(e")

ln(lnʃ)+ɪ•：—•一•xkr+d∏j-)r∙el∙*.2lιrr∙-

inɪXX

≡(lnɪ)4∙rIn(Inx)+亡]∙*~+2(lru)r*1∙JrH

63.

y—[(lru->*J,∙jbu+(InJ)"∙(jta,)

=[ej∙ta"~'y.J∙u*+(lnʃ)ɪ•“3)

ta(lnx)→.X.l]xur÷(l∏j∙)j.eta*∙2lιu∙—

=(lnɪ)4∙pn(lnɪ)+⅛]∙-rhu+2(lru∙)*+l∙工

原式/=丁中工：业

=ɪʃ(1—X7—x!+1)dʃ

=ɪʃ(2—2xt)dʃ

=A∏4-—111=ɪ(i-4)=⅜∙ɪ=i.

8Lɜ∣∙<J8383

64.

原式/=iT,d∙r∫]'∣d∙r

=ɪʃ(1-+1)dʃ

=ɪʃ(2—2X2)dʃ

Λ1

3ΓΛ2JT113—4、381

8L3ITJ8383

因为

111

zt=4xy÷2xy.zy=2∙r'y+3∕'y'•

所以

≡I2x2y2+2y3•

NA=2J,+6x,›.

i2

ztf≡6jry+6xy♦

z=8x,y+6τ>j.

65.9β

因为

3,ii2

zt=4xy+2Q'=2xy+3xy•

所以

=12√√+2√∙

==2J,+6∕y∙

zt1=8*'y+6∙ry'•

z9β=8/y+6*>：・

k

=e∙rcun∕x÷∕

•—parcUn>/J+/____ɪ_______2工_______

"θɪ^l+√+√2√r2――

=_________ɪ_________.e«rcwivʌɪʧ

rr22

66.√7÷y(1+x÷y)

,

•—Aarct*n4y.____ɪ_______2工

''θɪ1÷x,÷√23十一

.e*rru**{Jr，'

√rr÷yr(1÷X*+ɔr2)

由题意得

V,=π∣(6—y)∣dy-x((√y):d-y

由题意得

rt

匕=π∣(6—jy)dy-χf<∕y)d3>

2√7

f

Isin(lnʃ)dʃ=ɛɪsin(lnʃ)]ʃdsin(lnʃ)

esinl-ʃeos(lrvr)dʃ

esinl-[ʃeos(lnʃ)J+ɪdeos(ɪnʃ)

=esinl-ecosl+1-sin(lnʃ)dʃt

sin(ɪnʃ)dʃ=­[e(sinl-cosl)+1]・

70.

sin(lnɪ)dʃ=[ɪsin(lnʃ)][一Jʃdsin(ɪnʃ)

-Jeos(lrvr)dʃ

=esinl-[ʃeos(inʃ)]+ɪdeos(lnʃ)

=esinl-ecosl+1-sin(lnʃ)dʃ.

Sin(IrLr)CLr=ɪ[e(sinl-cosl)+1J.

72∙f(x)的定义域为GoO,0),(0,+∞),且

f,(×)≈2>FJ"(G=2--γ∙

XX

令/'(z)=0,得χ=-∣;令/"(*)=0,得“万.

列表如下：

(-B,-I)-I(-i.0)（o.M）____JCfi.4B)

-O♦

小）♦♦-O♦

/(>)∖较小值3Z■拐点（"a

由上表可知.函数/（χ）的单调减少区间为（-8.-I）,雎调增加区间为（-1,0）和（0,+8）；

/（-1）=3为极小值；

函数/（χ）的凹区间为（-8.0）和（苏，+8）,凸区间为（0,万）；

拐点坐标为（苏.0）∙

由对称性知』3yd∕dy=O•所以

υ

lf(ʃɪ+y)dxdy—21时r4dr=ɪɑ*,

73./-

由对称性知』3y<kdy=O.所以

D

I=lɪ(ʃ2÷y2)dxdy=2,dtʧr4dr=ɪɑ'I

74.φS(x)=AB∙BC=2xy=2x(l-x2)(0<x<l).

ʌI

②SYX)=2-6,≈0,得x=χ(舍去负值).

√3

由于只有唯一驻点，根据实际问题有最大值,所以当/号时啕邛为最大值•

设U=eosʃ♦Wldu=-sin∕d∕,当Jr=O时U=IS当Jr=■^时

__,原式一一「“'du=_+I=I.

75.JI4Ii4

设“=cow,则d“=-sinɪdʃ♦当Jr=O时“=11当Jr=时∙N=0

：・原式=­ʃtt`dw=一;L≡ɪ.

原式=打

lnʃdɪ"

∖i1「2ɪI

=ɪlnʃ∙ʃ2-----ʃ•一CLr

11ZJlɪ

一

=2ln2ɪʃʃdʃ=2ln2----ɪ-ʃ*

=2ln2-ɪ

76.4

原式=ɪʃjnʃdɪɪ

=⅛ln∙r∙∙r1'^⅛∫∕∙⅛dj

=2ln2—ɪ-ʃʃdʃ=21n2—ɪ-ʃ*

=2ln2—J-.

4

77.

微分方程对应的齐次方程为

y-Zy—3>≡0«

其特征方程为一-2r-3=0,特征根为C=3,rt=-1.故对应的齐次方程的通解为

yNCle^÷C,eʃ(ɑ,,e,为任意常数

β

由于自由项/(ɪ)=(3j+l)e*.λ=0不是特征根，故可设特制为

y∙=A+Rr•

将V代入原方程•得

—28-3A—3Hr=rɜʃ+1•

有-3B=3.-2B-3A≡1.

故A=J.B=—1,从而>'=ɪ-x∙

OJ

所以原方程的通解为

u

y-C1e+C,e*÷ɪ-r(CttC,为任意常数).

微分方程对应的齐次方程为

y—2y'—3y≡0«

其特征方程为--2r-3-0,特征根为C=3,rt=一】，故对应的齐次方程的通解为

i

y≡Cle^+Ge(C,.C,为任意常数).

β

由于自由项/(ʃ)=(3x+l)e-.λ=0不是特征根，故可设特解为

y9≈A+Hr•

将/代入原方程•得

-2B—3A—3Hr=31+1・

有-3H=3.-2B-3A≡I.

故A=J・B=-I,从而y=ɪ-x∙

所以原方程的通解为

y=C,en+C,ej+ɪ~x(C**C»为任意常数)•

因2+2cos2τ=2(1+cos2x)=4coY<r∙所以

ʃy/2÷2cos2τcLr=ʃ^eosɪʃdʃ

=ʃ2IeosʃIdʃ

=2∣eosʃdɪ-2fCoSerCLr

JoJf

+w

=2sinx-2sinx=2+2=4.

78.

因2+2cos2τ=2(1+cos2x)=4cos-.所以

%∕2+2cos2jrcLr=ʃ^ieos^ɪdʃ

=ʃ2IeosɪICLr

=21：eosɪdɪ-2j,eosʃdʃ

=2siτu,-2siru,=2+2=4.

OI

79.画出平面图形如图阴影所示

-2√)dx=(2√-f√)|：吟.

②设过点（了。,力）的切线平行于y=4x,则），'（％）=4工。=4,所以q=1.%=2.过此点的切线

方程为

y-2≡4(Jr-I).即4x-v-2=0.

令一工=，,则当1―8时.有I—8.所以

80.

原式UIim。二1飞原式=Iim「二中

.e*-1_.•一。’一】

ɪlIim----rʒ—Σ7=hmʒ----Γ~Γ~二

r∙oe-I+xe^r∙oe-14

.e'_1e,一1

=h1fn—,]G==T∙=hm-;丁丁1H于.

81.ʃ-ɑʃe+2c2».»jre+2c2

82.

由于当Hfo时,K是无穷小趴且卜in盘J≤1.故可知坪，sin£=0.

当∙r—O时.1-e^u*〜3/.故

(1—e-,'f)sin2x∣.3J1∙sinɪɪ∣.3sin2x_

Irim--------------------=Iim---------；------=Iimɪ-=3.

I。XQXJ—Oɪ

所以如产二弓‘鹏+3吗]=3.

由于当N→0时,∙r'是无穷小址,且卜in±∣≤1.故可知!iry'in±=0.

83.

与原方程对应的齐次线性方程为

2yf+5y'=0,

特征方程为

2rτ+5r=0»

故

ʌ5

rl≡Otrf≡-ɪ•

于是

y≈Ci÷C1eR

为齐次线性方程的通解.

而5》-2］一ɪ中的AnO为单一特征根.故可设

y,≈ʃ(ʌrɪ+fir+C)

为

2∕+5√=5J1-2J-1

的一个特解,于是有•

(y∙)'=3Ar1+2Hr+C,(>*)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2fir+C)=5JI-2J-1.

即

15Λri÷(12A+1OB)X÷4B+5C=5α∙,-2J-1.

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C=-1.

于是

AɪU3λ,7

A=τ,B=-y,C≡-

所以

•ɪ13•7”

>=T~T÷215

为

2y"+5y'=SJT2—Zx

的一个特饼,因此原方程的通邮为

y≡=Cl+CjC'+=+if'G∙C'为任意常数）,

与原方程对应的齐次线性方程为

2y*+5y'O.

特征方程为

2rs+5r=0.

故

0,rt

于是

>=C∣+ɛɪeT

为齐次线性方程的通解.

而5》-2工一1中的；Ino为单一特征根.故可设

y,≈jr(Ar1+Rr+C)

为

2y,+5y'≡5xl—2J—1

的一个特解.于是有

(y∙Y=-3Ar1+2Hr÷C,(y∙)"=6Ar÷2B.

知

2(6Ar÷2B)+5(3Ar1+2Rr+C)=5J,-2J-1.

即

15Λri+<12Λ÷IOB)J+4B÷5C-5√-2J-1,

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B+5C«=-1.

于是

_ɪ_3ð7

Aλ=T'βuβ"5^∙c≡