1.4 充分条件与必要条件（五大题型）（原卷版）

1．4充分条件与必要条件【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数取值范围题型三：根据必要条件求参数取值范围题型四：根据充要条件求参数取值范围题型五：充要条件的证明【知识点梳理】知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2023·高一课时练习）设，则使成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．例2．（2023·高一课时练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（）A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件例3．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④变式1．（2023·全国·高一专题练习）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（

）A． B．C． D．变式2．（2023·高一课时练习）=的一个充分条件是（

）A． B．C． D．变式3．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3变式4．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是A． B． C． D．变式5．（2023·江西·高一宁冈中学校考期末）已知，则“”的一个必要条件是（

）A． B．C． D．变式6．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校考期中）已知p，q都是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（

）A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件【方法技巧与总结】1、判断充分条件、必要条件的注意点（1）明确条件与结论．（2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题．（3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q．2、充分条件、必要条件的两种判断方法（1）定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．（2）命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．题型二：根据充分条件求参数取值范围例4．（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是（满足条件即可）.例5．（2023·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是．例6．（2023·高一单元测试）设p：实数x满足集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，q：实数x满足集合B＝{x|x＜－4，或x≥－2}，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．变式7．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.变式8．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型三：根据必要条件求参数取值范围例7．（2023·高一课时练习）已知实数满足，其中；实数x满足,若是的必要条件，求实数的取值范围．例8．（2023·山东菏泽·高一校考期末）已知全集，集合，.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.例9．（2023·高一课时练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．变式9．（2023·四川凉山·高一统考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）变式10．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知.(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.变式11．（2023·全国·高一随堂练习）已知集合或，．（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件．【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型四：根据充要条件求参数取值范围例10．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（

）．A． B． C． D．例11．（2023·高一单元测试）设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，例12．（2023·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或变式12．（2023·全国·高一专题练习）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式13．（2023·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.变式14．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．变式15．（2023·高一单元测试）当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是．变式16．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是

.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型五：充要条件的证明例13．（2023·高一课时练习）求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件是.例14．（2023·高一课时练习）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．例15．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.变式17．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）设.(1)求证：成立的充要条件是.(2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）.变式18．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.变式19．（2023·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．【方法技巧与总结】（1）证明充分性；（2）证明必要性．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（

）A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角2．（2023·青海海东·高一统考阶段练习）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·云南·高一统考期末）已知、，且，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件4．（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：，q：关于x的方程有唯一解6．（2023·高一课时练习）关于x的方程，以下命题正确的个数为（

）（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件；正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④8．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高一随堂练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（）A．“”是“”的充分条件但不是必要条件B．“”是“”的必要条件但不是充分条件C．“”是“”的充要条件D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件10．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（

）A． B．C． D．11．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．12．（2023·江苏苏州·高一校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（

）A．B．C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.三、填空题13．（2023·高一课时练习）一次函数的图象不过第三象限的一个充分条件是（答案不唯一）14．（2023·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有（1）若是无理数，则是无理数．（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．（3）若，则.（4）若和都是偶数，则是偶数．15．（2023·高一单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的条件．16．（2023·湖北宜昌·高一校联考期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是．四、解答题17．（2023·高一课时练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）．(1)数a能被6整除，数a能被3整除；(2)，；(3)有两个角相等，是正三角形；(4)，，.18．（2023·全国·高一随堂练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？19．（2023·高一课时练习）集合，.(1)当时，求；(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m