河北省张家口市2023届高三下学期高考二模数学含解析

张家口市2023年高三年级第二次模拟考试

数学试题

注意事项：

班级姓名

L答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知集合A={x∣(x-2)(4-x)>0},B=<--->0>,则(熟)u(RB)=()

J-X

A.(2,3)B.[3,4]C.(-∞,2]U[3,+a>)D.(-8,3]u[4,+e)

2.已知复数在复平面上对应的点为,则(匕ɪ)=()

A.lB.-lC.iD.-i

3.已知点P(Λ0,%)为圆。：f+y2=2上的动点，则直线-%y=2与圆C的位置关系为()

A.相交B.相离C.相切D.相切或相交

4.已知向量α=(5,g)石=(-1,尤)，若|2。一/?|2=4/+/+2,则实数的值为(»

A.0B.lC.-lD.-

2

5.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在

火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都

是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周

期之比约为9:5,则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为()

啸B嘏哧曜

6.探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点

位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理.已知某型

号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是8()cm,灯深40cm,

则光源到反射镜顶点的距离为()

A.20cmB.10cmC.30cmD.40cm

7.欧拉函数。(〃乂〃wN*)的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：

a1)=1,e(3)=2.数列｛%｝满足%=0(2"),其前项和为5“，则SK)=()

A.1024B.2048C.1O23D.2047

8.已知函数〃X)=λ∕21n(x+l)+x-m,若曲线V=COW上存在点(%,%)使得/(/(%))=%,则实数S

的取值范围是()

A.(-∞,ln2]B,[-l,ln2]C.(→o,21n2]D.[0,21n2]

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.中央广播电视总台《2023年春节联欢晚会》以温暖人心的精品节目、亮点满满的技术创新、美轮美奂的舞

美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大餐.某机构随机调查了18位观众对2023年春晚节目的满意

度评分情况，得到如下数据：α,60,70,70,72,73,74,74,75,76,77,79,80,83,85,87,93,100若恰好是

这组数据的上四分位数，则的值可能为()

A.83B.84C.85D.87

10.将函数/(x)=-2siι√ɪ-ɪ+j阚＜£的图象向左平移,个单位长度，得到函数y=g(%)的

图象，若g(x)-g(-X)=O恒成立，则()

A.函数g(X)的最小正周期为2万

B.函数g(x)的图象的对称中心为∈Z)

C.函数/(x)在Oɪ上的最小值为1,最大值为∣∙

D.函数/(X)的极小值点为x=q+6∙(A∈Z)

11.已知在棱长为1的正方体ABCZ)-AlB∣C∣”中，点尸为下底面ABC。上的动点，则()

A.当P在对角线3。上运动时，三棱锥A-PB∣。的体积为定值

B.当P在对角线BD上运动时，异面直线AP与8©所成角可以取到?

C.当尸在对角线3。上运动时，直线AP与平面48。所成角可以取到?

D.若点p到棱AA1的距离是到平面3CC∣B∣的距离的两倍，则点p的轨迹为椭圆的一部分

12.设函数y=∕(x)在区间/上有定义，若Vc>035>0,使得对于在区间/上的任意再,％2,当

归一天|<3时，恒有|/(再)—则称函数y=∕(x)在区间/上一致连续.也就是说，若函数

/(%)在区间/上一致连续，对于区间/内任意看,£，只要看,£充分接近，那么/(%)与/(电)也能够

充分接近，则下列结论正确的是()

A.函数/(x)=χ2在区间［0,+力)上一致连续

B.函数/(x)=J1在区间［l,+e)上一致连续

C.函数/(x)=Sinx在区间(-8,+8)上一致连续

D.函数/(x)=(在区间(0,+∞)上一致连续

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

C9Y

13.已知-(〃eN)的展开式的各二项式系数的和为64,则常数项为.(用数字作答)

14.函数〃X)=2^^4V+4+√X2-2Λ的最小值为.

15.已知抛物线y=x2-0x-3(fl∈R)与轴的交点分别为AB,点C的坐标为(0,-3),若过A,B,C三点

的圆与『轴的另一个交点为O(Os)，则6=.

16.己知椭圆C：「+方=1(。>匕>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点P(2JT=P^,θ)作直线I交椭圆

C于",N两点，若PM=5M0,∣gM=2同M，则椭圆C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛q｝的首项q=1,S,,为其前项和，且〃4+∣=2S,,+2（"∈N*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式：

ɪɔ

⑵若“=-----数列也｝的前项和为7；,求证：τn

aa

nn+∖8

18.（本小题满分12分）

在锐角二ABC中，角人及。所对的边分别为41,小若tanA+tanB+tanC=GtanBtanC.

⑴求A；

（2）若不等式MC∙-b）,,/1片恒成立，求实数丸的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图,在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，BC=4,AB=2√5,E,F分别为PC,PB

的中点，平面AM与底面ABC的交线为/.

（1）证明：/〃平面P6C.

（2）若三棱锥P—A3C的体积为迪，试问在直线/上是否存在点Q,使得直线PQ与平面AEF所

3

JT

成角为，，异面直线PQ，E尸所成角为月，且满足α+万=万？若存在，求出线段AQ的长度；若不存

在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知甲盒中装有大小质地完全相同的3个白球、2个红球，乙盒中装有大小质地完全相同的4个白球、1个

红球.

（1）从甲、乙两盒中各任取两个球，记取出的球中红球的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;

（2）先从甲盒中任取两个球放入乙盒，再从乙盒中任取两个球，求从乙盒中取出两个白球的概率.

21.（本小题满分12分）

已知双曲线C⅛-⅞-=l(iz>O,⅛>O)的一条渐近线为y=氐，右焦点为F(2,0).

a"b~

(1)求双曲线。的方程；

(2)若过点F作直线/交双曲线C的右支于P,Q两点，点M满足FP=QM,求证：存在两个定点EvE2,

使得Ej为定值，并求出这个定值.

22.(本小题满分12分)

己知函数/(x)=-%2+χ-H∏χ(αeR).

(1)若函数/(x)为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

(2)若函数“X)的极值点为五,Λ2(χHΛ2),求证：—/(xj∣<工决一2α.

张家口市2023年高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

题号123456789101112

答案CDCDABCDABCBCABBC

LC解析：由题意可得A=(2,4),B=(-∞,3),于是，Ac5=(2,3),因此

⅛A)u(RB)=?R(ACB)=(-e,2]u[3,+。).故选c.

1+i

2.D解析：由题意可得Z=l-i,于是，上匚=W=i,故I=[3=-「故选口.

z1—1z

3.C解析：利用圆心距d和半径/=®的关系来确定直线与圆的位置关系.由题意可得片+¥=2,于是

22

d==应=J所以，两者相切.故选C.

ʌ/ɪo+J7O近

4.D解析：由向量数量积的性质可得∣2d-邸=(2d-b)2=4d2+∕72-4力力.于是，-4a.⅛=2,即

3111

-x∙(-l)÷-x=--,所以，'=5.故选D.

5.A解析：设地球的公转周期为5T,则火星的公转周期为9T∙设地球、火星运行轨道的半长轴分别为，“，,

.∣,lm'«'一曰m

则——7=―于是，一.故选A.

25T28IT2n

6.B解析：在纵断面内，以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直

线为轴，建立直角坐标系，如图，由题意可得A(40,40).设抛物线的标准方程为y=2pχ(p>0),于是

4()2=2p∙40,解得P=20.所以，抛物线的焦点到顶点的距离为=10,即光源到反射镜顶点的距离为

IOCm.故选B.

y

7(40,40)

O

7.C解析：根据欧拉函数的定义可得4=0(2)=I,4=)=2,03=夕Q3)=4,4=)=8

般地，ɑ,,=θ(2")=2"T.事实上，。(2”)表示从1到2"的正整数中，与2"互质的正整数的个数，相当

于去掉从1到2"的正整数中所有2的倍数的个数(共2"T个数)，因此，4=θ(2")=2"-2"T=2"T.

所以，SlO=I+2+4++29=1023.故选C

8.D解析：由题意可得，函数/(x)为增函数.若/(%)>为，则/(/(%))>/(%)>为；同理，若

/(%)<%，则/(/(%))</(%)<%，均与题设条件不符•由/(/(%))=No可得/(%)=%，且

%e［θ,l］.因止匕，关于的方程J21n(x+l)+x-m=x在［0,1］上有解,整理得21n(x+l)-χ2+%=根在

［0,1］上有解.设g(x)=21n(x+I)-X2+%,χe［o,ι］,则g，(X)=告一2x+l为［0,1］上的减函数，注意到

g，(I)=0,故g'(x).∙O,从而函数g(x)在［0,1］上单调递增.所以，g(x)∈［g(0),g(I)HO,21n2］.因此,

实数N的取值范围是［0,21n2］.故选D.

9.ABC解析：显然不是最小的数，也不是最大的数.由于上四分位数即第75百分位数，于是

18x75%=13.5,将这些数据按照从小到大排列后，第14个数为上四分位数.而除去后，从小到大排列得

到的第13个数为83,所以的可能取值为83,84,85.故选ABC.

1JT

10.BC解析：由题意，/(x)=CoS(2x-0+不将其图象向左平移”个单位长度，得到函数

26

ɪπ

g(x)=cos2x+--φ+cosI2,x÷ʒ—，J+5，而g(χ)-g(-X)=0恒成立,即函数y=g(%)

I623

为偶函数，于是(―O=6∙,ZeZ.又M<∕,所以，φ*,因此，函数

/(x)=CoS+g(x)=cos2x+g.所以，函数g(x)的最小正周期为万,A错误；由

2x^^+kπ,即X=?+4伏∈Z)时，cos2x=0,因此，函数g(x)的图象的对称中心为

7+：-,；］(%eZ),B正确；当0领k1时，一《效电x—1ɪ,所以/(x)在0,—上的最小值为

(422j''3333v73_

3TT2%

1,最大值为万，C正确；令2%一1=万+2g即X=石+叱左")为函数的极小值点，D错误.

故选BC.

H-AB解析：当尸在对角线BD上运动时，BD〃平面AB∣O∣,从而点P到平面A8∣R的距离为定

值，从而三棱锥P-A4。的体积为定值，即三棱锥A-PBlA的体积为定值，A正确；以。为原点，

D4,DC,D。分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1),由P在对角线BD上运动，

4(1,1,1),C(0,l,0),A(l,0,0),C1(0,l,l),P(∕w,∕w,0)(01⅛1),于是

B1C=(-l,0,-l),r>1P=(∕w,m,-l).假设存在点P满足异面直线DIP与B。所成角为《，因此，

1—+11r\nn-71

二=/-F,解得加=：.所以，异面直线AP与BlC所成角可以取到丁，B正确；注意到直线

2√2∕√+l∙^43

/71

IA__IjΛΛ________I

平面所以，平面的一个法向量为于是，—=,解

AClIABD,ABDAG=(-l,l,l),-jΞ-----.≡

2√2∕W2+1∙^

得m∈0.所以，C错误；注意到点尸到棱AAl的距离为/%,过点尸作BC的垂线，垂足为“，则点

P到平面BCClBl的距离为PH，在平面ABCD内，动点尸到定点A的距离与到定直线BC的距离之

比为2,即动点尸的轨迹在双曲线上，D错误.故选AB.

12.BC解析：对于选项A,W2>O,令芭=〃,々=〃+,，当充分大时，X2-X=L<S;另一方面，

nn

∣∕(xl)-∕(x2)∣=n^-∖n+-=2+—>2,不满足|/(西)-/(工2)|<£，因此，函数/(%)=f在

[0,+。)上不一致连续.对于选项B，令APX2e[l,+00),且百<%2,则

0

=Xg<归JLVe>0,取b=2e,当x∣,Λ2e[L+0),且∣%-%2∣<5时,

，所以，函数/(x)=6在区间[1,+8)上一致连续.对于选项C,V£>0,取

^=6∙>0,VΛ¾,X2∈(-∞,+∞),当h-X2∣<S时，有

,、

%一%2x,+x,IX-x,l

∣siαr一SinJI21=2ssincos------融Sin士也2∙l21<J=ε,因此，函数/(x)=SinX在

1222

区间(-∞,+∞)上一致连续.利用题目给出的一致连续的定义，我们可以得到函数/(X)在区间/不一致连

续的定义：对给定的某正数无，不论3取值多么小，总至少有X],X2∈/,满足∣%一Λ2∣<b,但

∣∕(xl)-∕(%2)∣..^0,则称函数/(x)在区间/不一致连续.对于选项D，对给定的跖=1，Vb>O,b充分

小，不妨设取％=5,/=?，则|与一々|=?<5,但，一，=2>1，这说明，函数/(x)=L

在区间(0,+力)上不一致连续.故选BC.

13.-160解析：由题意可得2"=64,于是，"=6.设第r+1项为常数项,则C"6-，［―2)=(-2),C^6^2r,

即6—2r=0,解得r=3∙所以，该展开式的常数项为(一2)，C：=-160.

14.1解析：函数〃x)的定义域为(一8,()卜［2,+“).由复合函数的单调性可知，〃x)在(τ,0］上单调

递减，在［2,+⑹上单调递增.而/(0)=4,"2)=1.所以，函数/(x)的最小值为1.

15.1解析：由题意可得，点。在抛物线y=x2-以-3(α∈R)上，且点。在轴上方，即h>0.设过A8,

。三点的圆的方程为f+y+Dr+Ej+F=。.令y=。，则有£+6+产=0；令X=0,则有

产+助+/=0.设AB的横坐标分别为％,X2,则X1,X2也为方程χ2+Dt+尸=O的根，由韦达定理可

得，XR=F=-3；同理，一3,〃为方程产+4+/=0的根，由韦达定理可得一μ=尸.因此，一38=一3,

即b=l.

/777§∖PN∖1IPFII

16•解析：如图，由PM=AN可得匕」=ς∙,又上高=彳，故NF2〃MF［,且

52∖PM∖3I2耳I3

\MF↑I=3∖F2N∖.-SIF2N∖=m,则IM■制=3∕%,而忸M=2„,于是比M=2/篦.由椭圆的定义可知,

2a=∖MFi∖+∖MF2∖=3m+2m=5m,即。=当.延长交椭圆C于点Q,连接Q8，则由椭圆的对称

性可知，∣Q用=ENl=加.又IQ耳∣+∣Q闾=2α,故IQKl=4m，即&。姐为等腰三角形,于是，

cos/QMK=I•在AMTM中，设归周=2c,由余弦定理可得

√io

4C2=9∕√+4加-2∙3m2m'=IOw2,即C=回加.所以，椭圆C的离心率为e=£=-^—=—

42α—5m5

2

则A(1,O,O),P((),O,有),C(—1,0,0),8(-l,4,0),E-ɪ0,^,F-ɪ2,^,设Q(LwO).

(22)(22)

(3Jiy

于是，尸Q=(I,χ,-6),AE=,所=(0,2,0).设平面AE尸的法向量为〃=(W，>2，Z2)，

\/

则AEn=O,

_3>∕3_I-rQ、

EF∙n=O>即，2-222'取Z2=l,,则W=——,=0>即Ai=--,0,1.

2%=0,一3UJ

4-石1

又直线PQ与平面AET7所成角为。，于是Sina=CoS(P0,立)=∣~=J,

而异面直线PQ,EF所成角为尸,于是CoS夕=

假设存在点Q满足题设1+/?=],贝IJSina=COS尸，整理得Iyl=L

所以，这样的点Q存在，且有AQ=L

20.解：(1)由题意可得，随机变量X的所有可能取值为OJ2,3.

故c；c[=2_

X=O表示从甲、乙两盒中取出的都是白球P(X=O)Cf'cl^5θ5

X=1表示甲盒中取出1个白球1个红球、乙盒中取出2个白球或甲盒中取出2个白球、乙盒中取出1个白

r~ιlz~t2z^ι201z~ι112

球1个红球，故P(X=I)一N-J_SI-D—、一]

^cΓcFcf^cΓ25

C2C1C11

X=3表示从甲盒中取出2个红球、乙盒中取出1个白球1个红球，故P(x=3)=κ∣∙∙-^U=宗

3

于是，P(X=2)=I-P(X=O)-P(X=I)-P(X=3)=R.

所以，随机变量X的分布列为

X0123

91231

P

5025Io25

数学期望为E(X)=OX2+lχU∙+2χ3+3x-L=g.

v,502510255

(2)设事件A∣:从甲盒中取出两个红球，事件4：从甲盒中取出两个白球，事件4：从甲盒中取出一

个红球一个白球，事件3：从乙盒中取出两个白球.

则4,4,4两两互斥，且B=ABUUA3人

「2「202z~ι2「|「I「2

且P(A)=MP(BlA)=Wp(4)=MP(8∣4)=*,p(4)=皆,P04)=圣∙于是

P(B)=P(AXBUA2B<J^B)=P(∖B)+P(A1B)+P(AiB)

=P(A)WIA)+P(4)P(M4)+P(A)P(例A)

=C[CG晨量LC[^37

C；CGGCfC；70

37

所以，从甲盒中任取两个球放入乙盒后，从乙盒中取出两个白球的概率为五.

21.W：(1)由题意可得2=上，即Z>2=3q2.

a

又C=2,即储+62=4,所以,“2=1/2=3.

因此，双曲线。的方程为无2一£=1.

3

(2)设点加(乐力尸(％,乂),。(%2,1)，再，马＞1，设直线/的方程为X=Sy+2,

2

与双曲线C的方程％2—g_=l联立，整理得(3∕√一ι)y2+i2my+9=o,

则3/77?—1≠O,Δ=(12m)2-36^3m2-1)=36^m2+1)>O,整理得〃2之≠ɪ,

1ɔtγ>l_Λ

由根与系数的关系得M+%=-√÷γ，于是不+巧=加(%+%)+4=τ÷-

3m^^—13m"-1

—41

注意到%+%>2,于是藐口>2,解得根2<§.

又点M满足FP=QM,即2一"-X"整理得＜Λ=X1+X2—2,

、y=y-%，J=y+%，

—4—6m2-2

X=----ɔ-------2=------ɔ-----,22

fnV

于是《3T3"-1消去,“得土-L=I(X〉0)

—12m412

三丁1,

O3m—1

因此，点M的轨迹是以(Y,0),(4,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支,

由双曲线的定义可知，存在两个定点土（7,0）,七2（4,（）），使得IMε∣∣-∣MG∣=4.

22.解：⑴函数“X）的定义域为（0,+力）.

由题意，f'（x）=-2x+l--=-2χl~x+a.

XX

若函数/（x）为（0,+∞）上的单调函数，则r（x）在（0,+⑹上恒非正或恒非负.又"=