8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 （原卷版）

8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系【考点梳理】考点一平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.考点二点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l考点三平面的基本性质及作用1.基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.考点三空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))考点四直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示考点五平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示【题型归纳】题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换1．（2023春·全国·高一）如图所示，用符号语言可表述为（）A．，，B．C．D．2．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（

）（1）点A在平面内，但不在平面内：，．（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．A．1 B．2 C．3 D．03．（2021春·山东聊城·高一统考期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（

）A．，，且， B．，，且，C．，，且， D．，，且，题型二：平面的基本性质4．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面5．（2023春·全国·高一专题练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（

）A．，，，，则B．，，，，则直线，直线C．，，则D．、、，、、，且、、不共线，则、重合6．（2022·高一单元测试）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A． B．C． D．，题型三：点、线共面问题7．（2022春·北京·高一101中学校考期末）空间四点共面而不共线，那么这四点中（

）A．必有三点共线 B．至多有三点共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线8．（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（

）．A． B．C． D．9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（

）A．、、、四点共面，且与平行B．、、、四点共面，且与相交C．、、、四点共面，且与平行D．、、、四点不共面题型四：证明点共线、线共点问题10．（2022·全国·高一假期作业）如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则（

）A．点必在直线上 B．点必在直线上C．点必在平面内 D．点必在平面内11．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：E，F，C1，四点共面；(2)求证：A1E，F，B交于一点.12．（2023春·全国·高一专题）如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．题型五：两直线位置关系的判定13．（2023·高一课时练习）下列命题其中是真命题的有（

）①两条异面直线的公垂线有无数条；②异面直线之间的距离就是两条异面直线上点之间距离的最小值；③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个14．（2023春·全国·高一专题练习）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．415．（2022·高一课时练习）设m、n、l是空间中三条不重合的直线﹐则下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若m、n共面，n与l共面，则m与l共面D．若m、n异面，n与l异面，则m与l异面题型六：直线与平面的位置关系16．（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（

）A．若则B．若则C．若则D．若则17．（2023·全国·高一专题练习）m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，其中正确的结论个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023·全国·高一专题练习）已知α是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数为（

）①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥n，则mn；③若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；④若m⊥α，n⊥α，lm，则lnA．0 B．1 C．2 D．3题型七：、平面与平面的位置关系19．（2023·全国·高一专题练习）已知两条不同的直线与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则21．（2022·新疆·高一克拉玛依市高级中学校考阶段练习）是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A．如果，m，n是异面直线，那么B．若，则C．若，则D．如果，m，n共面，那么题型八：点线面位置关系综合问题22．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.(1)证明：四边形是平行四边形.(2)，，，四点是否共面？为什么？23．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．24．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．【双基达标】单选题25．（2023·全国·高一专题练习）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交26．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．27．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的命题序号是（

）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④28．（2023·高一单元测试）下列命题正确的是（

）A．过两条直线有且只有一个平面B．过一点和一条直线有且只有一个平面C．过梯形两腰所在直线有且只有一个平面D．过三点有且只有一个平面29．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的个数为（

）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；④四边相等且四个角也相等的四边形是正方形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个30．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个31．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．32．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.(1)求异面直线BE和所成角的正切值.(2)求三棱锥的体积.【高分突破】一、单选题33．（2023·高一单元测试）以下四个图中，表示直线与平行的是（

）A．B．C．D．34．（2023·高一单元测试）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件35．（2023·高一单元测试）已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．36．（2023春·全国·高一专题练习）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．37．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④38．（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题39．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（

）A．点A B．点BC．点C D．点D40．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中，正确是（）A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行41．（2023春·全国·高一专题练习）已知直线l与平面相交于点P，则（

）A．内必有直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直C．内有无数条直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面42．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则43．（2022·高一单元测试）已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，且，则44．（2023·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（

）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若点既在平面内，又在平面内，则与相