第03讲 导数题型全归纳（十一大题型）（解析版）

专题03导数题型全归纳【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．知识点2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．知识点3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．知识点4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．知识点5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】题型一：构造函数解不等式问题【例1】（2024·江苏南京·高二期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设函数，可知的定义域为，求导得，因为当时，有恒成立，则，所以在上单调递减，且，可知，当时，；当时，；又因为是定义在上的奇函数，则，所以是偶函数，可得：当时，；当时，；所以不等式解集为；注意到不等式等价于，所以不等式解集为.故选：B.【变式1-1】（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，所以，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的减函数，因此由，故选：C【变式1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【答案】A【解析】因为，所以或，因为是奇函数，是偶函数，所以时，，时，，时，，时，；所以时，，时，，时，，时，，所以当时，解得或，所以当时，解得，综上可知，的解集为或或，故选：A.【变式1-3】（2024·四川成都·高二校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，，则导函数，函数在区间上，满足，则有，所以，即函数在区间上为增函数，，所以，则有，解得，即此不等式的解集为.故选：D题型二：单调性问题【例2】（2024·江苏·高二期末）已知函数.(1)若，求实数的值;(2)求函数的单调区间.【解析】（1），因为，所以.（2）函数的定义域为.，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【变式2-1】（2024·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)若，设函数，求的单调区间．【解析】（1）因为，则，因为在处的切线方程为，所以，，即，解得.（2）由（1）得，所以，令，解得或，因为，则，由可得，可得或；由可得，可得；因此的单调递减区间为，，单调递增区间为.【变式2-2】（2024·江苏连云港·高二校考期末）已知，它们的图象在处有相同的切线．(1)求与的解析式；(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．【解析】（1），由题意可得，代入可得，解得，所以；（2），则，因为在区间上存在单调递增，所以不等式在上有解，即在上有解，令，则即可，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，解得.【变式2-3】（2024·四川自贡·高二统考期末）已知函数．(1)若的单调递减区间为，求实数的值；(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得，因为的单调递减区间为，即的解集为，故是的两根，即，当时，，由，解得，等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，故.（2）函数在单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，此时，即在上恒成立，而，故,经验证当时,即，等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，故.题型三：极值问题【例3】（2024·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若在上存在极值，求的取值范围.【解析】（1）由题可知，，令，得.令，得.令，得.所以单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题可知，则.令，则.所以在上恒成立，所以在区间上单调递增.因为，在区间上有极值.所以，解得.【变式3-1】（2024·陕西西安·高二校考期末）若函数在处有极值，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因为，所以，又在处有极值，所以，所以，得，当时，，当或时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，函数在处有极小值，满足题意.故选：A.【变式3-2】（2024·安徽滁州·高二统考期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，，当时，恒成立，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以没有极小值点，只有极大值点，不合题意，当时，令，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，，当时，且当时，，①若，则存在，，使得，即，所以在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递增，所以当时，有两个极小值点，不合题意，当时，，即，在上，单调递减，在上，单调递增，所以有唯一极小值点，无极大值点，综上所述，当时，有唯一极小值点．故选：A【变式3-3】（2024·江西宜春·高二校考期末）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题在区间无解，即在区间无解，设，则，所以当时，，单调减，当时，，单调增，所以，显然当x趋于无穷大时，趋于无穷大，所以；又函数在区间有2个极值点，所以在区间有2两个不同解，即在区间有2两个不同解，设，则，所以当时，，单调减，当时，，单调增，所以，显然当x趋于无穷大和0时，都趋于无穷大，所以，所以实数的取值范围是，故选：B.【变式3-4】（2024·广西钦州·高二统考期末）已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．7【答案】A【解析】函数，则，因为在处取极值5，所以，解得：，经检验满足题意.故.故选：A题型四：最值问题【例4】（2024·湖北·高二期末）函数的最小值为.【答案】1【解析】，，设，，所以在R上单调递增，由，可得，当时，，单调递减；时，，单调递增．所以，故答案为：【变式4-1】（2024·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数，则函数的最大值为.【答案】【解析】函数定义域为，求导得，当时，，解得，因此函数，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.故答案为：【变式4-2】（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，令得，时，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，解得，故答案为：.【变式4-3】（2024·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）函数在区间上有最大值，则的取值范围是．【答案】【解析】，，令解得；令，解得或，由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，即，解得，故答案为：题型五：切线问题【例5】（2024·海南海口·高二海南中学校考期末）已知函数是曲线和的一条公切线．(1)求实数的值；(2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．【解析】（1）设直线与曲线的切点坐标为，，，又直线的斜率为，，且点同时在直线和曲线上，满足，联立以上两式可得，故直线的方程为，联立，可得，又直线与曲线相切，，解得．（2）由（1）得，，设切点为，则曲线在点的切线方程为，又切线过点，，即方程有两个不相等的实数根，且，，解得或或，所以实数的取值范围为或或．【变式5-1】（2024·安徽芜湖·高二校考期末）已知曲线．(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程．【解析】（1）因为，所以，设过点的切线与直线平行，则，解得，所以，所以切线方程为，即.（2）设切点为，则，所以，解得或，所以切点为或，当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；所以过点且与曲线相切的直线方程为或.【变式5-2】（2024·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【解析】（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．【变式5-3】（2024·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在点处的切线方程为，所以，且，所以，所以．故选：A.【变式5-4】（2024·湖北·高二期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减．由，所以，易得函数为在上单调递增函数，为零点，此时M的坐标为，由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.故选:【变式5-5】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（

）A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001【答案】A【解析】设函数，可得，则，，可得曲线在处的切线的方程为，由于与0之间的距离比较小，“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，可得.故选：A题型六：证明不等式【例6】（2024·湖北·高二期末）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：【解析】（1），当时，，，单调递增；，，单调递减．当时，当或，，单调递增；当，，单调递减，当时，，所以在R上单调递增．当时，当或，，单调递增；，，单调递减．（2），由可得，或，，单调递增；，，单调递减．又因为，，所以恒成立．【变式6-1】（2024·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．(1)求的最小值；(2)设，证明：【解析】（1）因为，，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.（2）因为，，所以由，得，即，令，，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，所以.【变式6-2】（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，.(1)若的极大值为1，求实数a的值；(2)若，求证：.【解析】（1）的定义域为，.当时，，在上单调递增，函数无极值；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，解得.经验证符合题意，故实数a的值为.（2）当时，，故要证，即证.令，则，.令，，则，所以在上单调递增，又因为，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，即，所以，所以，即，故得证.【变式6-3】（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.【解析】（1）函数的定义域为，.当时，，.所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由题可得，函数的定义域为，所以等价于，等价于.设函数，则.令，解得，所以在上单调递减；令，解得，所以在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.令，解得，所以在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减，从而在上的最大值为.所以恒成立.又因为与不在同一x处取到最值，所以恒成立，即得证.题型七：恒成立问题【例7】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，.(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；(2)若，求证：当时，；(3)若对任意恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，.所以，.所以函数的图像在点处的切线方程为，即（2）证明：当时，，，即证.令，则，所以在上单调递增，所以，即.（3）由，令.首先由，此时，令.因为所以，所以恒成立，即.所以在递增，故.综上：的取值范围.【变式7-1】（2024·江苏常州·高二统考期末）已知函数，，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对于区间上的任意两个实数，，都有，求实数的最小值.【解析】（1）由已知可得，.又，所以，解得，所以，，，.根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率，代入点斜式方程可得，，所以，切线方程为.（2）由（1）知，，解，可得.解，可得或，所以在上单调递增，在上单调递增；解，可得，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，在处取得极小值.又，，所以，在区间上最大值为，最小值为，所以，，恒成立.又恒成立，所以，实数的最小值为4.【变式7-2】（2024·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）因为函数，定义域为，且，由函数在处取得极值，可得，所以，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值，综上所述，.（2）函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，当时，，所以在单调递减，则，所以，则实数a的取值范围为.【变式7-3】（2024·江西宜春·统考一模）已知函数．(1)当时，求函数图象在点处的切线方程；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】（1）当时，，∴所求的切线方程为，即．（2）①当，即时，在上单调递增．②当，即时，或时，;时，，在上单调递增，在上单调递减；③当，即时，或时，；时，在上单调递增，在上单调递减（3）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设．由知成立，令，则函数在上单调递增，，即在上恒成立．，故存在这样的实数a满足题意，其范围为．题型八：能成立问题【例8】（2024·黑龙江双鸭山·高二校考期末）已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在且，使成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意得，令得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；综上，单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意存在且，不妨设，由（1）知时，单调递减．等价于，即，即存在且，使成立．令，则在上存在减区间．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，时，，在上单调递增，时，，在单调递减，∴，∴．【变式8-1】（2024·辽宁·高二校联考期末）已知函数满足，且，函数．(1)求的图象在处的切线方程；(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围．【解析】（1）令得，即．因为，所以，故在处的切线方程为．（2）由题意知：分别在、上，由，得．令，则．因为，所以，则在上单调递增．，即．所以在上单调递减，．图象的对称轴方程是．当时，，解得．当时，，无解．综上，的取值范围为．【变式8-2】（2024·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，使得，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，所以，易知在上单调递减，故，所以.（2）因为，使得，所以能成立，则能成立，又，故能成立，令，则，，令，则恒成立，所以在上单调递减，注意到，所以当时，，则在单调递增；当时，，则在单调递减；所以，故，即实数a的取值范围为.【变式8-3】（2024·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以曲线在处的切线的斜率，又，切线方程为.与轴的交点分别是，切线与坐标轴围成的三角形的面积·（2）存在，使即，即.即存在，使成立.令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可·下面求函数在区间的最小值.，令，因为，所以为上的增函数，且.在恒成立·在递调递增，函数在区间的最小值为，，得.题型九：零点问题与方程的根问题【例9】（2024·广西南宁·高二统考期末）已知函数．(1)求的导函数；(2)若在上有零点，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以（2）由（1）知，因为，所以，所以，从而在上单调递增，所以，．因为在上有零点，所以，解得．【变式9-1】（2024·山东菏泽·高二统考期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.【解析】（1）由，而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：；（2）函数的定义域为，由（1）可知：，当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点；当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点，所以函数f（x）有个零点.【变式9-2】（2024·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2.（1）求的值及的极小值；（2）讨论方程的实数解的个数.【解析】（1），因为在处切线的斜率为-2，所以，则.，令，解得或，当x变化时，，变化情况如下：x-2100单调递增单调递减单调递增故的极小值为.（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.当或时，方程有1个实数解；当或时，方程有2个实数解当时，方程有3个实数解.【变式9-3】（2024·天津和平·高二天津一中校考期中）已知函数(1)若，求的增区间；(2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；(3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【解析】（1）的定义域是，时，，令，得，∴函数的增区间是.（2），由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，∴，即，而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），又，∴的取值范围是．（3）时，，则即为，令，则，当时，，递减；当时，，递增.∴，又，，，∴，即实数的取值范围是．题型十：双变量问题问题【例10】（2024·上海浦东新·高二校考期末）已知，函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若有零点，求实数的取值范围；(3)若有两个相异零点，，求证：.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，则切线方程为，即切线方程为.（2）①若时，则，是区间上的增函数，因为，，所以，则函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于有零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是.综上，所求实数的取值范围是.（3）要证，两边同时取自然对数得.由得，得.所以原命题等价于证明.不妨取，故只需证，即.令，则，设（），只需证.而，故在单调递增，所以.综上得.【变式10-1】（2024·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数．(1)讨论在区间上的单调性；(2)当时，若存在满足，证明．【解析】（1）当，在单调递减；当时，，①当时，，，，；②当时，在恒成立；③当时，，，，；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．（2）由，得，即，由（1）可知，当时，，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减，又当，，当时，，故，即．欲证，即证．设，，则，即在单调递减，又，所以，即，又，所以，又因为在单调递增，，，所以，即得证．【变式10-2】（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由，若，则恒成立，即在上单调递增，若，令得，即在上单调递增，令得，即在上单调递减，综上所述当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在上单调递增，当趋近于时，趋近于，不符合题意，故，则，所以，令，显然当时，，时，，故在时单调递减，在上单调递增，即，所以，即【变式10-3】（2024·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．【解析】（1）当时，，，所以，，故曲线在点处的切线方程为．（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，从而得到，即，又，故，且令，则，，所以在上单调递减，所以，即的值域为，所以的范围是.题型十一：极值点偏移问题【例11】（2024·河北张家口·高二统考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程的两个解为、，求证：.【解析】（1）函数的定义域为，且，令可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.（2）设，其中，则，令，可得，此时，函数在上单调递减，令，可得，此时，函数在上单调递增，所以，是函数的极小值点，因为函数有两个零点、，设，则，即且，要证，即证，因为函数在上单调递增，所以，只需证明：，即证，令，其中，则，因为，则，所以，，故