第07讲 向量运算（十二大题型）（解析版）

第07讲向量运算【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1、向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2、向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．知识点诠释：两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1、向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2、向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：知识点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，同向，则；（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．知识点四：向量的减法1、向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．知识点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2、向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．知识点五：数乘向量1、向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）；（2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，．2、向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3、向量数乘的运算律设为实数结合律：；分配律：，知识点六：向量共线的条件1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．知识点七：平面向量的数量积1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．知识点诠释：1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．知识点八：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．知识点九：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．1、2、3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或4、5、知识点十：向量数量积的运算律1、交换律：2、数乘结合律：3、分配律：知识点诠释：1、已知实数、、（），则．但是；2、在实数中，有，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．【典型例题】题型一：向量加法法则【例1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在中，设对角线，，试用、表示、．

【解析】在中，，，由向量加法与减法法则可得，解得，，故，.【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，则，再作，则，即.解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，如下图所示，在平面内任取一点O，作，，以，为邻边作平行四边形，则对角线，再作，以，为邻边作平行四边形，则.【变式1-2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．(1)

(2)

【解析】（1）作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.（2）作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.题型二：向量加法运算律的应用【例2】（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【变式2-1】（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【解析】（1）（2）【变式2-2】（2024·全国·高一假期作业）化简

【解析】题型三：向量加法的实际应用【例3】（2024·全国·高一课堂例题）设是等边三角形的中心，求．【解析】设．如图所示：将等边三角形绕点逆时针旋转120°，使顶点A，B，C分别转到点B，C，A的位置，则跟着旋转120°，变成了．由向量加法的交换律可知，向量旋转120°之后仍是其自身．由于只有才有可能使旋转120°后仍是，于是．【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解析】证明：由题知，，因此．所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．【变式3-2】（2024·高一课时练习）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若为单位向量，求、和．【解析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；由共线向量的加法运算可知；利用图示的向量和勾股定理可知，.【变式3-3】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作出下列向量并分别求出其长度.(1)；(2)【解析】（1），又，∴延长AC到E，使|,则,且，所以（2）作，连接CF，则，而，所以，且，所以.题型四：向量的减法运算【例4】（2024·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出【解析】作法：作向量，向量，则向量,如图所示，作向量，则【变式4-1】（2024·高一课时练习）如图，已知向量，，，求作向量．【解析】由向量减法的三角形法则，令,则,令,所以.如下图中即为.题型五：向量减法法则的应用【例5】（2024·高一课前预习）化简下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【解析】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）【变式5-1】（2024·全国·高一专题练习）化简：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.【变式5-2】（2024·高一课前预习）化简：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.题型六：向量的线性运算【例6】（2024·全国·高三专题练习）计算：(1)；(2).【解析】（1）原式=.（2）原式=.【变式6-1】（2024·全国·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）（2）（3）（4）【变式6-2】（2024·湖南·高一课时练习）已知，，求，与．【解析】因为，，则，，.题型七：用已知向量表示其他向量【例7】（2024·全国·高一课前预习）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量．【解析】因为，所以，所以，又因为，所以.【变式7-1】（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在中，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A.【变式7-2】（2024·海南·高一校考期末）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，则，因为，且，则有.故选：D.【变式7-3】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，在正六边形ABCDEF中，（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的加法法则，得.故选：A.【变式7-4】（2024·新疆阿克苏·高一校联考期末）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：B．题型八：向量共线的判定及应用【例8】（2024·全国·高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．(1)，；(2)，；(3)，．【解析】（1），则有，即共线；（2），则有，即共线；（3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使，即，所以，所以共线，这与已知条件不共线矛盾，不共线.【变式8-1】（2024·高一课时练习）在平行四边形中，是的中点，在对角线上，且，求证：共线【解析】证明：设则所以故共线.【变式8-2】（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）已知两个非零向量，不共线．(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；(2)若与共线，求实数k的值．【解析】（1）证明：根据条件可知，，所以，共线，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．（2）因为与共线，所以存在，使得，所以，解得或，即．【变式8-3】（2024·高一课时练习）设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？【解析】∵要使与共线，则存在实数k使，即：.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使与共线．题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）【例9】（2024·湖南·长郡中学高一期末）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.【解析】（1）证明：因为是直线上的动点，所以不妨设（为实数），则，，令，，则有，并且,所以存在实数，，使得，并且.（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以，，，根据（1）的结论得，在中，，，，为实数.在中，，，，为实数.所以，，解得，所以，即，，A、G、D三点共线，所以AD、BE、CF交于一点.【变式9-1】（2024·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【解析】（1）如图所示，因为G为重心，所以，所以，因为M，G，N三点共线，所以，即．（2）由题意可知，且，所以当且仅当，即时取等号，又∵，∴，时，取得最小值为．题型十：求两向量的数量积【例10】（2024·全国·高一假期作业）已知向量与的夹角为，且，求：(1)；(2)．【解析】（1）由已知得（2）．【变式10-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）因为，，所以.（2）因为，，与的夹角为，所以，所以.【变式10-2】（2024·全国·高一专题练习）已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求(1)；(2).【解析】（1）向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，，，，，，，；（2）【变式10-3】（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

(1)求的值；(2)若，且，求的值．【解析】（1）在平行四边形中，，，，所以，因为点是线段的中点，所以，则，故的值为.（2）由（1）知：，，则，，又因为，则，即，即，解得：，故的值为.题型十一：向量的模和夹角的计算问题【例11】（2024·河南鹤壁·高一统考期末）已知，，.(1)求；(2)求向量与的夹角的余弦值.【解析】（1）已知，，，，；（2）设向量与的夹角的夹角为，则，向量与的夹角的余弦值为.【变式11-1】（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

(1)求、的长；(2)求的余弦值.【解析】（1）因为的中点，则，所以，，所以，，所以，，因为为的中点，所以，，则，故.（2）因为，所以，.【变式11-2】（2024·云南昆明·高一校考期末）设向量，满足及.(1)求，夹角的大小；(2)求的值.【解析】（1）∵，，∴，即，可得，解之得设，夹角等于，则，∵，∴，即，夹角的大小为；（2）∵，，，∴【变式11-3】（2024·河北邢台·高一统考期末）已知是两个单位向量，且与的夹角为．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值【解析】（1），，.（2），.题型十二：与垂直有关的问题【例12】（2024·陕西西安·高一期末）已知向量满足，且的夹角为.(1)求的模；(2)若与互相垂直，求λ的值.【解析】（1）因为向量满足，且的夹角为，所以，解得；（2）因为与互相垂直，所以，，即，解得或.【变式12-1】（2024·全国·高一课堂例题）已知，是夹角为的两个单位向量，，．求证：．【解析】解依题意，得，．因为，所以．【变式12-2】（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.

【解析】因为，所以，即，因此①，又因为，所以，即，因此②，由①―②可得，因此，从而，故，即.【变式12-3】（2024·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知向量的夹角为，且，，．(1)求；(2)当时，求的值．【解析】（1）由，

得．（2）由题设得，

则，

解得．【过关测试】一、单选题1．（2024·辽宁朝阳·高一统考期末）已知向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量满足，则，当且仅当同向时取等号；，当且仅当反向时取等号，所以的取值范围是.故选：B2．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故选：D3．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【解析】记，则，，，．故选：A.4．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量与的夹角为120°，∴.故选：D5．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B6．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，且与的夹角为，则（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】C【解析】因为，所以，故选：C.7．（2024·山西·高一统考阶段练习）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由已知可得，，.因为A，C，D三点共线，所以共线，则，使得，即，整理可得.因为，不共线，所以有，解得.故选：D.8．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，与交于点，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为，则为的中点，可得，注意到三点共线，可得，又因为三点共线，则∥，则存在实数，使得，即，则，可得，综上所述：，解得，可得.故选：B.二、多选题9．（2024·陕西西安·高一期末）下列命题正确的的有（

）A．B．C．若，则共线D．，则共线【答案】ABC【解析】对于A，，故正确；对于B，，故正确；对于C，因为，所以，所以共线，故正确；对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.故选：ABC.10．（2024·辽宁朝阳·高一统考期末）下列等式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由向量加法运算律知，ABD选项正确;，所以选项C错误.故选：ABD.11．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由可得，则，所以，可得A错误；易知，所以可得，即B正确；易知，可得C错误；由，即D正确；故选：BD12．（2024·河北保定·高一校联考期末）已知向量满足，则有关的最值下列结论正确的是（

）A．最小值为2 B．最小值为4C．最大值为4 D．最大值为【答案】BD【解析】解析：法一：由向量三角不等式得，.当且仅当共线反向时等号成立.又,当且仅当时即时等号成立，的最小值为4，最大值为.法二：设的夹角为.令，则..即的最小值为4，最大值为.故选：BD.三、填空题13．（2024·全国·高一专题练习）若，则．【答案】【解析】因为，所以