高中数学选择性课时评价1-2-2直线的两点式方程

三直线的两点式方程(15分钟30分)1．经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是()A．eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1 B．eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1C．eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1 D．eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1【解析】选D.依题意可设eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1，把(0，－2)代入方程可得a＝4.所以直线方程为eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1.2．若直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，则该直线的方程为()A．y＝eq\f(\r(3),3)x－4B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋4C．y＝eq\r(3)x－6D．y＝eq\f(\r(3),3)x＋2【解析】选A.方法一：因为直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，所以直线的方程为eq\f(y－（－4）,－3－（－4）)＝eq\f(x－0,\r(3)－0)，整理得y＝eq\f(\r(3),3)x－4；方法二：因为直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，所以直线的斜率为k＝eq\f(\r(3),3)，所以直线的方程为y＋4＝eq\f(\r(3),3)x，整理得y＝eq\f(\r(3),3)x－4.3．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________.【解析】直线方程可化为eq\f(x,3)＋eq\f(y,－\f(3m,2))＝1，所以－eq\f(3m,2)×4＝3，解得m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．若三点A(1，1)，B(a，0)，C(0，2)共线，则a＝________.【解析】由题意得过点A，C的直线方程为eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,0－1)，整理得x＋y－2＝0.又点B(a，0)在直线上，所以a－2＝0，解得a＝2.答案：25．求经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．【解析】设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab))＝1，,\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))故所求的直线方程为：eq\f(x,2)＋y＝1或－x－eq\f(y,2)＝1.(25分钟50分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为()A．y＝3x－2 B．y＝eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)C．y＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3) D．y＝3x－4【解析】选C.由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0).因此所求直线方程为eq\f(y＋1,0＋1)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即y＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3).2．直线eq\f(x,m)－eq\f(y,n)＝1与eq\f(x,n)－eq\f(y,m)＝1在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选B.两直线的方程分别化为斜截式：y＝eq\f(n,m)x－n，y＝eq\f(m,n)x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．3．直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为()A．6B．7C．8D．16【解析】选B.因为a>0，b>0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)ab，于是eq\f(1,2)ab≥10⇒ab≥20，若a＝1时，没有这样的b满足条件；若a＝3时，b＝8；若a＝5时，b∈{4，6，8}；若a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.4．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0【解析】选A.点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得eq\f(y－2,4－2)＝eq\f(x－3,2－3)，即2x＋y－8＝0.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列说法正确的是()A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0【解析】选AB.A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.6．下列说法正确的是()A．截距相等的直线都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0【解析】选BD.若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，所以A不正确；当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C不正确；设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).则l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1.答案：eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝18．过点P(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条，方程为__________.【解析】①当截距不为0，且截距相等时，设直线的截距为a，则直线方程为：eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，将点P坐标代入直线方程解得a＝2，所以直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1；②当截距不为0，且截距互为相反数时，设直线的横截距为a，则纵截距为－a，则直线方程为：eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，将点P坐标代入直线方程，解得：a＝4，所以直线方程为：eq\f(x,4)－eq\f(y,4)＝1；③当截距为0时，设直线方程为：y＝kx，代入点P，可得：k＝－eq\f(1,3)，直线方程为：x＋3y＝0，故直线有3条．答案：3x＋3y＝0，eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，eq\f(x,4)－eq\f(y,4)＝1四、解答题9．(10分)已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8).(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．【解析】(1)由已知得直线l的两点式方程为eq\f(y－6,－8－6)＝eq\f(x－1,8－1)，所以eq\f(y－6,－14)＝eq\f(x－1,7)，即eq\f(y－6,－2)＝x－