第11讲 曲线与方程-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（沪教版2020选修第一册）（原卷版）

第11讲曲线与方程【学习目标】了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线“的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.【基础知识】一．曲线与方程【曲线与方程】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【例题解析】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．【考点点评】这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．二．圆锥曲线的共同特征【知识点的知识】圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．三．直线与圆锥曲线的综合【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c＝1，∵，∴a＝2，∴，所求方程为．（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，从而，，设P（t，0），则＝当，解得此时对∀k∈R，；当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，xA＝xB＝1，，对，，即存在x轴上的点，使的值为常数．这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．【考点分析】必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．四．圆锥曲线的综合【知识点的知识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2ca2+b2＝c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝1±＝1五．圆与圆锥曲线的综合【知识点的知识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2ca2+b2＝c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝1±＝1六．圆锥曲线的轨迹问题【知识点的知识】1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．【考点剖析】一．曲线与方程（共8小题）1．（2022秋•奉贤区校级期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称|PQ|的最小值为曲线S与曲线T的距离．已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（）A． B． C． D．22．（2022•宝山区校级开学）在平面直角坐标系中，已知曲线C：＝1（0≤x≤2），那么曲线C关于直线y＝x对称的曲线图像是（）A． B． C． D．3．（2022春•浦东新区校级期末）下列关于曲线的结论正确的是（）A．曲线Γ是椭圆 B．y的取值范围是[﹣3，3] C．关于直线y＝x对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于64．（2022春•黄浦区校级期中）若曲线C的方程是F（x，y）＝0，则曲线C关于y轴对称的曲线方程是（）A．F（﹣x，y）＝0 B．F（x，﹣y）＝0 C．F（﹣x，﹣y）＝0 D．F（y，x）＝05．（2022春•浦东新区校级期中）下列关于曲线的结论正确的是（）A．曲线Γ是椭圆 B．关于直线y＝x成轴对称 C．关于原点成中心对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于46．（2022秋•宝山区校级期中）关于曲线C：，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y＝0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；其中所有正确结论的序号为．7．（2022秋•浦东新区校级月考）已知曲线C的方程为x2+y2﹣xy＝1，则下列说法正确的是．（填写序号）①曲线C关于原点中心对称；②曲线C关于直线y＝﹣x对称；③若动点P、Q都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为3；④曲线C的面积小于3．8．（2022春•虹口区校级月考）在直角坐标平面内，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|＝4所围图形的面积为．二．圆锥曲线的共同特征（共1小题）9．（2022春•徐汇区校级期末）已知曲线C：，下列叙述中错误的是（）A．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点 B．直线y＝kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 C．曲线C关于直线y＝﹣x对称 D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有三．直线与圆锥曲线的综合（共7小题）10．（2022春•黄浦区校级期末）直线y＝2x﹣1与椭圆的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定11．（2022秋•宝山区月考）已知A、B是由直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形中相邻的两个顶点，点P是椭圆上的任意点，且存在实数m，n满足，则m+n的取值范围是．12．（2022春•虹口区校级期末）直线y＝x+1与曲线的交点个数是．13．（2022春•杨浦区校级期中）若直线l：y＝kx+1与曲线C：x2+y|y|＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是．14．（2022春•黄浦区校级期中）已知椭圆上存在两点M、N关于直线y＝﹣x+t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为．15．（2022春•崇明区校级期中）斜率为2的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若弦长|AB|＝，则|y1﹣y2|＝．16．（2022秋•松江区校级月考）如图，已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线F：y＝x2的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线F在点A、B处的切线相交于P（x0，y0）．（1）写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求证：x1、x0、x2成等差数列，y1、y0、y2成等比数列；（3）若A、F、B三点共线，求出动点P的轨迹方程及△PAB面积的最小值．四．圆锥曲线的综合（共3小题）17．（2022•闵行区校级模拟）已知双曲线x2﹣y2＝1的右焦点和抛物线y2＝2px的焦点重合，则p＝．18．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左、右焦点，也是C2的左、右焦点，并且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＝1，则双曲线C2的方程为．19．（2022秋•上海月考）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为．五．圆与圆锥曲线的综合（共1小题）20．（2021秋•静安区期末）已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A（，0），两条渐近线与以A为圆心，1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是．六．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）21．（2022秋•奉贤区校级月考）我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点F1，F2的距离和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．（1）试求平面内到两个定点F1，F2的距离之商为定值a（a＞0且a≠1）的点的轨迹；提示：取线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0）其中|F1F2|＝2c．（2）若△ABC中，满足AB＝4，AC＝BC，求三角形ABC的面积的最大值．【过关检测】一、单选题1．（2022·上海·高二专题练习）已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（

）.A．曲线C上的点的坐标都是方程的解；B．坐标不满足方程的点不在曲线上；C．曲线C是方程的曲线；D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程.2．（2022·上海市宝山中学高二期中）设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（

）A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线3．（2022·上海·高二专题练习）定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C：，那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是（

）A．双曲线一支 B．一个椭圆C．一条线段 D．一条射线4．（2022·上海·高二专题练习）平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是(

)A．与 B．与C．与 D．与5．（2022·上海·高二专题练习）参数方程（为参数）所表示的曲线是（

）A．圆 B．直线C．线段 D．射线6．（2020·上海·位育中学高二期中）已知点与坐标满足，且与在同一直线上运动，则所有满足条件的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或7．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）下列各对方程中，表示相同曲线的一组是（

）.A．与 B．与C．与 D．与8．（2022·上海市建平中学高二期中）曲线C是平面内与两个定点和距离之积等于4的点的轨迹，已知O为坐标原点，点P为曲线C上的动点，关于曲线C有以下3个结论；①曲线C是封闭曲线且不过原点；②曲线C关于x轴对称，且关于y轴对称；③曲线C上的动点P（x，y）的坐标满足，.则所有正确的结论为（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题9．（2022·上海·高二专题练习）极坐标方程化为直角坐标方程是_____．10．（2022·上海·高二专题练习）已知点A的极坐标为，则它的直角坐标为__________________.11．（2022·上海·高二专题练习）已知点在曲线上运动，点为，则中点的轨迹方程是_____________.12．（2021·上海市控江中学