（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题4 三角函数、解三角形 第31练 正弦定理、余弦定理 文（含解析）-人教版高三数学试题

第31练正弦定理、余弦定理[基础保分练]1.在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(2)，A＝45°，则B＝________.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2－ab，则C＝________.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，B＝60°，a＝4，其面积S＝20eq\r(3)，则c＝________.4.(2018·扬州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝2，S△ABC＝3eq\r(3)，则eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)＝________.5.(2018·淮安调研)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为________.6.在△ABC中，已知tanA＝eq\f(1,2)，cosB＝eq\f(3\r(10),10)，若△ABC最长边的边长为eq\r(10)，则最短边的长为________.7.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是________________.8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝eq\r(3)bcosA，则△ABC面积的最大值是________.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，则角A的值为________.10.锐角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面积为3eq\r(3)，则BC＝________.[能力提升练]1.在锐角△ABC中，A＝2B，则eq\f(AB,AC)的取值范围是________.2.若△ABC的内角满足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.3.若满足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是________.4.在锐角三角形ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，则B的取值范围是________.5.如图，一座建筑物AB的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m.6.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2))).若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.答案精析基础保分练1.30°2.120°3.204.eq\f(4\r(21),3)解析由三角形面积公式可得eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(3)，即eq\f(1,2)×2×c×sineq\f(π,3)＝3eq\r(3)，解得c＝6，结合余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋62－2×2×6×coseq\f(π,3)＝28，则a＝2eq\r(7).由正弦定理有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝eq\f(2\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(21),3)，结合合分比定理可得eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)＝eq\f(4\r(21),3).5.56.eq\r(2)解析由tanA＝eq\f(1,2)>0，得cosA＝eq\f(2,\r(5))，sinA＝eq\f(1,\r(5)).由cosB＝eq\f(3\r(10),10)>0，得sinB＝eq\f(1,\r(10)).于是cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(1,\r(2))<0，即C为最大角，故有c＝eq\r(10)，最短边为b，又sinC＝eq\f(\r(2),2)，于是由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，求得b＝eq\r(2).7.等腰直角三角形8.4eq\r(3)解析由题意可知asinB＝eq\r(3)bcosA，由正弦定理得sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA，又由在△ABC中，sinB>0，即sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝4，即16＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c时，等号成立，即bc≤16，所以△ABC的最大面积为S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×16sineq\f(π,3)＝4eq\r(3).9.eq\f(π,3)10.eq\r(13)能力提升练1.(1,2)2.eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋eq\r(2)b＝2c.故cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))2,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2－\f(\r(2),2)ab,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2,2ab)－eq\f(\r(2),4)≥eq\f(2\r(\f(3,4)a2·\f(1,2)b2),2ab)－eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，当且仅当3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))时等号成立.3.(0,12]∪{8eq\r(3)}解析由正弦定理得，eq\f(12,sin\f(π,3))＝eq\f(k,sinA)，即k＝8eq\r(3)sinA，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，因为满足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，所以A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))和A＝eq\f(π,2)，故有k∈(0,12]∪{8eq\r(3)}.4.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析在锐角△ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，根据正弦定理可得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即eq\f(sin2B,cos2B)＝eq\f(sinAsinC,cosAcosC)，即tan2B＝tanAtanC，所以tanA，tanB，tanC构成等比数列，设公比为q，则tanA＝eq\f(tanB,q)，tanC＝qtanB，又由tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\f(tanB\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,q))),1－tan2B)，所以tan2B＝1＋q＋eq