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文档简介

微分方程专题训练题1.求解下列微分方程：a.$y'+2y=0$解答：给定微分方程$y'+2y=0$，将其转化为分离变量的形式，得到：$$\frac{dy}{dx}=-2y$$分离变量：$$\frac{1}{y}dy=-2dx$$对上式两边同时积分：$$\int\frac{1}{y}dy=\int-2dx$$$$\ln|y|=-2x+C$$其中$C$为常数。解得：$$|y|=e^{-2x+C}$$$$y=\pme^{-2x+C}$$b.$y''-2y'+y=0$解答：给定微分方程$y''-2y'+y=0$，设其特征方程为$r^2-2r+1=0$。解特征方程得到重根$r=1$。所以通解形式为$y=c_1e^x+c_2xe^x$。2.求解下列常微分方程的特解：a.$y'-3y=x$解答：给定常微分方程$y'-3y=x$，首先求其对应的齐次方程$y'-3y=0$的通解。齐次方程的解为$y=ce^{3x}$，其中$c$为常数。对于特解，我们可以猜测形式为$y_p=ax+b$，带入原方程得到：$$a-3(ax+b)=x$$整理得到：$$-3ax+(a-3b)=x$$由此可得$a=-\frac{1}{3}$，$b=-\frac{1}{9}$。所以原方程的特解为$y_p=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}$。综合齐次方程的通解和特解，得到原方程的通解为$y=ce^{3x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}$。b.$y''+4y'+4y=2e^{-2x}$解答：给定常微分方程$y''+4y'+4y=2e^{-2x}$，首先求其对应的齐次方程$y''+4y'+4y=0$的通解。齐次方程的特征方程为$r^2+4r+4=0$，解得重根$r=-2$。所以齐次方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{-2x}$。对于特解，我们可以猜测形式为$y_p=ae^{-2x}$，带入原方程得到：$$4ae^{-2x}-8ae^{-2x}+4ae^{-2x}=2e^{-2x}$$整理得到$a=\frac{1}{2}$。所以原方程的特解为$y_p=\frac{1}{2}e^{-2x}$。综合齐次方程的通解和特解，得到原方程的通解为$y=(c_1+

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