第5课（B培优）数列的综合（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第18课：数列的综合教学目标掌握数列与其他章节知识点的综合运用重点数列与其他章节知识点的灵活运用难点数列与其他章节知识点的灵活运用（一）等差与等比数列的综合知识梳理一、等差数列、等比数列①等差数列通项公式：等差数列求和公式：；②等比数列通项公式：等比数列求和公式：例题精讲【例1】已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.【例2】已知数列满足奇数项成等差，公差为d，偶数项成等比，公比为q，且数列的前n项和为，，．，．若，则正整数______．巩固训练1、已知在等差数列中，，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则（）A． B． C． D．2、已知等差数列和等比数列满足，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.（二）数列与不等式例题精讲【例3】已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（）A．2008 B．2014 C．2021 D．2022【例4】数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.【例5】若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；巩固训练1、已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）.A． B．C． D．2、已知等比数列的公比，且，，等差数列的前项和为，且有，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（三）数列与函数例题精讲【例6】已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；（2）若数列满足，求通项公式；（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.【例7】设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式__________________．【例8】定义在R上的函数满足，，数列满足，的前n项和为，则=_________．【例9】若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的条件下，定义数列（），求的值；巩固训练1、已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则______．2、记函数的所有零点之和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．有最大值，没有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最小值0D．有最小值，没有最大值3、已知函数满足，当时，．（1）当时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；（2）当时，求函数的最大值；（四）数列与三角例题精讲【例10】已知函数，当时，把函数的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1<x2<x3<……<xn，记数列的前n项和为，则___________.【例11】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.巩固训练1、已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是A． B．1011 C．1008 D．3362、已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．（五）数列与向量例题精讲【例12】已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量，则的最大值是__________【例13】已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.【例14】在平面直角坐标系中，已知向量（1）判断的形状，并说明理由；（2）求数列的通项公式；（3）若的面积为，求．巩固训练1、已知，是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（）A．单调递增数列且 B．单调递减数列且C．单调递增数列且 D．单调递减数列且2、平面直角坐标系中，已知是直线上的个点（，均为非零常数）.（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；（2）若点是直线上的一点，且，求的值；（3）若点满足，我们称是向量的线性组合，是该线性组合的系数数列.证明：是向量的线性组合，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.3、已知非零向量列满足：，，（，）.（1）证明：数列是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设，将中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，令，为坐标原点，求点的坐标.实战演练实战演练一、填空题1、已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．2、在中，，，分别为、、的对边，如果，，成等差数列，，的面积为0.5，那么为．3、已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则______.4、已知等差数列满足，函数，，则数列的前项和为______．5、正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．6、如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则________.二、选择题7、下列命题中正确的是（）A．对给定的数列，其通项公式有且只有一个B．在等差数列中，若，则C．若存在非零常数，使对任意，都有，则数列为等比数列D．若，其中、为常数，则数列是公差为的等差数列8、若等比数列的前项和，则A． B． C． D．无法确定9、已知函数是定义在上的单调递减函数，且为奇函数，数列是等差数列，，则的值A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负10、已知共有项的数列，，定义向量，，若，则满足条件的数列的个数有（）个．A．2 B．k C． D．三、解答题11、已知正数数列中，，向量，.（1）求