2023年高考数学一轮复习习题：第三章函数与导数热点问题

教材•高考•审题答题

函数与导数热点问题

，三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

利用导数研究函数的2020•全国Il,21;2019•全国川，20;2018•全

数学运算、逻辑推理

性质国I,21;2018•全国Il,21

利用导数研究函数的2020•全国I,20;2020•全国川,20(2);

数学运算、直观想象

零点2019•全国Il,20

导数在不等式中的应2020•山东，21：2020•天津，20;2019•全国

数学运算、逻辑推理

用I,20:2018•全国III,21

r教材链接高考

导数在不等式中的应用

教材探究

(选修1-1P99习题3.3B组(3)(4))

利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.

(3)ev>l+x(x≠0);

(4)lnΛ<x<e'(x>O).

【试题评析】

1.问题源于求曲线y=e，在(O,1)处的切线及曲线y=lnX在(1,0)处的切线，通过观察函数

图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数兀c)=ex-χ-l与g(x)=χ-lnχ-∖对以上

结论进行证明.

2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“Inx”替换“x”,

立刻得到Λ>l+lnΛ∙(Λ>O且x#1),进而得到一组重要的不等式链：eA>x+l>x-l>lnX(X>0且

x≠l).

3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.

【教材拓展】已知函数危)=x—Inx-

(1)求7(x)的最大值；

(2)试证明1+x3+523χ-./(x).

⑴解HX)=LInx—此，

定义域为(O,+∞),

.IeX(X-1)

则rlf(x)=1-------------p------

由ex^x+∖>x,

利用不等式ex≥^∙÷l

进行放缩•从而判断

出ʃ-eɪ的正负.

得y(x)在(0,1］上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以火X)max=√U)=1—e.

⑵证明要证1+J?+£23X—/(x),

即证/一2x+l∙Inx,

考虑到心>0时，x—12InX(当且仅当X=I时，取等号).

33

欲证X—2x÷I≥lnx9只需证X—2x+I≥χ-1.

也就是证明X3—3x+220.(*)

利用Z—l≥lnJr(Jr>0)

进行放缩，将问题转化

为较为初等的函数问题.

设φ(x)=xi—3x+2(x>0),则/(x)=3x2-3,

令9'(X)=O,得X=L

当XG(0,1)时，d(x)<O;当x∈(l,+8)时，d(X)>0.

.∙.当X=I时，p(x)取到最小值¢(1)=0.

故(*)式成立，从而l+χ3+5>3χ->(x)成立.

探究提高1.本题涉及X,e。Inx组合型函数问题，求解的关键在于通过等价变形或合理拆

分，得到熟悉的基本初等函数，然后利用函数的图象和性质求解.

2.联想教材习题结论，在(1)中，利用e、2x+l>x,在⑵中活用》一12InX进行合理的放缩，

这样大大减少运算量，降低思维难度.

【链接高考】(2017•全国川卷改编)已知函数於)=χ-l-Hnx.

(1)若y(x)∙O,求α的值；

(2)证明：对于任意正整数〃,

(1)解yu)的定义域为(0,+∞),

①若“<0,因为TQ)=­/+αln2<0,所以不满足题意.

②若a>0,由f(x)=1-2=L7”知，

当x∈(0,”)时，F(X)V0；当x∈(α,+8)时，f(χ)X);

所以y(x)在(O,α)单调递减，在3，+8)单调递增，

故X=〃是火x)在(0,+8)的唯一最小值点.

因为大1)=0,所以当且仅当α=l时，y(x)20,故α=l.

⑵证明由(1)知当Xe(1,+8)时，χ-l-lnx>0.

令x=l+£,得In(I+/)<9.

从而In(I+：)+In(I+g∙∣-----Hn(I+£)«+*H------F^=l-^<1.

+ς

故U+1X12)",0+⅛)<e∙

件教你如何审题---------------------

利用导数研究函数的性质

【例题】(2020•全国Il卷)已知函数。x)=21nx+l.

(1)若兀v)W2x+c,求实数C的取值范围;

⑵设4>0,讨论函数gd把三@的单调性.

审题路线

恒成立构造函数Mx)分析求"O),判断"U)符求Mx)

求参数卜寸⑴4工-/突破卜号.判断单调性√∣最大值

变形,求g'(*)

研究

判断I-£+Ing的符号单

gM调

Ig(T)C()卜性

单调联想(1)问结论.得

性

X≠1时，力(%)=lr+lnΛ<O

I自主解答］

解设〃(X)=y(x)—Ix—c,贝(X)=21nx—2x+l—c,

2

其定义域为(0,+°o),h,(x)=--2.

(1)当0<x<l时，A,(Λ)>O;当x>l时，Λ,(x)<O.

所以/Z(X)在区间(0,I)单调递增，在区间(1,+8)单调递减.

从而当X=I时，∕J(X)取得最大值，最大值为∕?(I)=-I-c.

故当且仅当一I-CW0,即。》一1时，∙∕(x)W2x+c.

所以C的取值范围为［—1,+∞).

(X)—/(α)2(InX-Ina)

(2)g(x)='',X∈(0,4)U(4,+∞).

x-aχ-a

÷lna-∖nx2(TI吸

g'(x)=(工一。)2(X—。)2

取C=-1得/Ia)=21nx—2x+2,A(I)=O,

则由⑴知，当x≠l时，A(x)<O,BPl-χ+lnx<0.

故当x∈(0,a)U(a,+8)时，l—f+lnfvθ,

从而g'(x)<0∙

所以gθ)在区间(0,a),(a,+8)单调递减.

探究提高1.利用导数研究函数的性质是历年高考的重点、热点，涉及的主要内容：(1)讨论

函数的单调性；(2)求函数的极(最)值、极(最)值点；(3)利用性质研究方程(不等式).考查数学

运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

2.本题主要考查函数的单调性与最值，不等式恒成立求参数，解题的关键是讨论函数〃(X)与

g(x)的单调性，准确进行数学运算是求解的前提条件.另外题目与教材2-2P32结论itχ-∖

Nlnx”有效链接，因此在复习备考中要重视教材深化拓展.

【尝试训练】(2020∙北京卷)已知函数兀v)=12—

(1)求曲线y=∕(x)的斜率等于一2的切线方程；

(2)设曲线y=∕U)在点(r,1。)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求S⑺的最小值.

解(IVK(X)=-2x,

令/(x)=-2,得一2犬=-2,解得x=l,穴1)=12—1=11,所以切点为(1,11),

切线方程为>-11=一2(χ-l),即2x+y-13=0.

(2)二次函数y(x)=12一/为偶函数，其图象是开口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需

考虑一侧的情形即可.不妨考虑x>0时的情形.

设切点为(r,12—乃，r>0,可求得切线方程为

j-(12-z2)≈-2z(χ-r),得y=-2fx+z2+12,

所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,Z2+12),

11产+12ʌr4+24∕2+144

S(f)=tOAMo8∣=2∙-^∙(P+12)=-------5；---------

3产+24产―1443(产+12)(3一4)

S")=4?=4?'

t,S'(t),S⑺的变化情况如下表所示：

t(0,2)2(2,+8)

S")—0+

5(0极小值

故当t=2时，Sa)取得最小值，为5(2)=32.

<满分答题示范---------------------

利用导数研究函数的零点问题

x+1

【例题】(12分)(2019•全国H卷)已知函数段)=9X-二γ.

(1)讨论./U)的单调性，并证明./U)有且仅有两个零点；

(2)设沏是«r)的一个零点，证明曲线y=lnX在点A(X0，InXO)处的切线也是曲线y=e”的切

线.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中A∈Z)

(1)解危)的定义域为(0,1)U(1,+∞).

12

因为F(X)=1+J—])2>o,

所以yU)在(0,1),(1,+8)单调递增2

ɑ-l-1e2+i—3

因为.左)=1一言<0,.他2)=2—目=N>0,

2

所以於)在(1,+8)有唯一零点χ1(e<x∣<e),

即y⅛)=0∙4'

又°<(<1,代=-Inxi+告=-∕UD=O,

故y(x)在(0,1)有唯一零点

ʌl

综上，y(x)有且仅有两个零点7

(2)证明因为J=e—Inxo,

所以点8(—lnxo,Tj在曲线y=ej上8

由题设知/Uo)=O,即InXo=

Xo-1

1xo+1

XoXo~1

故直线AB的斜率A=

-Inxo-沏ɪo+1

又曲线y=e'在点fif—皿沏，Tj处切线的斜率是曲线y=lnx在点AaO,In沏)处切线的

∖ʌθzʌo

斜率也是:，

Xo

所以曲线y=lnx在点A(X0,InXo)处的切线也是曲线y=e”的切线.12，

高考状元满分心得

❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，判断单

调性，利用零点存在定理，确定零点个数；第(2)问中，由式Xo)=O定切点B,求切线的斜率.

❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(I)问中，求出7U)的定

义域，/(X)在(0,+8)上单调性的判断；第(2)问中，找关系InXo=母，判定两曲线在点B

XO1

处切线的斜率相等.

❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导/(X)准确，否则

全盘皆输，判定U=—兀ω=o.第(2)问中，正确计算心B等，否则不得分.

构建模板

叵强……求於)的定义域(O,1)U(1,+∞),计算f(x)

(Sm)……利用零点存在定理及单调性，判断7U)在(I,+8)有唯一零点M

ζilB)……证明七∙)=0,从而式X)在(0,1)有唯一零点(

(I醺……由第(1)问，求直线AB的斜率上=；

国W2i.......求y=e'在点B处，y=lnX在点A处切线斜率IC=W

(IHB)……检验反思，规范解题步骤

【规范训练】(2020•全国I卷)已知函数Lx)=O-α(x+2).

(1)当α=l时，讨论人x)的单调性；

(2)若y(x)有两个零点，求a的取值范围.

解(1)当“=1时，J(x)=ev-χ-2,x∈R,则/(x)=e'-l.

当XCO时，f(x)<O;当x>0时，/(x)>0.

所以y(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

(2)f(x)^ex-a.

①当a≤0时，/(x)>0,

所以4r)在(-8,+8)单调递增.

故/U)至多存在一个零点，不合题意.

②当。>0时，由/(x)=0,可得X=Inα.

当X£(—8,Ina)时，f(x)<O;

当x≡(lna9+8)时，f(χ)>O.

所以外)在(一8,Ina)单调递减,½(Ina,+8)单调递增.

故当X=In。时，/U)取得最小值，最小值为4nα)=-α(l+lnα).

(i)若0<a≤∕,则加α)20,加)在(一8,十8)至多存在一个零点，不合题意.

(ii)若a>-9则OInQ)V0.

因为2)=e-2>0,所以｛x)在(-8,Ina)存在唯一零点.

由(1)知，当心>2时，ex-χ~2>0.

所以当x>4且x>21n(2α)时，段)=g∙g-。(1+2)>却犯仔+2)—〃。+2)=2〃>0.

故函数“¥)在区间(In〃，+8)存在唯一零点.

从而犬无)在(一8,+8)有两个零点.

综上可知，若於)有两个零点，

实数α的取值范围是Q,+∞).

.热点跟踪训练--------------------«

1.(2020•天津卷节选)已知函数Kt)=X3+6InX,√z(x)为y(x)的导函数.

⑴求曲线y=yU)在点(1,y(i))处的切线方程；

O

(2)求函数g(x)=∕(x)—/(x)+;的单调区间和极值.

解(1求X)=X3+6InX,故/(X)=3X2+S∙

可得式1)=1,〃1)=9,所以曲线y=Λx)在点(1,yu))处的切线方程为y—1=9(X—1),即9x

—y—8=0.

(2)依题意，g(x)=N-3x2+61nx+;,x∈(0,+∞).

从而可得((x)=3x2-6x+g—最，

τ≈-r∕B3(x-1)3(x+1)

整理可得/(X)=------------p--------------.

令g<x)=0,解得X=L

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：

X(0,1)1(1，+∞)

g'(x)——0+

g(χ)极小值

所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(l)=

I,无极大值.

2.(2021.百师联盟考试)设函数段)=lnx+f("为常数).

(I)讨论函数T(X)的单调性；

(2)不等式兀v)》l在x∈(0,1］上恒成立，求实数”的取值范围.

解(1)函数./(X)的定义域为(0,+∞),

，xa

f”(χ)«=^,ɪ+-=~-

当αWO时，又x>0,.".χ-a>0,.,.f(x)>O,

.∙√(x)在定义域(0,+8)上单调递增；

当。>0时，若x>〃，则/(x)>0,・•・«¥)单调递增；

若O<x<tz,贝IJJf(X)<0,..,/U)单调递减.

综上可知：当α≤0时，y(x)在(0,+8)上是增函数；

当〃>0时，火工)在区间(0,a)上是减函数，在区间(小+8)上是增函数.

(2)∕(x)≥1=W+InX21—lnx+l<≠>

a^-χ∖nx+x对任意X£(0,1］恒成立.

令g(x)=—xln∕+x,x∈(0,1］.

则/(X)=-InX-x±+I=-Inx20,x∈(0,1］,

.∙.g(χ)在(0,1］上单调递增，.∙.g(χ)max=g(l)=l,

∙,.β≥l,故4的取值范围为［1,+o°).

3.已知函数fix)=e`-ax2.

⑴若a=l,证明：当x20时，

(2)若《X)在(0,+8)只有一个零点，求。

(1)证明当。=1时，Kr)=e∙v-X2,则/(x)=e*-2x.

令g(x)=∕(x),则g'(x)-e'-2.

令((x)=0,解得X=In2.

当x∈(0,In2)时，g,(x)<O;

当XC(In2,+8)时，g<χ)>O.

二当XNo时，g(x)^g(ln2)=2-2ln2>0,

.g)在［0,+8)上单调递增，.∙J(χ)M∕(O)=l.

(2)解若兀V)在(0,+8)上只有一个零点，即方程砂一av2=0在(0,+8)上只有一个解,

由α=∣5,令0(X)=4,x∈(0,+∞),

e'(L2)

,令d(x)=O,解得x=2.

(p'(x)=X3

当x∈(O,2)时，d(x)<O;

当x∈(2,+8)时,φ'(χ)>O.

O(X)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，其中XfO时，^(Λ)→+∞,Λ→+∞,°(X)

-÷o0,

2.2

且夕(X)min=p(2)=4e".♦♦a=1e.

4.已知函数兀V)=I-x+alnx.

(1)试讨论函数兀V)的单调性；

(2)设X∣,X2是7(x)的两个极值点，且X2>X∣,设f=y(Xl)一/(X2)—(a—2)(X|—X2)，试证明f>0.

⑴解火X)的定义域为(O,+∞),

①若OW2,则/(x)≤0,

当且仅当α=2,x=l时/(x)=0,

所以/(X)在(0,+8)上单调递减.

②若α>2,令/(x)=0得,

a-∖∣a2~4Ua+∖∣a2~4

X=2或X=2•

当XG(0,+oo)⅛,/(χ)<0:

当β±æ≡4)⅛,/W>o.

所以∕ω在(0,普Ξi)g±