宁夏中卫市2023届高三一模数学（理）试题（含答案与解析）

2023年中卫市高考第一次模拟考试

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第∏卷第22、23题为选考题，其

他题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本

试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证

号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂

黑.

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

L设集合A={2,3d-2α-3},B={θ,3}C={2,α}若BgA,A?C{2},则4=(

)

A.-3B.-IC.1D.3

..4

若复数=二■：,则的共辗复数

2.ZZW=()

A.1-iB.-l÷iC.-2+iD.2-i

3.已知Sina=3二，a∈τzg,ττ,tan(π-∕7)=ɪ,则tan(α一万)的值为()

52_

2211

A.——B.—

11T

4.已知a=log3；,=2^2»C=P)3，则()

A.a>b>cB.a>ObC.b>c>aD.c>b>a

5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主日：“我猪食半羊."羊主曰:

“我羊食半马."马主曰：“我马食半牛∙，，今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人

禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人说：“我羊所吃的

禾苗只有马的一半马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的

主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（）斗.

3921

A.-B.—C.3D.

55T

x+y-2≥0

6.若x,y满足约束条件,2x-y-4≤0,则Z=X-y的最小值是（）

y≤4

A.-6B.-4C.0D.2

7.如图是函数“（X）图象的一部分，设函数/（x）=SinX,g（x）=J,则“（%）可以表示为（）

C./(X)+g(x)D./(x)-g(x)

8.已知函数J'(x)=CoSn-sin'x,则()

∖ππ\

A.‘（'）在I-2，一7I上单调递减B.f(χ)在一1,ɪɪj上单调递增

C./3在［o,?）上单调递减(Ji7TT、

D.F(X)在五J上单调递增

9.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航

天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲

击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重

耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

10.的内角AB,C的对边分别为a,b,c,满足（SinB-SinC）2=si∏2A-sinBSinC.若

-ABC为锐角三角形，且α=3,则J3C面积最大为（）

93√3

D岑

244

ɪɪ.设双曲线E上=1左、右焦点分别为K，F,,左顶点为A,点M是双曲线E在第一象限内的

3

一点，直线MG交双曲线E的左支于点N,若N4〃,则点M与点N的横坐标的绝对值之比为（）

2328…3

A.—B.—C.4D.一

16172

12.利用"lnx≤x-1"可得到许多与“（”≥2且〃GN*）有关的结论①ln（〃+l）＜1+；+；++ɪ,②

＜上，则结论

H----，③>e,④—+…+

e-1

正确的有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

第∏卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知加＞（）,平面向量W=（τ√,机+2），1=（1,1＞若：//]，则实数加的值是.

14.已知（x+α）'的展开式为05%5+〃4》4+〃3%3+〃2》2+〃]%+〃0，若〃3-=15,贝IJa=.

P为椭圆上+X=I上一点，曲线凶+∣y∣=l与坐标轴的交点为A,B,C,D,若

62211

∖PA∖+∖PB∖+∖Pd[+∖PD∖=4-j6,则尸到X轴的距离为.

16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个

点，A,B,C,。满足43=3C=CD=D4=DB=2cm,AC=3cm,则该“鞠”的表面积为

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知数列｛%｝的前"项和为S“，Sll=2an-∖.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若勿=2〃+1,求数列｛《,+々J的前〃项和小

18.携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提

供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，

从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为ɪj,服

2

务水平的满意率为：，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.

（1）完成下面2x2列联表，并分析是否有99%的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人数

合计

（2）为进一步提高服务质量在选出对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对

业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望.

„“2n(ad-be)2

附：K-=-------------------------,n-a+b+c+d.

(α+∕?)(C+d)(a+c)(⅛+d)

p(κ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如图，在三棱柱ABC-44G中，底面二ABC为等腰直角三角形，侧面AAGC∙1"底面ABC。为

AC中点，AB=BC=叵AAi=B

（1）求证：BDIA1D.,

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

条件①：Λ1C11B1C；条件②：AAi=BiC.

20.在直角坐标系XOy中，动点M到定点F（LO）的距离比到），轴的距离大1.

（1）求动点例的轨迹方程；

(2)当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C,过F的直线与曲线C交于P,Q两点，直线。P,OQ与直

线X=I分别交于4,B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请

说明理由.

21.已知函数/(x)=2χ2-ainχ2.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若〃x)22α-gq2,求.的取值范围.

选考题：(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作

答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑)

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为p=2√∑sin[e+;1,直线/的极坐标方程为

PSin[。+：)=4.以极点为坐标原点，以极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系x0y.

(1)求圆C及直线/直角坐标方程；

(兀、IoPl

(2)若射线e=α(Q>O)分别与圆C和直线/交于P,Q两点，其中αe0,5,求第的最大值.

选修4-5：不等式选讲

23.已知α>0,8>0,函数/(x)=∣2x+a∣+∣2x-b∣+l最小值为3.

(1)求α+Z?的值；

(2)求证：⅛+log3(―+ɪ∣>4-α.

式α2b)

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上)

L设集合A="：/一2。-3},3={0,3},C={2,α}若BE人？。⑶，则”()

A.-3B.-IC.1D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系结合交集的结果可求。的值.

【详解】因为3=∙A,故/-2α-3=0,故α=-l或α=3,

若α=T,则A={2,3,0},C={2,-l},此时A?C{2},符合；

若α=3,则A={2,3,0},C={2,3},此时AC={2,3},不符合；

故选：B

2.若复数Z=匕L,则Z的共蒯复数I=()

1-i

A.1-iB.-l+iC.-2+iD.2-i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,结合共物复数的定义可得复数)

l+i422(l+i).

【详解】因为z=~=~=/,∖J=l+ι因此，z=1-i•

v1-1γ1-1(l-ι)(l+ι)

故选：A.

3乃

3.已知sin。=-,a∈-,π,tan(π-Z?)=~,则tan(α-/?)的值为()

5L2J2

22

A.----B.—C.I—lDr.——U

111122

【答案】A

【解析】

31

【分析】应用同角三角函数关系、诱导公式得tana=一—，tan0=-,再由差角正切公式求值即可.

4y2

431

【详解】由题可得CoSa=--,Ianc=-一，tan/=---，

542

3I__1

tanα—tan£42____2

所以tan(α-B)=--------------J=4.

1+tantztanβɪ+ɔ11

8

故选：A

2

4.已知a=log3；,z,=2^1,c=(g)∖则<

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.

【详解】tz=Iog3-<Iog3I=O,

0<⅛=22=

故c>6>α

故选：D.

5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊羊主曰：

“我羊食半马."马主曰：“我马食半牛.，，今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人

的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人说：“我羊所吃的

禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的

主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（）斗.

3921

A.-B.—C.3D.—

555

【答案】B

【解析】

【分析】转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数.

【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2,

设猪的主人赔偿的粟斗数为X,

3

则x+2x+4x+8x=9,解得：%=—,

12

故马主人赔偿的粟斗数为4x=M,

1239

所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为=二.

故选：B

x+y-2>0

6.若x,y满足约束条件<2尤一y-4≤0,则Z=X—y的最小值是（）

y≤4

A.-6B.-4C.0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】画出可行域及目标函数，由几何意义求出最小值.

【详解】画出可行域与目标函数，

当直线2=》一丁过点4(—2,4)时，Z取得最小值，zmin=-2-4=-6,

故最小值为-6.

故选：A

7.如图是函数H(X)图象的一部分，设函数/(x)=SinX,g(x)=，则“(X)可以表示为()

c∙"x)+g(x)D./(x)-(g(x)

【答案】C

【解析】

【分析】

结合函数图象利用奇偶性排除部分选项，再根据当x>0时，X趋于O时，函数值趋于负无穷大判断.

?吧与42=XSinX都是偶函数,

【详解】因为“χ)∙g(χ)=排除A,B.

Xg(x)

因为/(χ)-g(χ)和/(χ)+g(χ)都是奇函数，且当χ>o时，X趋于0时•，函数值趋于负无穷大，排除

D,

故选：C

8.已知函数/(x)=COS2χ-si∏2χ,则()

兀冗\（7171\

［一耳,一］上单调递减B./（x）在［一］,五上单调递增

C./*）在（θ,上单调递减D./3在（?,上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】化简得出/（x）=cos2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为/（x）=COS2X-SiMx=Cos2x.

）7'）7/、I7tTC\

对于A选项，当---<x<----时，一"<2xv---则/（X）在-5,一不上单调递增，A错;

263

---<2x<—,则/(x)在［一7,二I上不单调，B错;

对于B选项,当一卜咤时,

2-----6k412√

对于C选项，当0<x<∕时，0<2x<葛，则”x）在（0,。）上单调递减，C对；

对于D选项，当工<x<卫时，-<2x<-,则〃x）在（f,二［上不单调，D错.

41226v7\412√

故选：C.

9.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航

天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲

击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重

耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

【答案】B

【解析】

【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试

的安排方案种数.

【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有A；=6种安

排方法，

此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；

②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C；种选择，超重耐力在第四、第五天有C；种选择，剩下两种

测试全排列A；,则有C；C；A；=8种安排方法，

此情况与失重飞行安排第四天方安排方案种数相同；

③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C；种选择，超重耐力在第一、第五天有C；种选择，剩下两种

测试全排列A；,则有C；C；A；=8种安排方法；

故选拔测试的安排方案有6x2+8x2+8=36种.

故选：B

l

10.-ABC的内角AB,C的对边分别为α,b,c,满足(sin8-sinC)?=sin?A-SinjBSinC.若

一A8C为锐角三角形，且α=3,则面积最大为（）

ʌ9B2S9√3

2444

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.

【详解】在ABC中，由（sin8—SinCf=SiYA—sinBsinC及正弦定理得：（/?—c>="一∕7c,

即/=/+,2—%,由余弦定理得CoSA=空维W=',在锐角.ABC中，A=1,

2bc23

而4=3,因此3?=〃+c?—A22hc-hc-he，当且仅当/?=C=3时取等号，

于是一ABC的面积S.=-hesinA=—be≤—，

^βlicc244

所以当b=c=α=3时，的面积取得最大值名叵.

4

故选：D

11.设双曲线E:/-工=1的左、右焦点分别为耳，F,,左顶点为A,点M是双曲线E在第一象限内的

3

一点，直线M片交双曲线E的左支于点N,若NA//MF],则点〃与点N的横坐标的绝对值之比为（）

【答案】B

【解析】

X.=4%,+6

【分析】根据题意可得A三点坐标，由24〃M玛可利用相似比得《I,代入M,N两点

Ui=4%

坐标并联立，解之即可求得结果.

【详解】如下图所示:

所以耳即(玉+

M=4RN，2,%)=4(X2+2,y2),

x1+2=4(々+2)%=4々+6

y=4%E=4%

17

4x,+6>—(⅛j.=],联立A^一3=

=1,解得X2—T；

3J

7

所以西=4%+6=],

7

咤X,土4士28

16

2g

点M与点N的横坐标的绝对值之比为一.

17

故选：B

12.利用"lnx≤x-l''可得到许多与〃(“≥2Ji"∈N*)有关的结论①In(〃+1)<1+/+§+H—,②

inπ44++XT(G)04]>e,(4)flT+f-T+∙+f-T<-^-则结论

)∖n)∖n)∖n)e-1

正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

时，等号成立，对于①，令x=l+'wl,得到

【分析】先证明出lnx≤x—1,当且仅当X=I

n

In[I+L]<l+∙!■-I=L累加后得到①正确；对于②，推导出In(I-x)≤r,χ<l,当且仅当x=0时

∖nJnn

等号成立，令X=L70,可得ln(l-!]<-』，累加后得到②正确；对于③，推导出

In[I+[]<l+]-l=],累加后得到③错误；对于④，将InX≤x-1中的X替换为L,推导出

\2J22n

n∖n-≤i-n,故≤ei-",当且仅当i=〃时，等号成立，累加后得到④正确.

〃VnJ

1y_1

【详解】令/(x)=X-ITn》,则f'{χ}=↑__=----,

XX

当x>l时，f↑χ)>O,当O<x<l时，∕,(x)<0,

故/(χ)=χ-l-lnx在(0,1)上单调递减，在(1,长。)上单调递增，

故/(x)=X-1—Inx在χ=l处取得极小值，也时最小值，/(χ)min=0,

故InX≤x-1,当且仅当x=l时，等号成立，

对于①，令X=I+，W1,所以In[I+，]<1+，-1二，，

n∖nJnn

故ln[+'+ln(l+g)++In(l+^]<l+→+:'

其中In1+ɪɔ+In[1+耳)++ln(ld—)=ln2—In1+In3—ln2++ln(∕z+l)—Inn

=ln(n+l)-lnl=ln(∕2÷l),

所以ln(几+1)<l+5+3+H—,故①正确;

对于②，将InX≤x-l中的X替换为1一工，可得In(I-x)≤l-x-1=一次，x<l,

当且仅当X=O时等号成立，

令X=LW0,可得Infl—I<—,

1

所以Ir〃一1)>—

n

故In2-In1+In3-In2++ln〃-In(J2-1)>'+』++ɪ,

23n

其中In2—Inl+ln3-In2++In/2-In(π-1)=In/?-In1=Inn

所以ln〃>—I—FH—，故②正确;

23n

对于③，将InX≤x—1中的X替换为1+5，显然1+91,

,,1「1,1

则InIH----<1+--------1=—

I2n〃)TT

故In(I+口+In1+++lnfuɪ11!<1，

<一+r+

2)I2"J222

故T1+l+∕]<e,故③错误;

对于④，将InX≤x-l中的X替换为一，其中ieN*,〃eN*，则ln-≤一一1,

nnn

•/•

则n∖n-≤i-n,故—≤e"",当且仅当i=〃时，等号成立,

nnJ

z,(1—e")-el^"e

n,e*^e

则π÷m÷L÷κ<e'^n+e2^,'+L+e"-"=—-ʌ——/=故④正确.

n)∖n)∖n)1-ee-1e-1

故选：C

【点睛】思路点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数〃的不等式代替

函数不等式中的自变量，通过多次求和（常用到裂项相消法求和）达到证明的目的.

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知加＞0,平面向量］=（m2,m+2），a=（1,1）•若://W，则实数加的值是■

【答案】2

【解析】

【分析】利用向量共线坐标运算求实数〃?的值.

【详解】平面向量W=(z√,m+2)>7=(1,1)，

若;〃X，则W?=根+2，由加>0，解得m=2.

故答案为：2

5432

14.已知(x+α)’的展开式为P5X+p4x+p3x+P2X+p∣x+%,若P3-P4=15,贝∣]。=.

3

【答案】一或T

2

【解析】

【分析】利用二项式定理求解即可.

【详解】(x+0)5展开式的通项公式为乙+1=C；/-Z，，厂=0,1,2,3,4,5,

令r=2,则4==]θ/尤3,即〃§=IOQ2,*

4*6i4

令尸=1,IjiiJT2-C[xa=5ax,即%=5。，

3

由题意可得10q2-5α=i5,即2cJ-α-3=0,解得Q=不或a=—1,

2

3

故答案为：一或-1

2

15.P为椭圆工+X=I上一点，曲线N+∣y∣=l与坐标轴的交点为A,B,C,D,若

62211

I期+1P6∣+1pq+1，则P到X轴的距离为.

【答案]叵

13

【解析】

22

【分析】首先表示出A,B,c,。的坐标，依题意可得IPq+1Pq=2«,即可得到P为椭圆二+匕=1

56

上一点，联立两椭圆方程，求出V，即可得解.

【详解】解：不妨设A(-2,0),B(2,0),C(0,-l),D(0,l),

22

则A,8为椭圆上+二=1的焦点，所以∣Q4∣+∣P8∣=2",

62

又∣%∣+∣PB∣+∣PC+IPo=4指，所以IPq+|尸。|=2后，

2a=2√6

a=ʌ/ð

且Ieq=2<∣PC∣+∣PL>∣,所以P在以C、。为焦点的椭圆上,且《c=l，所以，

b=E

C2a2-b2

22

所以P为椭圆工+匕=1上一点,

56

22

土+匕=IAL

6

由<.2,解得V=G,则3=-^∙

%y13ll13

—+—=I1

156

故P到X轴的距离为叵.

13

√78

故答案为:IT

16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠'’的表面上有四个

点,A,B,C,。满足AB=6C=CD=/M=OB=2cm,AC=3cm,则该“鞠”的表面积为

28π)

【答案】-----cm^

3

【解析】

【分析】由题意画出图形，可得4ABO,ACBO均为等边三角形，设球心为。，ABCD的中心为0',

取中点尸，连接4凡CF,OB,0'B,AO,构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径,

再由球的表面积公式求解.

【详解】由已知得AABO,ACBD均为等边三角形，如图所示,

取5。中点F,连接AF,CF,0B,0'B,A0,

则AF_LBD，CFYBD,而AFCb=/，AfbU平面Ab,1平面AcT7，

LAC1

73÷3—9

可求得A/=CE=Gcm而AC=3cm,cosZAFC=2χ贝IjzAFC=I20,

在平面AFC中，过点A作C/的垂线，与C厂的延长线交于点E,

由平面ACE,AEU平面AC尸，得班）1AE,

又CFLAE,CFBD=F,CfBoU平面Be。，故AE_L平面6CO,

过点。作OG_L4E于点G,则四边形O'EGo是矩形,

而O'8=8Csin60°χ2=空Cm,O'F-O'Bcm

3323

设球的半径为R,OO'=X(Cm),则由O'O2+O'B2=OB2，OA2=AG2+GO2，

zsɔ4d2f3Vf√3√3?0,

得χ-+—=/?-,--%+—+—=R-,

3U)[32J

解得X=ICm,R=ɪem，

3

28

故三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4π∕?2=—π(cm2).

3

....、,28兀2

故答AA案f为：----Cm~

3

【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型

第一种模型为常见墙角模型，此时将三棱锥看作长方体中的一个部分，将长方体进行补全之后就可以找到

外接球半径与长方体三边之间的关系.

第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，方法同样将其补形为长方体，我们可以通过画出一个长方体，标

出三组互为异面直线的对边，然后通过每一组在直角三角形中的满足勾股定理的形式而列出方程，然后再

将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，继而可以求出外接球的半径.

第三种模型为确定球心来构造直角三角形，这种模型最关键的就是利用底面三角形的外心来确定球心，然

后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，在直角三角形当中来求出球的半径.

三、解答题：(本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知数列｛4,,｝的前"项和为S"，Sn=2an-∖.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若d=2〃+1,求数列｛%+a｝的前〃项和7；.

n

【答案】(1)an=2-'

n2

(2)Tn=2+n+2n-∖

【解析】

【分析】(1)令"=1可求得l的值，令〃≥2,由S“=2a”—1可得S,-=2”,--1,两式作差可推导出数

列｛4,｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列｛4｝的通项公式；

(2)利用分组求和法可求得力,.

【小问1详解】

解：当〃=1时，4=S[=2tz∣-1,解得4=1；

当〃≥2时,⅛Sn=2an-1可得S"T=2α,,.1-l,

上述两个等式作差可得an=2an-2a,l^,则an=2an.l,

所以，数列｛为｝是首项为1，公比为2的等比数列，故q,=lχ2"T=2"τ.

【小问2详解】

rt

解：由题意可知，S,,=2α,l-l=2-l,

因为d=2〃+1,则bn+x-hn=2(/1+1)+1-2/1-1=2,则数列出｝为等差数列，

所以数列出｝的前〃项和为纥="(3+j+l)=〃2+2〃，

所以,I=(q+α)+3+H)++(%+2)=(α∣+4++%)+佃+2++2)

n2

=Sn+B,l=2+n+2n-l.

18.携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提

供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，

13

从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为百，服

务水平的满意率为:，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.

(1)完成下面2x2列联表，并分析是否有99%的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人数

合计

(2)为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对

业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望.

附：K=——幽处——

n-a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+C)S+d)

p(κ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，没有99%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关

2

(2)分布列见解析，y

【解析】

【分析】(I)利用题意可完成列联表，然后根据公式求出K2,再对照临界值表即可得出结论;

(2)根据题意结合超几何分布求分布列和期望

【小问1详解】

132

有题可得对业务水平满意的有300x上=260人，对服务水平满意的有3OOx：=200人，得2x2列联表

153

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数18080260

对业务水平不满意人数202040

合计200100300

经计算得K"='O镖滤X萨=M5.769<6.635,

所以没有99%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关

【小问2详解】

X的可能值为0,1,2,

P(X=O)=率=理P(X=D=警嗤，&χ=2)=m=孩

2

JCoo495vzIOO力JOo

所以X的分布列如下

X012

3163219

P

49599495

则X的期望E(X)=O*配g+IX卫+2XU■=2

495994955

19.如图，在三棱柱ABC-4B∣C∣中，底面j4BC为等腰直角三角形，侧面AAGCJ.底面ABC。为

AC中点，AB=BC=厄AAi=B

(1)求证：BDVAxD.

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

条件①：AC1ɪBiC；条件②：AAi=BlC.

【答案】(1)证明见解析

(2)-

3

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得BDl平面A&GC，再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)选①，取4G的中点£，连接与E,CE,证明AC，A。，再以点。为原点，建立空间直角坐标系，

利用向量法求解即可.

选②，取4G的中点E，连接B∣E,CE,DE,利用勾股定理证明AOL4。，再以点。为原点，建立空间

直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为AB=JBC,。为Ae中点，

所以BOLAC,

又因为面AACC∙L面ABC,面AAGC面ABC=AC,5。U面A8C，

所以B£＞工平面A4CC，

又AQU平面AAlGC，所以8。，为。；

【小问2详解】

选①，取4G的中点E,连接4E,CE,

则AE//DC且AE=OC，

所以四边形AOCE为平行四边形，所以4。//CE,

因为44=4G，E为AG的中点，

所以AG_LgE,

又Ael■1片。,四。门用£：=4，耳。,与£(=平面。4£：,

所以ACJ.平面CB∣E,

又ACIlAC所以AC，平面CB∣E,

又CEU平面CB∣E,所以/C±CE,

因AQ/1CE,所以AC_LAQ，

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

由AB=BC=√5,A41